2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练32 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练32 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

课时规范练32　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 基础巩固组 ‎1.(2017北京,理4)若x,y满足x≤3,‎x+y≥2,‎y≤x,‎则x+2y的最大值为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.1 B.3 ‎ C.5 D.9‎ ‎2.(2017天津,理2)设变量x,y满足约束条件‎2x+y≥0,‎x+2y-2≥0,‎x≤0,‎y≤3,‎则目标函数z=x+y的最大值为(　　)‎ A.‎2‎‎3‎ B.1 ‎ C.‎3‎‎2‎ D.3‎ ‎3.(2017山东,理4)已知x,y满足约束条件x-y+3≤0,‎‎3x+y+5≤0,‎x+3≥0,‎则z=x+2y的最大值是(　　)‎ A.0 B.2 ‎ C.5 D.6‎ ‎4.给出平面区域如图所示,其中A(5,3),B(1,1),C(1,5),若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值是(　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎‎1‎‎2‎ C.2 D.‎‎5‎‎2‎ ‎5.(2017江西新余一中模拟七,理6)若实数x,y满足条件x-y+1≥0,‎‎2x+y-2≥0,‎x-1≤0,‎则z=-‎5‎‎4x+3y的最大值为(　　)‎ A.-‎15‎‎8‎ B.-‎5‎‎4‎ ‎ C.-‎1‎‎2‎ D.-1‎ ‎6.不等式组x+y≥1,‎x-2y≤4‎的解集记为D,有下面四个命题:‎ p1:任意(x,y)∈D,x+2y≥-2,‎ p2:存在(x,y)∈D,x+2y≥2,‎ p3:任意(x,y)∈D,x+2y≤3,‎ p4:存在(x,y)∈D,x+2y≤-1,‎ 其中的真命题是(　　)‎ A.p2,p3 B.p1,p2 ‎ C.p1,p4 D.p1,p3‎ ‎7.(2017河北武邑中学一模,理5)若变量x,y满足不等式组y≤2,‎x+y≥1,‎x-y≤a,‎且z=3x-y的最大值为7,则实数a的值为(　　)‎ A.1 B.7 ‎ C.-1 D.-7〚导学号21500734〛‎ ‎8.(2017全国Ⅲ,理13)若x,y满足约束条件x-y≥0,‎x+y-2≤0,‎y≥0,‎则z=3x-4y的最小值为　　　　　. ‎ ‎9已知实数x,y满足条件x≥2,‎x+y≤4,‎‎-2x+y+c≥0,‎若目标函数z=3x+y的最小值为5,则其最大值为　　　　　. ‎ ‎10.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组‎2x+3y-6≤0,‎x+y-2≥0,‎y≥0‎所表示的平面区域上一动点,则|OM|的最小值是　　　　　. ‎ ‎11.(2017山东潍坊二模,理9改编)某化肥厂用三种原料生产甲乙两种肥料,生产1吨甲种肥料和生产1吨乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:已知生产1吨甲种肥料产生的利润2万元,生产1吨乙种肥料产生的利润为3万元,现有A种原料20吨,B种原料36吨,C种原料32吨,在此基础上安排生产,则生产甲乙两种肥料的利润之和的最大值为　　　　　万元. ‎ ‎　　 原料 肥料　 ‎ A B C 甲 ‎2‎ ‎4‎ ‎2‎ 乙 ‎4‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎〚导学号21500735〛‎ 综合提升组 ‎12.(2017山东潍坊一模,理9)设变量x,y满足约束条件y≥0,‎x+y-3≤0,‎x-2y+6≥0,‎若目标函数z=a|x|+2y的最小值为-6,则实数a等于(　　)‎ A.2 B.1 ‎ C.-2 D.-1‎ ‎13.若x,y满足约束条件‎3x-y-a≤0,‎x-y≥0,‎‎2x+y≥0,‎目标函数z=x+y的最大值为2,则实数a的值为(　　)‎ A.2 B.1 ‎ C.-1 D.-2‎ ‎14.(2017河南新乡二模,理10)若实数x,y满足‎2x-y+2≥0,‎‎2x+y-6≤0,‎‎0≤y≤3,‎且z=mx-y(m<2)的最小值为-‎5‎‎2‎,则m等于(　　)‎ A.‎5‎‎4‎ B.-‎5‎‎6‎ ‎ C.1 D.‎‎1‎‎3‎ ‎15.设x,y满足约束条件x≥0,‎y≥0,‎x‎3a‎+y‎4a≤1,‎若z=x+2y+3‎x+1‎的最小值为‎3‎‎2‎,则a的值为　　　　　. ‎ 创新应用组 ‎16.(2017山西晋中一模,理10)在平面直角坐标系中,不等式组x+y≤0,‎x-y≤0,‎x‎2‎‎+y‎2‎≤r‎2‎,‎(r为常数)表示的平面区域的面积为π,若x,y满足上述约束条件,则z=x+y+1‎x+3‎的最小值为(　　)‎ A.-1 B.-‎5‎2‎+1‎‎7‎ ‎ C.‎1‎‎3‎ D.-‎7‎‎5‎〚导学号21500736〛‎ ‎17.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:‎ ‎　　原料 肥料　　‎ A B C 甲 ‎4‎ ‎8‎ ‎3‎ 乙 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ 现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.‎ ‎(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;‎ ‎(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.‎ ‎〚导学号21500737〛‎ 参考答案 课时规范练32　二元一次不等 式(组)与简单的线性规划问题 ‎1.D　由题意画出可行域(如图).‎ 设z=x+2y,则z=x+2y表示斜率为-‎1‎‎2‎的一组平行线,当过点C(3,3)时,目标函数取得最大值zmax=3+2×3=9.故选D.‎ ‎2.D　由约束条件可得可行域如图阴影部分所示.‎ 目标函数z=x+y可化为y=-x+z.作直线l0:y=-x,平行移动直线y=-x,当直线过点A(0,3)时,z取得最大值,最大值为3.故选D.‎ ‎3.C　画出约束条件表示的平面区域如图阴影部分所示.‎ 由目标函数z=x+2y得直线l:y=-‎1‎‎2‎x+‎1‎‎2‎z,当l经过点C(-3,4)时,z取最大值,且zmax=-3+2×4=5.故选C.‎ ‎4.B　直线y=-ax+z(a>0)的斜率为-a<0,当直线y=-ax平移到直线AC位置时取得最大值的最优解有无穷多个.‎ ‎∵kAC=-‎1‎‎2‎,‎ ‎∴-a=-‎1‎‎2‎,即a=‎1‎‎2‎.‎ ‎5.C　由约束条件x-y+1≥0,‎‎2x+y-2≥0,‎x-1≤0,‎作出可行域如图阴影部分所示.‎ ‎∵z=-‎5‎‎4x+3y,∴4x+3y取得最大值时,z取得最大值.‎ 与4x+3y=0平行的直线经过点A时,4x+3y取得最大值,故z最大,‎ 由x=1,‎x-y+1=0,‎得A(1,2),即zmax=-‎5‎‎4×1+3×2‎=-‎1‎‎2‎.故选C.‎ ‎6.B　画出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示.‎ 作直线l0:y=-‎1‎‎2‎x,平移l0,当直线经过点A(2,-1)时,x+2y取最小值,此时(x+2y)min=0.故p1:任意(x,y)∈D,x+2y≥-2为真命题.p2:存在(x,y)∈D,x+2y≥2为真命题.故选B.‎ ‎7.A　作出直线y=2,x+y=1,再作直线l:3x-y=0,而向下平移直线l:3x-y=0时,z增大,而直线x-y=a的斜率为1,因此直线l过直线x-y=a与y=2的交点A时,z取得最大值,由‎3x-y=7,‎y=2,‎得A(3,2),所以a=3-2=1,故选A.‎ ‎8.-1　画出不等式组表示的可行域,如图,结合目标函数的几何意义,得目标函数在点A(1,1)处取得最小值z=3×1-4×1=-1.‎ ‎9.10　画出x,y满足的可行域如下图,可得直线x=2与直线-2x+y+c=0的交点A使目标函数z=3x+y取得最小值5,故由x=2,‎‎-2x+y+c=0,‎解得x=2,‎y=4-c,‎ 代入3x+y=5得6+4-c=5,即c=5.‎ 由x+y=4,‎‎-2x+y+5=0,‎得B(3,1).‎ 当过点B(3,1)时,目标函数z=3x+y取得最大值,最大值为10.‎ ‎10.‎2‎　由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示.‎ 由图可知|OM|的最小值即为点O到直线x+y-2=0的距离,即dmin=‎|-2|‎‎2‎‎=‎‎2‎.‎ ‎11.19　设生产甲种肥料和生产乙种肥料分别为x,y吨,‎ 则x,y满足的条件关系式为‎2x+4y≤20,‎‎4x+4y≤36,‎‎2x+8y≤32,‎x≥0,y≥0,‎即x+2y≤10,‎x+y≤9,‎x+4y≤16,‎x≥0,y≥0,‎ 再设生产甲乙两种肥料的利润之和为z,则z=2x+3y.由约束条件作出可行域如图:‎ 联立x+2y=10,‎x+y=9,‎解得A(8,1),‎ 作出直线2x+3y=0,平移至点A时,目标函数z=2x+3y有最大值为19.‎ ‎∴当生产甲种肥料8吨,乙种肥料1吨时,利润最大,最大利润为19万元.‎ ‎12.D　变量x,y满足约束条件y≥0,‎x+y-3≤0,‎x-2y+6≥0‎的可行域如图.‎ 由目标函数z=a|x|+2y的最小值为-6,可知目标函数过点B,‎ 由y=0,‎x-2y+6=0,‎解得B(-6,0),-6=a|-6|,解得a=-1,故选D.‎ ‎13.A　作出不等式组x-y≥0,‎‎2x+y≥0‎对应的平面区域如图(阴影部分).‎ ‎∵目标函数z=x+y的最大值为2,‎ ‎∴z=x+y=2.‎ 作出直线x+y=2,由图像知x+y=2与平面区域相交于点A.‎ 由x-y=0,‎x+y=2,‎得x=1,‎y=1,‎即A(1,1).‎ 可知点A(1,1)在直线3x-y-a=0上,‎ 即3-1-a=0,解得a=2.故选A.‎ ‎14.C　变量x,y满足约束条件的平面区域如图阴影部分所示,z=mx-y(m<2)的最小值为-‎5‎‎2‎,‎ 可知目标函数过点A时取得最小值,由y=3,‎‎2x-y+2=0,‎解得A‎1‎‎2‎‎,3‎,‎ 所以-‎5‎‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎m-3,解得m=1,故选C.‎ ‎15.1　∵x+2y+3‎x+1‎=1+‎2(y+1)‎x+1‎,而y+1‎x+1‎表示过点(x,y)与点(-1,-1)的直线的斜率,易知a>0,故作出可行域如图阴影部分,‎ 由题意知y+1‎x+1‎的最小值是‎1‎‎4‎,即y+1‎x+1‎min‎=‎0-(-1)‎‎3a-(-1)‎=‎1‎‎3a+1‎=‎‎1‎‎4‎⇒a=1.‎ ‎16.D　∵不等式组x+y≤0,‎x-y≤0,‎x‎2‎‎+y‎2‎≤r‎2‎,‎(r为常数)表示的平面区域的面积为π,‎ ‎∴圆x2+y2=r2的面积为4π,则r=2.由约束条件作出可行域如图,‎ z=x+y+1‎x+3‎=1+y-2‎x+3‎,而y-2‎x+3‎的几何意义为可行域内的一个动点与定点P(-3,2)连线的斜率.‎ 设过点P的圆的切线的斜率为k,则切线方程为y-2=k(x+3),即kx-y+3k+2=0.‎ 由‎|3k+2|‎k‎2‎‎+1‎=2,解得k=0或k=-‎12‎‎5‎,∴z=x+y+1‎x+3‎的最小值为1-‎12‎‎5‎=-‎7‎‎5‎.故选D.‎ ‎17.解 (1)由已知,x,y满足的数学关系式为‎4x+5y≤200,‎‎8x+5y≤360,‎‎3x+10y≤300,‎x≥0,‎y≥0.‎ 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:‎ 图1‎ 图2‎ ‎(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.‎ 考虑z=2x+3y,将它变形为y=-‎2‎‎3‎x+z‎3‎,这是斜率为-‎2‎‎3‎,随z变化的一族平行直线,z‎3‎为直线在y轴上的截距,当z‎3‎取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距z‎3‎最大,即z最大.‎ 解方程组‎4x+5y=200,‎‎3x+10y=300,‎得点M的坐标为(20,24).‎ 所以zmax=2×20+3×24=112.‎ 即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.‎