数学卷·2018届河北省定州中学高三（高补班）上学期期末考试（2018
河北定州中学2017-2018学年第一学期高四数学期末考试试题
一、单选题
1．F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点．若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
2．(导学号：05856255)如图，△AOB为等腰直角三角形，OA＝1，OC为斜边AB上的高，点P在射线OC上，则·的最小值为( )
A. B. － C. D. －
3．设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4．已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝,则关于x的函数g(x)＝f(x)＋a(0
f(sinx－1－m)恒成立，则实数m的取值范围为________．
16．若对于任意的正实数都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
三、解答题
17．设．
（l）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值；
（2）是否存在正整数a，使得1n+3n+…+（2n﹣1）n（an）n对一切正整数n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，请说明理由．
18．设直线的方程为，该直线交抛物线于两个不同的点.
（1）若点为线段的中点，求直线的方程；
（2）证明：以线段为直径的圆恒过点.
19．已知函数.
（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；
（2）设函数，若存在，使不等式成立，求的取值范围.
20．已知（为自然对数的底数）．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证： ．
[
参考答案
DDDBB BABDA
11．B
12．C
13．[1,9]
14．
15．
16．D
17．（1）1；（2）见解析.
（1）∵，∴，∵， 的解为，∴，∵对一切恒成立，∴，∴，∴．
（2）设，则，令得： ，在时， 递减；在时， 递增，∴最小值为，故，取， 得，即，累加得 ∴，故存在正整数，使得
18．（1）（2）见解析
（1）联立方程组，消去得
设，则
因为为线段的中点，所以，解得，
所以直线的方程为.
（2）证明：因为，
所以，
即
所以，
因此，即以线段为直径的圆横过点.
19．（1）；（2）.
（1）由，得，
所以在上单调递增，所以，所以，
所以的取值范围是.
（2）因为存在，使不等式成立，
所以存在，使成立，
令，从而， ，
因为，所以， ，所以，
所以在上单调递增，
所以，所以，
实数的取值范围是.
20．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）（1）；（2） 见解析.
（Ⅰ） 的定义域为R， ，（1）当时， 在R上恒成立，∴在R上为增函数； （2）当时，令得，令得，∴的递增区间为，递减区间为；
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当时， 在R上为增函数， 不合题意；
当时， 的递增区间为，递减区间为，
又，当时， ，∴有两个零点，则，解得；
（2）由（Ⅱ）（1），当时， 有两个零点，且在上递增， 在上递减，依题意， ，不妨设．
要证，即证，
又，所以，
而在上递减，即证，
又，即证，（ ）．
构造函数，
，∴在单调递增，
∴，从而，
∴，（ ），命题成立．
