数学理卷·2017湖北省襄阳市第五中学高三第二次适应性考试（2017

数学理卷·2017湖北省襄阳市第五中学高三第二次适应性考试（2017

‎2017届襄阳五中高三年级第二次适应性考试 数学（理）试 题 命题人：李冲 审题人：肖计雄、张华齐 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ A、 设集合，，则等于（ ） A． B． C． D．‎ B、 设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A． -1 B．1 C．-2 D．2‎ C、 把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是(　　） A．对立事件　　B． 互斥但不对立事件　　C．不可能事件 　　D．以上均不对 D、 设命题，；命题：，，则下列命题为真的是（ ） A． B． C． D．‎ E、 已知等比数列的各项都为正数, 且成等差数列, 则的值是 A． B. C. D. ‎ F、 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A． B. C . D. ‎ G、 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为。双曲线 x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1‎ H、 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的的值为（ ）‎ A． 2 B．-1 C. D．‎ I、 若实数满足：，则的最小值为（ ） A． B． C. D．‎ J、 将5名学生分到A、B、C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 48种 D. 60种 A、 已知函数的图象的相邻两对称轴之间的距离为，且在时取得最大值2，若，且，则的值为（　　） A． B． C． D．‎ B、 已知，若，则取得最小值时，所在的区间是( ) A． B． C． D． ‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ C、 在中角的对边分别为，已知，则 .‎ D、 在的展开式中，的系数为 （用数字作答）.‎ E、 己知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为。BC=3，BD=，∠CBD=90°，则球O的体积为_____.‎ F、 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”.下列有关说法中： ①对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； ②函数是圆的一个太极函数； ③存在圆，使得是圆的太极函数； ④直线所对应的函数一定是圆的太极函数； 所有正确说法的序号是 . ‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ G、 ‎（12分）已知数列的前项和为，且对任意正整数，都有成立．记． （1）求数列和的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：． ‎ H、 ‎（12分）‎ 某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10天．两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内（含40件）的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元．经统计，两个厂家的试销情况茎叶图如下：‎ 甲 乙 ‎8‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎（Ⅰ）现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都大于40的概率；‎ ‎（Ⅱ）若将频率视作概率，回答以下问题：‎ ‎（ⅰ）记乙厂家的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；‎ ‎（ⅱ）商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由．‎ A、 ‎ （12分）如图1，已知在菱形中，，为的中点，现将四边形沿折起至，如图2. （1）求证：面； （2）若二面角的大小为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ B、 ‎（12分）已知椭圆的右焦点，过点F作平行于y轴的直线截椭圆C所得的弦长为。 （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆C于P、Q两点，N点在直线上，若是等边三角形，求直线的方程。 ‎ C、 ‎（12分）已知函数. （1）若不存在极值点，求的取值范围； （2）若，证明：. 请考生在22、23两题选一题作答[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ A、 ‎（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为 （1）若，求直线的极坐标方程以及曲线C的直角坐标方程； （2）若直线与曲线C交于M,N两点，且，求直线的斜率.‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ B、 ‎（10分）已知. （1）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值的集合； （2）设，证明：.‎ 第二次适应性考试数学（理科）参考答案 BABAC BDDBD DB ‎ 160 ②④‎ ‎17、（1）在中，令得.‎ 因为对任意正整数，都有成立，时，，‎ 得，，所以，‎ 又，所以数列是以为首项，4为公比的等比数列，即，所以.………...........6分 ‎（2）由题意及（1）知，‎ 所以.‎ 由于为单调增函数 ，则故 ………......12分 ‎18、解：（Ⅰ）记“抽取的两天销售量都大于40”为事件A，‎ 则．………........2分 ‎（Ⅱ）（ⅰ）设乙产品的日销售量为a，则 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ ‎∴的所有可能取值为：152,156,160,166,172，‎ ‎∴的分布列为 ‎152‎ ‎156‎ ‎160‎ ‎166‎ ‎172‎ ‎………........6分 ‎∴．………........7分 ‎（ⅱ）依题意，甲厂家的日平均销售量为：‎ ‎，‎ ‎∴甲厂家的日平均返利额为：元，‎ 由（ⅰ）得乙厂家的日平均返利额为162元（>149元），‎ ‎∴推荐该商场选择乙厂家长期销售．………............12分 ‎19．证明：(1)∵四边形ABCD为菱形,且，为正三角形， ‎ ‎∵为的中点  ………........4分 ‎（2）以点E为坐标原点，分别以线段ED，EA所在直线为x，y轴，再以过点E且垂直于平面ADE且向上的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示.‎ ‎，为二面角A-DE-H的一个平面角，……….......6分 设则[来源:学|科|网]‎ 由得 ‎ 设平面的法向量为，则 令得.而平面的一个法向量为 设平面与平面所成锐二面角的大小为,则.‎ 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为………............12分 ‎20、解：(Ⅰ) 设椭圆C的焦半距为c，则c=，于是a2-b2=6．‎ 由，整理得y2=b2(1-)=b2×= ，解得y=，‎ ‎∴ ，即a2=2b4，∴ 2b4-b2-6=0，解得b2=2，或b2=-（舍去），进而a2=8，‎ ‎∴ 椭圆C的标准方程为．………........4分 ‎(Ⅱ)设直线：，． ‎ 联立直线与椭圆方程： 消去得：， ‎ ‎∴ y1+y2=，y1y2=． 于是， ‎ 故线段PQ的中点． ‎ 设， 由，则， ‎ 即，整理得，得．………........8分 又△是等边三角形，‎ ‎∴ ，即，………..........10分 即， ‎ 整理得， 即，‎ 解得 ，， ‎ ‎∴ 直线l的方程是．........12分 ‎21．【解析】（1）的定义域为，且，‎ 设，则.‎ ‎①当，即时，，所以在上单调递增；‎ 又，，即，‎ 所以在上恰有一个零点，‎ 且当时，；当时，；‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以是的极小值点，不合题意. ………........2分 ‎………........4分 ‎②当，即时，，‎ 所以，所以在上恰有一个零点，‎ 且当时，；当时，；‎ 即在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以是的极小值点，不合题意.综上，的取值范围是；………........6分 ‎（2）因为，，所以，‎ 要证明，只需证明，‎ 当时，因为，所以成立；………....8分 当时，设，则，‎ 设，则，因为，所以，‎ 所以在上单调递增，所以，即，‎ 所以在上单调递增，所以，即，‎ 综上，若，则.………........12分 ‎22、解析】（1）依题意，直线：，可知直线是过原点的直线，故其极坐标方程为.又，所以.………........4分 ‎（2）依题意，直线l的极坐标方程为；‎ 设M、N对应的极径分别为，将代入曲线的极坐标可得 ，所以，，‎ 所以，故，则，‎ 故直线的斜率为.…………….......10分 ‎23（1）由绝对值不等式的性质知，‎ 因为恒成立，所以，即，所以.………........4‎ 分 ‎（2）‎ 因为，所以，，故.‎ 所以.………........10分