高中数学讲义微专题37 向量的数量积——坐标化解决向量问题

高中数学讲义微专题37 向量的数量积——坐标化解决向量问题

微专题 37 向量的数量积——坐标法 在处理向量数量积问题时，若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写 出点的坐标，则考虑将向量坐标化，一旦所求向量用坐标表示，其数量积等问题迎刃而解。 一、基础知识 1、向量的坐标表示 （1）平面向量基本定理：在平面中，如果两个向量 不共线，则对于平面上的任一向量 ，存在 ，使得 ，且这种表示唯一。其中 称为平面向量的一组 基底，而有序实数对 称为在 基底下的坐标 （2）为了让向量能够放置在平面直角坐标系中，我们要选择一组特殊的基底 ，在方向上 它们分别与 轴的正方向同向，在长度上， ，由平面向量基本定理可得：平面上 任一向量 ，均有 ，其坐标为 ，从图上可观察到恰好是将向量 起点与坐 标原点重合时，终点的坐标 （3）已知平面上的两点坐标，也可求得以它们为起终点的向量坐标：设 ，则 （可记为“终” “起”），所以只要确定 了平面上点的坐标，则向量的坐标自然可求。另外 三个坐标知二可求一，所以当已 知向量坐标与其中一个点的坐标，也可求出另一个点的坐标 2、向量的坐标运算：设 ，则有： （1）加减运算： （2）数乘运算： （3）数量积运算： （4）向量的模长： 3、向量位置关系的判定： （1）平行： （2）垂直： （3）向量夹角余弦值： 4、常见的可考虑建系的图形：关于向量问题，一旦建立坐标系并成功写出相关点的坐标，则 问题常常迎刃而解。但难点如何甄别一道题适合使用建系的方法求解。如果你遇到以下图形， 1 2,e e  a ,x y R 1 2a xe ye     1 2,e e   ,x y  1 2,e e  ,i j  ,x y 1i j   a a xi y j     ,x y a    1 1 2 2, , ,A x y B x y  2 1 2 1,AB x x y y    , ,A B AB    1 1 2 2, , ,a x y b x y    1 2 1 2,a b x x y y      1 1,a x y   1 2 1 2a b x x y y    2 2 1 1a x y  1 2 2 1a b x y x y  ∥ 1 2 1 20 0a b a b x x y y          1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos , a b x x y ya b a b x y x y             B C A D E 则可尝试建系的方法，看能否把问题解决 （1）具备对称性质的图形：长方形，正方形，等边三角形，圆形 （2）带有直角的图形：直角梯形，直角三角形 （3）具备特殊角度的图形（ 等） 二、典型例题： 例 1：在边长为 1 的正三角形 中，设 ，则 __________ 思路：上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍 以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形， 所以考虑利用建系解决数量积问题 ，如图建系： 下面求 坐标：令 由 可得： 答案： 例 2：（2012 江苏，9）如图，在矩形 中， ，点 为 中点，点 在边 上，若 ，则 的值 是____________ 思路：本题的图型为矩形，且边长已知，故考虑建立直角坐标系求解，以 为坐标原点如图建系： , 设 , 由 在 上可 得 , 再由 解出 : ， ， 30 ,45 ,60 ,120    ABC 2 , 3BC BD CA CE     AD BE   3 1 10, , ,0 , ,02 2 2A B C               E   1 1 3, , , ,2 2 2E x y CE x y CA               3CA CE  1 1 13 2 2 3 333 62 x x yy                  1 3,3 6E       3 5 30, , ,2 6 6AD BE                1 4AD BE     1 4AD BE    ABCD 2, 2AB BC  E BC F CD 2AB AF   AE BF  A  2,0B  ,F x y F CD 2y  2AB AF   x    2,0 , ,2AB AF x   2 2 1AB AF x x        1,2F  2,1E y xB C A D E E D A B CF y x E D A B CF 答案： 例 3：如图，平行四边形 的两条对角线相交于 ，点 是 的中点，若 ， ， 且 ， 则 _________ 思路：本题抓住 这个特殊角，可以考虑建 立坐标系，同时由 ， 可以写出各点 坐标，从而将所求向量坐标化后即可求解 解：以 为 轴，过 的垂线作为 轴 可得： 答案： 例 4：已知直角梯形 中， 是腰 上的动 点，则 的最小值为_____________ 思路：本题所求模长如果从几何意义入手，则不便于作出 的图形。所以考虑从代数方面入手，结合所给的特殊 图形可想到依直角建立坐标系，从而将问题转为坐标运算求解， 在建系的过程中，由于梯形的高未知，为了能够写出 坐标，可先设高为 。 解：以 为轴建立直角坐标系，设梯形高为    2,1 , 1 2,2AE BF      2 1 2 2 2AE BF       2AE BF   ABCD M P MD 2AB  1AD  60BAD   AP CP   60BAD   2AB  1AD  AB x A y   1 3 52,0 , , , , 32 2 2B D C         5 3 7 3 3, , ,4 4 8 8M P            7 3 3 13 5 3, , ,8 8 8 8AP CP                 7 13 3 3 5 3 17 8 8 8 8 8AP CP                    17 8 ABCD , 90 , 2, 1,AD BC ADC AD BC P   ∥ DC 3PA PB  3PA PB  B h ,AD CD h M D C A B P M D C A B P B D A C P 则 ，设动点 ，则 （等号成立： ） 答案： 小炼有话说：本题的亮点在于梯形的高未知，但为了写坐标先用字母代替。在使用坐标解题时 有时会遇到由于某些条件未知而导致坐标无法写出的情况。要明确没有点的坐标，则坐标法无 法实现，所以“没有条件要创造条件”，先设再求，先将坐标完善，再看所设字母能否求出， 是否需要求出，这个理念在解析几何和空间向量解立体几何中都有所应用 例 5：给定平面上四点 满足 ，则 面积 的最大值为 ． 思路：由 可计算出 的夹 角 ， 则 可 按 照 这 个 特 殊 角 建 立 坐 标 系 ， 则 由 可 知 在 以 为 圆 心 ， 半 径 的 圆 上 。 ， 若要求 的最大值，只需 找 到 到 的 最 大 值 ， 数 形 结 合 可 得 距 离 的 最 大 值 为 ，进而可求出 的最大值。 解： 即 答案：    2,0 , 1,A B h  0,P y    2, , 1,PA y PB h y      3 5,3 4PA PB h y        2 23 5 3 4 5PA PB h y       33 4 4h y y h   5 , , ,O A B C 4, 3, 2, 3OA OB OC OB OC      ABC 3, 2, 3OB OC OB OC     ,OB OC  60BOC   4OA  A O 4r     3,0 , 1, 3B C 7BC  ABCS A BC O BCd r  ABCS    3,0 , 1, 3B C  3: 32BC y x    2 3 3 3 0y x    max 3 3 4 7A BC O BCd d r      1 1 3 3 3 34 7 2 72 2 27ABC A BCS d BC              3 32 7 2 例 6：如图，在直角三角形 中， ，点 分别是 的中点， 点 是 内及边界上的任一点，则 的取值范围是_______ 思路：直角三角形直角边已知，且 为图形内动点，所求 不便于用已知向量表示，所以考虑建系处理。设 ， 从而可得 ，而 所在范围是一块区域， 所以联想到用线性规划求解 解：以 为轴建立直角坐标系 ，设 数形结合可得： 答案： 例 7：平面向量 满足 ，则 的最小值是______ 思路：本题条件中有 ，而 可利用向量数量积的投影定义得到 在 上的投影分别为 1,2，通过作图可发现能够以 的起点为原点，所在直线为 轴建立坐标系， 则 起点在原点，终点分别在 的直线上，从而 可坐标化，再求出 的最 值即可 解：如图建系可得： 由 可得： 而 ，由轮换对称式不妨设 ，则 ABC 3, 1AC BC  ,M N ,AB BC P ABC AN MP  P MP  ,P x y 1 532 4AN MP x y     P ,AC BC     1 3 10, 3 , 1,0 , , , ,02 2 2A B M N          ,P x y 1 1 3, 3 , ,2 2 2AN MP x y               1 1 3 1 53 32 2 2 2 4AN MP x y x y                  7 7,4 4AN MP         7 7,4 4     , ,a b c   1, 2, 2, 1a e b e a b e             a b  1e  1, 2a e b e       ,a b  e e x ,a b  1, 2x x  ,a b  a b     1, , 2,a a b b   2a b        2 2 21 2 2 3a b a b       2a b ab    a b 3 3a b b a     M N A C B P 答案： 例 8：已知点 为等边三角形 的中心， ，直线 过点 交边 于点 ，交边 于点 ，则 的最大值为 . 思 路 ： 本 题 由 于 为 过 的 任 一 直 线 ， 所 以 的值不确定，从而不容易利用三边向 量将 进行表示，所以考虑依靠等边三角形的特点， 建立直角坐标系，从而 坐标可解，再借助解析几何的思想设出直线 方程，与 方程联立解出 坐标，从而 可解出最大值 解：以 为轴建立直角坐标系 设直线 由 可得： 解得： 解得：   2 2 3 5 52 3 3 2 2 4 4a b a a a a a                   min 5 4a b    5 4 M ABC 2AB  l M AB P AC Q BQ CP  l M : , :AP AB AQ AC ,BQ CP  , , ,A B C M l ,AB AC ,P Q BQ CP  ,BC AM       31,0 , 1,0 , 0, 3 , 0, 3B C A M       3: 3l y kx       1,0 , 1,0 , 0, 3B C A    : 3 1 , : 3 1AB y x AC y y x        3 : 3 3 1 y kxP y x          2 3 3 3 3 1 3 x k ky k         3 : 3 3 1 y kxQ y x          2 3 3 3 3 1 3 x k ky k       Q P A B C M Q P A B C M 若直线与 相交，则 答案： 例 9：如图，四边形 是半径为 的圆 的外切正方形， 是圆 的内接正三角形，当 绕着圆心 旋转时， 的取 值范围是（ ） A. B. C. D. 思路：本题所给的图形为正方形及其内切圆，可考虑建立直角坐 标系，为了使坐标易于计算，可以 为坐标原点如图建系： ，确定 点的坐标是一个难点，观察两个 点之间的关系，无论 如何转动， ，如何从这 个恒定的角度去刻画此圆上两点坐标的联系呢：考虑圆的参数方 程 （ 参 数 的 几 何 意 义 为 圆 心 角 ， 与 角 度 相 联 系 ）， 设 ，从而 ，用 的三角函数将两 点坐标表示出来，从而可求出 的范围     5 3 3 3 1 5 3 3 3 1, , , 3 33 3 3 3 k k k kBQ CP k kk k                               2 2 2 22 2 5 3 3 5 3 3 3 1 3 1 75 9 3 1 6 22 39 3 3 33 33 3 3 3 k k k k k k kBQ CP kk kk kk k                       2 2 2 22 6 22 1 6 18 40 1 4063 3 3 33 3 k k k kk                  ,AB AC 3 3,3 3k       2 1 40 1 40 226 63 3 3 0 3 9BQ CP k                     22 9 ABCD 1 O PQR O PQR O AQ OR  1 2,1 2    1 2, 1 2      1 12, 22 2        1 12, 22 2      O    0,0 , 1, 1O A   ,Q R PQR 2 3ROQ    cos ,sinR     2 2cos ,sin 0,23 3Q                     AQ OR  y x 解： ， 答案：选 小炼有话说：在直角坐标系中涉及到圆上的点，除了想到传统坐标之外，还应想到圆的参数 方程，尤其是题目中有关于圆心角的条件时（例如本题中的 ），可依靠参数的几 何意义将条件充分的利用起来。 例 10：在平面上， ， ，若 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 思路：以 为入手点，考虑利用坐标系求解，题目中 和 点坐标均未知， 为 了 能 够 进 行 坐 标 运 算 ， 将 其 用 字 母 表 示 ： 设 ， 则 ，所求 范围即为求 的范围。下一步将题目的模长翻译成 关系，再寻找关 于 的不等关系即可 解 ： 如 图 以 为 轴 建 立 坐 标 系 ： 设 ， 则 2 2cos 1,sin 13 3AQ                      cos ,sinOR   2 2cos cos 1 sin sin 13 3AQ OR                                 1 3 1 3=cos cos sin 1 sin sin cos 12 2 2 2                      2 21 3 1 3= cos sin cos cos sin sin cos sin2 2 2 2             1 1= sin cos 2 sin2 2 4              0,2  1 12, 22 2AQ OR             C 2 3ROQ   1 2AB AB  1 2 1 21,OB OB AP AB AB        1 2OP  OA 50, 2       5 7,2 2       5 , 22       7 , 22       1 2AB AB  1 2,AB AB  O  1 2, , ,AB a AB b O x y        1 2,0 , ,0 , ,B a B b P a b OA 2 2x y , , ,a b x y 2 2x y 1 2,AB AB  1 2, , ,AB a AB b O x y        1 2,0 , ,0 , ,B a B b P a b ① ②与①联系可得： ，所以②转变为： ，即 另一方面： 同理，由 可得： 综上所述： ，则 答案：D 小炼有话说：（1）本题涉及到的点与线段较多，所以难点一方面在于是否能够想到建系去处 理，还有一方面在于选择哪两条线作为坐标轴。也许有同学会从 入手，选择 为坐标原点，这样 在以原点为圆心的单位圆上，且所求 只需计算出 的坐标即 可。但这种选法继续做下去会发现，首先 在圆上的位置不确定，坐标不易写出，其次无 法定位 ，从而使得条件 不便于使用。所以这种建系的方法在解题过程中障碍重 重，不利于求解。而利用现有的垂直建系，会使得 的坐标易于表示，进而求出 坐 标，只剩一个不好表示的 点，难度明显低于前一种建系方法。 （2）在坐标系建好之后，说明此题主流的解法是用变量，表达式去解决，所以下一步就要将 题目中的条件翻译成代数的关系。正所谓“数形结合”时，如果用到的是形，那么就将代数 条件翻译成几何特点，如果用到的是数，那就要将几何条件翻译成代数的特点。所以在“数 形结合”方法中“翻译”的步骤是必不可少的     2 2 2 2 1 2 1 2 22 1 1 1 1 a x y OB OB OB OB x y b                      2 2 21 1 1 2 4 4OP OP x a y b                 2 22 2 2 22 2 1 1 1 1 a x y a x y x y b y b x                  2 2 11 1 4y x    2 2 7 4x y   2 2 2 2 21 2 1a x y x y ax a        2 2 2 1 2x y a ax     2 22ax a x  2 2 2 2 2 21 1x y a a x y         22 1x y b   2 1x  2 2 2x y   2 27 24 x y   2 27 22 x y OA    1 2 1OB OB   O 1 2,B B OA A 1 2,B B ,A P 1 2OP  1 2, ,A B B P O