数学理卷·2018届辽宁省葫芦岛市六校协作体高二下学期期初考试（2017-03）

数学理卷·2018届辽宁省葫芦岛市六校协作体高二下学期期初考试（2017-03）

‎2016-2017学年度下学期省六校协作体期初考试 高二理科数学试题 时间：120分钟 满分：150分 命题人：虞政华 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知全集，集合则等于（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 某校高三年级有1000名学生，随机编号为0001,0002，．．．，1000，现按系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（ ） ‎ A．0927 B．0834 C．0726 D．0116‎ ‎4. 已知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的正弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5. 若正数满足则的最小值是（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎6. 设，，，则的大小关系为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7. 一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，‎ 则该三棱锥的外接球表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道“竹九问题”“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升.问中间二节欲均容各多少？”意思为 ‎ :今有竹九节，下三节容量和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀（即每节容量成等差数列）.问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 设、是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，，，，则．‎ 其中真命题的个数是（ ） ‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎10. 已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则（ ） ‎ A． B．31 C．33 D．‎ ‎11. 已知函数（，且）在上单调递减，且函数恰好有两个不同的零点，则的取值范围是（　　） ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎12. 如图，已知平面平面，是平面与 平面的交线上的两个定点，，‎ 且，在平面上有一个动点，使，则四棱锥体积的最大值是（　　）‎ ‎ A． B．16 C．144 D．48 ‎ 开始 是 否 输入 结束 输出 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13. 如图，输入时，则输出的________. ‎ ‎14. 设变量满足约束条件，‎ 且目标函数的最小值为，则实数等于_____. ‎ ‎15. 函数的最大值为，最小值为，‎ 则等于________. ‎ ‎16. 在上定义运算，若存在，‎ ‎，则实数的取值范围为_______. ‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 在中，边的对角分别为；且，面积．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设，将图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到的图象，求的单调增区间．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图（1）所示，在直角梯形中，，，，，、、分别为线段、、的中点，现将折起，使平面平面（图（2））．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若点是线段的中点，求证：平面.‎ ‎（3）求三棱锥的体积．‎ ‎ ‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎（2）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；‎ ‎（3）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知数列中，‎ ‎（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知圆的圆心在坐标原点，且与直线相切．‎ ‎（1）求直线被圆所截得的弦的长；‎ ‎（2）过点作两条与圆相切的直线，切点分别为求直线的方程；‎ ‎（3）若与直线垂直的直线与圆交于不同的两点，若为钝角，求直线 在轴上的截距的取值范围．‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知函数满足：对任意，都有成立，且时，，‎ ‎（1）求的值，并证明：当时，．‎ ‎（2）判断的单调性并加以证明．‎ ‎（3）若函数 在上递减，求实数的取值范围．‎ ‎2016-2017学年度下学期省六校协作体期初考试 高二理科数学参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B A D D A B A C B C D 二、填空题 ‎13、 14、 3 15、 2 16、‎ 三、解答题 ‎17、解：（1）在中 ‎ ‎ …………4分 ‎（2）∵ 又∵∴ ‎ ‎∴，‎ 将图象上所有点的横坐标变为原来的，得到， …………8分 ‎ 令 ‎ 即 ‎ 的单调增区间为 …………10分 ‎18、解：（1）证明：∵、分别是的中点，‎ ‎∴‎ 又．∴．‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ 同理，平面，∵，‎ 平面，平面 ‎∴平面平面. …………4分 ‎（2）解：连接，，‎ ‎∵、分别是、的中点，∴，又．‎ ‎∴‎ ‎∵平面平面，，‎ ‎∴平面．‎ ‎∴，‎ 又，，∴平面，∴．‎ 在中，，是的中点，∴，‎ ‎∵，∴平面，即平面． …………8分 ‎（3） …………12分 ‎19、解：（1）设分数在[70，80）内的频率为，根据频率分布直方图，则有 ‎，可得，…………2分 所以频率分布直方图为：‎ ‎ …………4分 ‎（2）以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线把频率分步直方图分成面积相等的两个部分，由频率分布直方图知，中位数要把最高的小长方形三等分，‎ ‎∴中位数是 所以估计本次考试成绩的中位数为 ………8分 ‎（3）设所抽取2人成绩之差的绝对值大于10为事件，‎ 第1组学生数：人（设为1，2，3，4，5，6）‎ ‎ 第6组学生数：人（设为A，B，C） ‎ 所有基本事件有：12，13，14，15，16，1A，1B，1C，23，24，25，26，2A，2B，2C，34，35，36，3A，3B，3C，45，46，4A，4B，4C，56，5A，5B，5C，6A，6B，6C，AB，AC，BC 共有36种，‎ 事件M包括的基本事件有：1A，1B，1C， 2A，2B，2C， 3A，3B，3C，4A，4B，4C，5A，5B，5C， 6A，6B，6C 共有18种 ‎ 所以 所以所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率为。 …………12分 ‎20、（1）证明：由，‎ 得，‎ 所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列，‎ 从而；…………6分 ‎（2）‎ ‎， 两式相减得 ‎ …………10分 若为偶数，则 若为奇数，则 ‎ …………12分 ‎21、（1）由题意得：圆心到直线的距离为圆的半径，‎ ‎，所以圆的标准方程为： …………2分 所以圆心到直线的距离 …………3分 ‎ …………4分 ‎（2）因为点,所以,‎ 所以以点为圆心，线段长为半径的圆方程： （1）‎ 又圆方程为： （2），由得直线方程： … 8分 ‎（3）设直线的方程为：联立得：，‎ 设直线与圆的交点， ‎ 由，得， （3） 10分 因为为钝角，所以,‎ 即满足，且与不是反向共线，‎ 又，所以 （4）‎ 由（3）（4）得，满足，即， ………… 11分 当与反向共线时，直线过原点，此时，不满足题意，‎ 故直线在轴上的截距的取值范围是，且 ………… 12分 ‎22、解：（1）∵,令，‎ ‎ ‎ ‎∴,或 若, 则，‎ 与已知条件时，相矛盾，∴ …………2分 设，则，那么 又 ‎∵，∴，从而 …………4分 ‎（2）函数在上是增函数 设则，∴‎ ‎∵由（1）可知对，，∴，又 ‎∴‎ 即 ‎∴函数在上是增函数…………8分 ‎（3）∵由（2）函数在上是增函数 ‎∴函数在上也是增函数 若函数在上递减 则时， ‎ 即时，，‎ ‎∵时，，‎ ‎∴ …………12分