湖南省长沙市铁路一中2019届高三上学期第三次阶段性测试数学（理）试卷

湖南省长沙市铁路一中2019届高三上学期第三次阶段性测试数学（理）试卷

长铁一中2018年下学期高三年级第3次阶段性测试 理科数学试题 命题人：左辉霞 审题：高二数学组 时量：120分钟 满分：150分 一、填空题（共12小题，每小题5分）‎ ‎1．设集合，若，则的值为 ( )‎ A．0 B．1 C． D．2‎ ‎2．已知复数满足（为虚数单位），则复数所对应的点所在象限为（ ）‎ A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D．第四象限 ‎4.下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是 （ ）‎ A B ‎ ‎ C D ‎ ‎5. 如右图，给出了一个程序框图,其作用是输入的值,输出 相应的的值,若要使输入的的值与输出的的值相等,则这样的的值的集合为（ ）‎ A.{0} B.{1,3} C.{0,1,3} D.{0,3} ‎ ‎ 6. 已知直线与直线垂直，平行于平面，则 与平面的位置关系是（ ）‎ 主视图 左视图 俯视图 ‎ A． B． ‎ ‎ C．与平面相交 D．以上都有可能 ‎7.某几何体三视图如右，其中三角形的三边长与圆的 直径均为2，则该几何体体积为（ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ ‎8、曲线和曲线围成一个叶形图 ‎（如图所示阴影部分），其面积是（ ）‎ ‎ A．1 B． ‎ ‎ C． D． ‎9.分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道. 要求4名水暖工都分配出去，并每名水暖工只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有( ）‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎10. 已知抛物线的准线与双曲线的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.如图，在中，，则的值为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎12.定义在R上的函数满足，为函数的导函数，已知的图像如图所示，若两个正数满足，则的取值范围是 （ ）‎ 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 若函数在区间是减函数，则的取值范围是________.‎ ‎ 14. 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_____________‎ ‎15、已知数列满足，且则 （用a,b表示）‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 ‎ ‎（1）求sinBsinC;‎ ‎（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.‎ ‎19.(12分)如图所示的多面体中，面是边长为2的正方形，平面⊥平面，，分别为棱的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）已知二面角的余弦值为，求四棱锥的体积．‎ ‎20.已知抛物线C的顶点是椭圆的中心，且焦点与该椭圆右焦点重合。‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）若为x轴上一动点，过P点作直线交抛物线C于A、B两点。‎ ①设试问：当a为何值时，t取得最小值，并求此最小值。‎ ②若a=－1，点A关于x轴的对称点为D，证明：直线BD过定点。‎ ‎21.（本题满分12分）已知 ‎（Ⅰ）证明：图象恒在直线的上方；‎ ‎（Ⅱ）若在恒成立，求的最小值.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为.‎ ‎（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；‎ ‎（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.‎ ‎23.已知函数f(x)＝的定义域为R.‎ ‎(1)求实数m的取值范围；‎ ‎(2)若m的最大值为n，当正数a，b满足＋＝n时，求7a＋4b的最小值．‎ 长铁一中2018年下学期高三年级第3次阶段性测试 理科数学参考答案 一、选择题答案表：本大题共12题，每小题5分，共60分 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D C D C D C B A C C A 二、填空题答案：本大题共有4小题，每小题5分，满分20分 ‎13、 14、 20__ 15. 16. ‎ ‎18.‎ ‎19.证明：（Ⅰ）取中点，连接，，‎ 因为是正方形，所以，.‎ 因为分别是,中点，所以,.‎ 又因为且，所以，，‎ 所以四边形是平行四边形, 所以. ‎ 又因为平面，平面 所以平面． ‎ ‎（Ⅱ）因为平面⊥平面， 平面平面，‎ ‎ ，平面， 所以平面． ‎ ‎ 如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系．‎ 设，则 ． ‎ ‎ 因为⊥底面，所以平面的一个法向量为. ‎ ‎ 设平面PFB的一个法向量为，‎ ‎ ,‎ ‎ 则 即 令x=1，得，所以． 由已知，二面角的余弦值为，‎ 所以得 ， 解得a =2,所以． 因为是四棱锥的高，所以其体积为 ‎． ‎ ‎20.解：（Ⅰ）由题意，设抛物线C的标准方程为y2=2px（x>0），焦点F（，0），‎ ‎∵椭圆的右焦点为（1，0），‎ ‎∴，即p=2，‎ ‎∴抛物线方程为：y2=4x …………4分 ‎（Ⅱ）（ⅰ）设直线AB：my=x一a．‎ 联立，消x得=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=一4a，，由S△AOB= =‎ ‎∴,‎ ‎∵， ‎ ‎ ∴,‎ ‎∴当a=2时，t有最小值一2． …………8分 ‎（ⅱ）由（ⅰ）可知D（x1，一y1），，，‎ 直线BD的方程为y一y2=，即 y=∴y=，‎ ‎∴直线BD过定点（1，0） 12分 ‎21. 解（Ⅰ）由题意只需证 即证明在上恒成立。‎ 令， ‎ 即单调递增。‎ 又，所以在唯一的解，记为，‎ 且 ‎ 可得当 所以只需最小值 ‎ 易得，，所以.所以结论得证。‎ ‎（Ⅱ）令，则， ‎ 所以，当时，‎ 要使，只需 ‎ 要使成立，只需恒成立。‎ 令 则，由 当时， 此时有成立。‎ ‎ 所以满足条件。‎ 当时， 此时有 ‎ 不符合题意，舍去。‎ 当时，令得 可得当时，。即时，‎ 不符合题意舍去。‎ 综上， ‎ 又 所以的最小值为。‎ ‎22.解：（1）由得，‎ 即，‎ 故曲线的一个参数方程为（为参数，且）.‎ ‎（2）由（1）可知点的坐标为，，‎ 则矩形的周长为，‎ ‎∵，∴，∴，∴‎ ‎23.解：(1)因为该函数的定义域为R，所以|x＋1|＋|x－3|－m≥0恒成立．‎ 设函数g(x)＝|x＋1|＋|x－3|，则m不大于函数g(x)的最小值，‎ 又|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4，即g(x)的最小值为4，所以m≤4.‎