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文档介绍
数学·天津市宝坻一中2017届高三上学期开学数学试卷 Word版含解析
全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年天津市宝坻一中高三(上)开学数学试卷 一、选择题: 1.设集合P={1,2,3,4},Q={x|﹣2≤x≤2,x∈R}则P∩Q等于( ) A.{﹣2,﹣1,0,1,2} B.{3,4} C.{1} D.{1,2} 2.已知﹣1,a1,a2,8成等差数列,﹣1,b1,b2,b3,﹣4成等比数列,那么的值为( ) A.﹣5 B.5 C. D. 3.已知角α的终边经过点P(﹣4m,3m)(m≠0),则2sinα+cosα的值是( ) A.1或﹣1 B.或﹣ C.1或﹣ D.﹣1或 4.命题“∀x∈[1,2],x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5 5.若向量=(x+1,2)和向量=(1,﹣1)平行,则|+|=( ) A. B. C. D. 6.函数f(x)=,若f(a)=1,则a的值是( ) A.2 B.1 C.1或2 D.1或﹣2 7.在△ABC 中,点D在直线AC上,且=,点E在直线BD上,且=2,若=λ1+λ2,则λ1+λ2=( ) A.0 B. C. D. 8.定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)使不等式2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立,其中f′(x)为f(x)的导数,则( ) A.8<<16 B.4<<8 C.3<<4 D.2<<3 二、填空题: 9.已知复数z 满足z(1﹣i)=1+i,那么z= . 10.已知集合A={x|1+2x﹣3x2>0},B={x|2x(4x﹣1)<0},则A∩(∁RB)= . 11.若sin(﹣α)=,则cos(+2α)的值为 . 12.已知数列{an}满足a1=10,an+1﹣an=2n(n∈N*),则的最小值为 . 13.已知f(x)=4x﹣2x+1﹣3,则f(x)<0的解集为 . 14.平行四边形ABCD中,∠BAD=60°,AB=1,AD=,P为平行四边形内一点,且AP=,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的最大值为 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B﹣C)﹣1=6cosBcosC. (1)求cosA; (2)若a=3,△ABC的面积为,求b,c. 16.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+2n. (1)证明:数列{an}是等差数列,并求出数列{an}的通项公式; (2)求数列{}的前n项和为Tn. 17.已知=(sinx,cosx),=(cosx,cosx),f(x)=•. (1)若tanx=2,求f(x) 的值; (2)求函数f(x)的单调递增区间. 18.已知a<2,函数f(x)=(x2+ax+a)ex. (1)当a=1时,求f(x)的单调递增区间; (2)若f(x)的极大值是,求a的值. 19.数列{an}中,a1=3,an+1=2an+2. (I)求证:{an+2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; (II)设bn=,求Sn=b1+b2+…+bn,并证明:∀n∈N*,≤Sn<. 20.已知函数f(x)=x2+ax﹣lnx,a∈R. (Ⅰ)若a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围; (Ⅲ)令g(x)=f(x)﹣x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. 2016-2017学年天津市宝坻一中高三(上)开学数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题: 1.设集合P={1,2,3,4},Q={x|﹣2≤x≤2,x∈R}则P∩Q等于( ) A.{﹣2,﹣1,0,1,2} B.{3,4} C.{1} D.{1,2} 【考点】交集及其运算. 【分析】根据题意,由交集的定义,分析集合P、Q的公共元素,即可得答案. 【解答】解:根据题意,P={1,2,3,4},Q={x|﹣2≤x≤2,x∈R}, P、Q的公共元素为1、2, P∩Q={1,2}, 故选D. 2.已知﹣1,a1,a2,8成等差数列,﹣1,b1,b2,b3,﹣4成等比数列,那么的值为( ) A.﹣5 B.5 C. D. 【考点】等比数列的性质;等差数列的性质. 【分析】由﹣1,a1,a2,8成等差数列,利用等差数列的性质列出关于a1与a2的两个关系式,联立组成方程组,求出方程组的解得到a1与a2的值,再由﹣1,b1,b2,b3,﹣4成等比数列,利用等比数列的性质求出b12=4,再根据等比数列的性质得到b12=﹣b2>0,可得出b2小于0,开方求出b2的值,把a1,a2及b2的值代入所求式子中,化简即可求出值. 【解答】解:∵﹣1,a1,a2,8成等差数列, ∴2a1=﹣1+a2①,2a2=a1+8②, 由②得:a1=2a2﹣8, 代入①得:2(2a2﹣8)=﹣1+a2, 解得:a2=5, ∴a1=2a2﹣8=10﹣8=2, 又﹣1,b1,b2,b3,﹣4成等比数列, ∴b12=﹣b2>0,即b2<0, ∴b22=(﹣1)×(﹣4)=4, 开方得:b2=﹣2, 则==﹣5. 故选A 3.已知角α的终边经过点P(﹣4m,3m)(m≠0),则2sinα+cosα的值是( ) A.1或﹣1 B.或﹣ C.1或﹣ D.﹣1或 【考点】任意角的三角函数的定义. 【分析】求出OP的距离r,对m>0,m<0,分别按照题意角的三角函数的定义,求出sinα和cosα的值,然后再求2sinα+cosα的值,可得结果. 【解答】解:, 当m>0时,,; 当m<0时,,. 故选B. 4.命题“∀x∈[1,2],x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≥4},从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≥4}的真子集,由选择项不难得出答案. 【解答】解:命题“∀x∈[1,2],x2﹣a≤0”为真命题,可化为∀x∈[1,2],a≥x2,恒成立 即只需a≥(x2)max=4,即“∀x∈[1,2],x2﹣a≤0”为真命题的充要条件为a≥4, 而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集,由选择项可知C符合题意. 故选C 5.若向量=(x+1,2)和向量=(1,﹣1)平行,则|+|=( ) A. B. C. D. 【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角;平面向量共线(平行)的坐标表示. 【分析】利用向量共线定理和数量积的性质即可得出. 【解答】解:∵向量=(x+1,2)和向量=(1,﹣1)平行, ∴﹣(x+1)﹣2=0,解得x=﹣3. ∴=(﹣2,2)+(1,﹣1)=(﹣1,1). ∴=. 故选:C. 6.函数f(x)=,若f(a)=1,则a的值是( ) A.2 B.1 C.1或2 D.1或﹣2 【考点】函数的零点;函数的值. 【分析】根据分段函数,直接解方程即可得到结论. 【解答】解:若a<2,则由f(a)=1得,3a﹣2=1,即a﹣2=0, ∴a=2.此时不成立. 若a≥2,则由f(a)=1得,log=1, 得a2﹣1=3, 即a2=4, ∴a=2, 故选:A. 7.在△ABC 中,点D在直线AC上,且=,点E在直线BD上,且=2,若=λ1+λ2,则λ1+λ2=( ) A.0 B. C. D. 【考点】平面向量的基本定理及其意义. 【分析】根据三角形法则表示出与,将代入表示出,确定出λ1与λ2的值,即可求出所求式子的值. 【解答】解:由三角形法则得: =﹣=+, ∵=+=+==(﹣)=(+)= [﹣+(﹣)]=﹣, ∴=﹣+=﹣, ∴λ1+λ2=1﹣=, 故选:B. 8.定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)使不等式2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立,其中f′(x)为f(x)的导数,则( ) A.8<<16 B.4<<8 C.3<<4 D.2<<3 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】令g(x)=g(x)=,h(x)=,求出g(x),h(x)的导数,得到函数g(x),h(x)的单调性,可得g(2)<g(1),h(2)>h(1),由f(1)>0,即可得到4<<8. 【解答】解:令g(x)=, 则g′(x)==, ∵xf′(x)<3f(x),即xf′(x)﹣3f(x)<0, ∴g′(x)<0在(0,+∞)恒成立, 即有g(x)在(0,+∞)递减,可得 g(2)<g(1),即<, 由2f(x)<3f(x),可得f(x)>0,则<8; 令h(x)=,h′(x)==, ∵xf′(x)>2f(x),即xf′(x)﹣2f(x)>0, ∴h′(x)>0在(0,+∞)恒成立, 即有h(x)在(0,+∞)递增,可得 h(2)>h(1),即>f(1),则>4. 即有4<<8. 故选:B. 二、填空题: 9.已知复数z 满足z(1﹣i)=1+i,那么z= i . 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解答】解:∵z(1﹣i)=1+i, ∴, 故答案为:i. 10.已知集合A={x|1+2x﹣3x2>0},B={x|2x(4x﹣1)<0},则A∩(∁RB)= . 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】分别求出A与B中不等式的解集,确定出A与B,根据全集R求出B的补集,找出A与B补集的交集即可. 【解答】解:1+2x﹣3x2>0等价于(3x+1)(x﹣1)<0解的﹣<x<1, 即A=(﹣,1), 2x(4x﹣1)<0解的0<x<, 即B=(0,), ∴∁RB=(﹣∞,0]∪[,+∞), ∴A∩(∁RB)=, 故答案为: 11.若sin(﹣α)=,则cos(+2α)的值为 . 【考点】二倍角的余弦;角的变换、收缩变换. 【分析】利用二倍角的余弦公式把要求的式子化为2﹣1,再利用诱导公式化为2﹣1,将条件代入运算求得结果. 【解答】解:∵=cos2(+α)=2﹣1=2﹣1 =2×﹣1=, 故答案为:. 12.已知数列{an}满足a1=10,an+1﹣an=2n(n∈N*),则的最小值为 . 【考点】数列递推式. 【分析】利用“累加求和”方法可得an,利用导数研究函数的单调性即可得出. 【解答】解:∵a1=10,an+1﹣an=2n(n∈N*), ∴an=(an﹣an﹣1)++…+(a2﹣a1)+a1 =2(n﹣1)+2(n﹣2)+…+2+10 =2×+10 =n(n﹣1)+10. ∴=n﹣1+, 考察函数f(x)=x+﹣1的单调性, f′(x)=1﹣=, ∴函数f(x)在上单调递减,在上单调递增. 又f(3)=2+=,f(4)=3+=, 可知:当n=3时,f(n)取得最小值. 故答案为:. 13.已知f(x)=4x﹣2x+1﹣3,则f(x)<0的解集为 {x|x<log23} . 【考点】二次函数的性质. 【分析】因式分解,即可得出f(x)<0的解集. 【解答】解:由题意,4x﹣2x+1﹣3<0, ∴(2x﹣3)(2x+1)<0, ∴2x<3, ∴x<log23, ∴f(x)<0的解集为{x|x<log23}. 故答案为:{x|x<log23}. 14.平行四边形ABCD中,∠BAD=60°,AB=1,AD=,P为平行四边形内一点,且AP=,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的最大值为 . 【考点】平面向量的基本定理及其意义. 【分析】利用数量积定义及其运算性质、不等式的性质即可得出. 【解答】解: =λ+μ 丨丨2=(λ+μ)2, =λ2丨丨2+μ2丨丨2+2λμ••, =λ2丨丨2+μ2丨丨2+2λμ•丨丨•丨丨cos∠BAD, 由∠BAD=60°,AB=1,AD=,AP=, ∴=λ2+2μ2+λμ×, ∴(λ+μ)2=+λμ≤+()2, λ+μ≤, 故答案为:. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B﹣C)﹣1=6cosBcosC. (1)求cosA; (2)若a=3,△ABC的面积为,求b,c. 【考点】余弦定理;诱导公式的作用;两角和与差的余弦函数;正弦定理. 【分析】(1)利用两角和与差的余弦函数公式化简已知等式左边的第一项,移项合并后再利用两角和与差的余弦函数公式得出cos(B+C)的值,将cosA用三角形的内角和定理及诱导公式变形后,将cos(B+C)的值代入即可求出cosA的值; (2)由cosA的值及A为三角形的内角,利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值,利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积,将已知的面积及sinA的值代入,得出bc=6,记作①,再由a及cosA的值,利用余弦定理列出关于b与c的关系式,记作②,联立①②即可求出b与c的值. 【解答】解:(1)3cos(B﹣C)﹣1=6cosBcosC, 化简得:3(cosBcosC+sinBsinC)﹣1=6cosBcosC, 变形得:3(cosBcosC﹣sinBsinC)=﹣1, 即cos(B+C)=﹣, 则cosA=﹣cos(B+C)=; (2)∵A为三角形的内角,cosA=, ∴sinA==, 又S△ABC=2,即bcsinA=2,解得:bc=6①, 又a=3,cosA=, ∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得:b2+c2=13②, 联立①②解得:或. 16.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+2n. (1)证明:数列{an}是等差数列,并求出数列{an}的通项公式; (2)求数列{}的前n项和为Tn. 【考点】数列的求和;等差数列的通项公式. 【分析】(1)由a1=S1,n>1时,an=Sn﹣Sn﹣1,结合等差数列的定义和通项公式即可得到; (2)求得=(﹣),运用数列的求和方法:裂项相消求和,化简整理,即可得到所求和. 【解答】(1)证明:Sn=n2+2n, 可得a1=S1=3, n>1时,an=Sn﹣Sn﹣1=n2+2n﹣(n﹣1)2﹣(n﹣1)=2n+1. 综上可得an=2n+1(n∈N*), 即an﹣an﹣1=2, 则数列{an}是首项为3和公差为2的等差数列, 数列{an}的通项公式an=2n+1; (2)解: ==(﹣), 即有前n项和为Tn=(﹣+﹣+﹣+…+﹣) =(﹣)=. 17.已知=(sinx,cosx),=(cosx,cosx),f(x)=•. (1)若tanx=2,求f(x) 的值; (2)求函数f(x)的单调递增区间. 【考点】平面向量数量积的运算;正弦函数的单调性. 【分析】(1)先根据向量的坐标的数量积公式得到f(x),再根据同角的三角形函数的关系即可求出答案, (2)根据二倍角公式和两角和的正弦公式得到f(x)=sin(2x+)﹣,再根据正弦函数的性质即可求出单调增区间 【解答】解:(1)∵=(sinx,cosx),=(cosx,cosx), ∴f(x)=•=sinxcosx+cos2x====; (2)f(x)=•=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x﹣=sin(2x+)﹣, ∴﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z, ∴﹣+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, ∴函数f(x)的单调递增区间为[﹣+kπ, +kπ],k∈Z 18.已知a<2,函数f(x)=(x2+ax+a)ex. (1)当a=1时,求f(x)的单调递增区间; (2)若f(x)的极大值是,求a的值. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】(1)当a=1时,f′(x)=(x2+3x+2)ex,由此利用导数性质能求出f(x)的单调递增区间. (2)f′(x)=[x2+(a+2)x+2a]ex,由f′(x)=0,得x=﹣2,或x=﹣a,列表讨论,能求出a的值. 【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=(x2+x+1)ex, ∴f′(x)=(x2+3x+2)ex, 由f′(x)≥0,得x≤﹣2,或x≥﹣1, ∴f(x)的增区间为(﹣∞,﹣2],[﹣1,+∞). (2)f′(x)=[x2+(a+2)x+2a]ex, 由f′(x)=0,得x=﹣2,或x=﹣a, 列表讨论,得: x (﹣∞,﹣2) ﹣2 (﹣2,﹣a) ﹣a (﹣a,+∞) f′(x) + 0 ﹣ 0 + f(x) ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ ∴x=﹣2时,f(x)取得极大值, 又f(﹣2)=(4﹣a)•e﹣2,f(x)的极大值是6•e﹣2, ∴(4﹣a)•e﹣2=6•e﹣2,解得a=﹣2. ∴a的值为﹣2. 19.数列{an}中,a1=3,an+1=2an+2. (I)求证:{an+2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; (II)设bn=,求Sn=b1+b2+…+bn,并证明:∀n∈N*,≤Sn<. 【考点】数列的求和;等比关系的确定. 【分析】(Ⅰ)把原数列递推式变形,可得{an+2}是等比数列,求出其通项公式后可求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)把数列{an}的通项公式代入,整理后利用错位相减法求Sn=b1+b2+…+bn,然后放缩得答案. 【解答】(Ⅰ)证明:由an+1=2an+2,得an+1+2=2(an+2), ∵a1+2=5≠0,∴, ∴{an+2}是首项为5,公比为2的等比数列, 则, ∴; (Ⅱ)解:, ∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣① ﹣﹣﹣﹣﹣﹣② ①﹣②得:. ∴; ∵, ∴{Sn}单调递增,则, ∴. 20.已知函数f(x)=x2+ax﹣lnx,a∈R. (Ⅰ)若a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围; (Ⅲ)令g(x)=f(x)﹣x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】(I)欲求在点(1,f(1))处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决. (II)先对函数f(x)进行求导,根据函数f(x)在[1,2]上是减函数可得到其导函数在[1,2]上小于等于0应该恒成立,再结合二次函数的性质可求得a的范围. (III)先假设存在,然后对函数g(x)进行求导,再对a的值分情况讨论函数g(x)在(0,e]上的单调性和最小值取得,可知当a=e2能够保证当x∈(0,e]时g(x)有最小值3. 【解答】解:(I)a=0时,曲线y=f(x)=x2﹣lnx, ∴f′(x)=2x﹣,∴g′(1)=1,又f(1)=1 曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程x﹣y=0. (II)在[1,2]上恒成立, 令h(x)=2x2+ax﹣1,有得, 得 (II)假设存在实数a,使g(x)=ax﹣lnx(x∈(0,e])有最小值3, = ①当a≤0时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3,(舍去), ②当时,g(x)在上单调递减,在上单调递增 ∴,a=e2,满足条件. ③当时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3,(舍去), 综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时g(x)有最小值3. 2016年11月8日查看更多