四川省成都市蓉城名校联盟2020届高三上学期第一次联考（文）数学试题

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蓉城名校联盟2017级高三第一次联考 文科数学 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式求得集合，解一元一次不等式求得集合，由此求得两个集合的并集.‎ ‎【详解】由，解得.由解得.所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，考查一元一次不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2.已知复数，则对应的点在复平面内位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数除法运算化简，由此求得对应点所在象限.‎ ‎【详解】依题意，对应点为，在第一象限.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题.‎ ‎3.命题“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题的知识，写出原命题的否定.‎ ‎【详解】原命题是全称命题，故其否定是特称命题，注意到条件不否定、结论要否定，故D选项符合.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查全称命题的否定，属于基础题.‎ ‎4.下列函数中，任取函数定义域内，满足，且在定义域内单调递减的函数是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对四个选项逐一分析，结合以及函数定义域内单调递减确定正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，由于函数的定义域为，所以在定义域内不是单调递减函数，不符合题意. 正确的说法是在和上递减.‎ 对于B选项，.的定义域为 ‎，且函数定义域内单调递减，符合题意.‎ 对于C选项，，不符合题意.‎ 对于D选项，，不符合题意.‎ 综上所述，B选项符合题意.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数运算和对数运算，考查指数函数、对数函数和幂函数的单调性，属于基础题.‎ ‎5.函数的一条对称轴是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用降次公式和辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦型函数的对称轴的求法，求得函数的对称轴，从而得出正确选项.‎ ‎【详解】依题意，，由解得为函数的对称轴，令求得函数的一条对称轴为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查正弦型三角函数的对称轴的求法，属于基础题.‎ ‎6.若数列各项不相等的等差数列，，且，，成等比数列，则（ ）‎ A. 18 B. 28‎ C. 44 D. 49‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比中项列方程，将方程转换为只含的表达式后求得，由此求得的值.‎ ‎【详解】由于，，成等比数列，所以，所以，即，依题意“数列各项不相等等差数列”，所以，故由得，而，所以.所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项的基本量的计算，考查等差数列前项和的求法，属于基础题.‎ ‎7.在平面四边形中，已知，，，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用含有角的直角三角形的性质求得，在三角形中用余弦定理求得.‎ ‎【详解】由于直角三角形中，所以，所以，因为，所以.在三角形中，由余弦定理得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查特殊的直角三角形的性质，属于基础题.‎ ‎8.已知函数是定义在R上的偶函数，若函数满足，，且，.若，，，则，，三者的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意判断出函数的单调性，结合偶函数的性质比较出的大小关系.‎ ‎【详解】由于函数满足，，且，，所以函数在上为单调递减函数.而函数为偶函数，故，.而，所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查利用函数的性质比较大小，考查对数运算，属于基础题.‎ ‎9.函数在区间上的图象为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的奇偶性和函数图像上的特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】令（），，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，由此排除A,D两个选项.‎ 当时，，而为第二象限角，所以，而，所以，由此排除C选项.故B选项符合.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性和函数图像上的特殊点，判断函数的图像，属于基础题.‎ ‎10.若函数在区间上有2个极值点，则的取值范围为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数求得函数的单调区间，结合函数在区间上有个极值点列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】.显然，当时，只有个极值点，不符合题意.只有C选项符合.‎ 构造函数.依题意在区间上有两个不同的零点，故，即，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，考查二次函数零点分布问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎11.已知的内角，，所对的边分别为，，，且,若，则的周长的最大值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，将周长转化为角的形式，利用三角恒等变换进行化简，结合三角函数最值的求法，求得周长的最大值.‎ ‎【详解】由正弦定理得，，所以，因为，所以，由正弦定理求得.所以，由于，故当时，周长取得最大值为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形内角和定理，考查辅助角公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎12.己知函数，若，且，则的取值范围为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将分成，，三种情况，结合，利用导数和基本不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】不妨设.‎ 当时，，不合题意.‎ 当，，由得（时，不符合，故），所以，构造函数，，故当时，递减，当时，，递增，故，故.‎ 当时，，由得，所以.‎ 综上所述，的取值范围是.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查方程与不等式，考查利用导数求取值范围，考查基本不等式的运用，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题：‎ ‎13.“”是“”的______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）.‎ ‎【答案】充分不必要 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得两个一元一次不等式的解集，根据两者的包含关系填写出正确结论.‎ ‎【详解】不等式的解集为，不等式的解集为，由于Ü，所以“”是“”的充分不必要条件.‎ 故答案为：充分不必要.‎ ‎【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查一元一次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎14.若非零向量，满足，，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将两边平方，利用向量数量积的运算进行化简，由此求得.‎ ‎【详解】将两边平方得，即，，，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查平面向量模的运算，考查平面向量数量积运算，属于基础题.‎ ‎15.已知为数列的前项和，且，，，则______‎ ‎【答案】1023‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将转化为，由此证得是等比数列，由此求得，进而求得.‎ ‎【详解】由得，即，故数列是首项为，公比为的等比数列，故，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查数列递推关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎16.已知函数，且不等式在上恒成立，则实数的取值范围为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原不等式转化为.对分成两种情况进行分类讨论，结合导数求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】不等式即，化简为①.根据的图像可知，当时，，.故当时，①式显然成立.‎ 当时，由①得在上恒成立.构造函数（为方便解题，先令函数定义域包括.），注意到.，，，，，故在上单调递增.要使①在上恒成立，则需，即.‎ 综上所述，实数的取值范围为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求得不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎17.的内角，，的对边分别为，，,已知，，.‎ ‎（1）求角的大小:‎ ‎（2）求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据求得，利用正弦定理求得，根据三角形大角对大边，求得角 的大小.‎ ‎（2）求得的值，利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式求得的值，再由三角形面积公式求得三角形的面积.‎ ‎【详解】（1）∵ 是的内角 ‎∴且 又，，‎ ‎∴‎ 又，∴，∴‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查三角形内角和定理以及三角形面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎18.如图，在长方形中，，，点是的中点.将沿折起，使平面平面，连结、、.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）点是线段的中点，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用勾股定理证得，由此根据面面垂直的性质定理，证得平面，从而证得平面平面.‎ ‎（2）将所求三棱锥的体积，通过等体积法，转化为.作的中点，连接，根据等腰三角形的性质结合面面垂直的性质定理，证得平面，由此求得，进而求得三棱锥的体积.‎ ‎【详解】（1）证明：∵，‎ ‎∴，又 ‎∴∴‎ 又平面平面，平面平面 ‎∴平面 又平面 ∴平面平面.‎ ‎（2）∵是线段的中点 ‎∴‎ 作的中点，连接，‎ ‎∵∴‎ 又平面平面∴平面 又，‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查锥体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎19.某社会机构为了调查对手机游戏的兴趣与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下列联表：‎ ‎（1）根据列联表，能否有99.9%的把握认为对手机游戏的兴趣程度与年龄有关?‎ ‎（2）若已经从40岁以下的被调查者中用分层抽样的方式抽取了5名，现从这5名被调查者中随机选取3名，求这3名被调查者中恰有1名对手机游戏无兴趣的概率.‎ 附： ‎ 参考数据：‎ ‎【答案】（1）没有的把握认为手机游戏的兴趣程度与年龄有关；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算出，根据参考数据判断出没有的把握认为手机游戏的兴趣程度与年龄有关.‎ ‎（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，求得所求概率.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎∴没有99.9%把握认为手机游戏的兴趣程度与年龄有关.‎ ‎（2）由题得40岁以下的被调查者中用分层抽样的方式抽取的5名人员中有3名对手机游戏很有兴趣，‎ 设为、、；有2名对手机游戏无兴趣，设为、，从、、、，中随机选取3名的基本事件有、、、、、、、、、共10个.‎ 其中，恰有1个的有、、、、、共6个 ‎∴这3名被调查者中恰有1名对手机游戏无兴趣的概率为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验，考查古典概型概率计算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎20.已知定点，定直线的方程为，点是上的动点，过点与直线垂直的直线与线段的中垂线相交于点，设点的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程:‎ ‎（2）点，点， 过点作直线与曲线相交于、两点，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据垂直平分线的性质以及抛物线的定义，求得曲线的轨迹方程.‎ ‎（2）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，消去，写出韦达定理，通过计算，证得，从而证得.‎ ‎【详解】（1）由题知，‎ ‎∴点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，‎ ‎∴曲线的方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ ‎，，‎ 由得，‎ ‎， ，‎ 又，，‎ ‎∴‎ ‎∴∴‎ ‎【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查根与系数关系的运用，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）讨论函数的零点的个数.‎ ‎【答案】（1）在上是减函数，在上是增函数；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得函数的定义域，然后利用导数求得函数的单调区间.‎ ‎（2）先由得，判断且后分离常数得到 ‎，构造函数（且），利用导数研究函数的单调区间，画出的大致图像，结合图像讨论得函数的零点的个数.‎ ‎【详解】（1）的定义域为 ‎∵在上是增函数，且 ‎∴是 ，时 ‎ ‎∴ 在上是减函数，在上是增函数 ‎（2）由得 不是该方程的解 ∴且 ‎∴‎ 令 （且）‎ 则 ‎ 令 则在上是增函数 又 ‎ ‎∴时 ‎ 时，‎ ‎∴在，是减函数，在上是增函数，‎ 又，时，‎ 时，‎ 时，‎ 时 ，‎ ‎∴的大致图象如图所示 ‎∴时有一个零点，‎ 时无零点，‎ 时有一个零点，‎ 时有两个零点，‎ 综上：时有两个零点，‎ 或时有一个零点，‎ 时无零点，‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究函数零点，考查分类讨论的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，综合性很强，属于难题.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求的普通方程和的直角坐标方程;‎ ‎(2)若点、分别是与上动点，求的最小值.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用消去参数，求得的普通方程，结合两角和的余弦公式化简，求得的直角坐标方程.‎ ‎（2）根据曲线的参数方程，得到点的坐标，根据点到直线距离公式，结合辅助角公式以及三角函数的性质，求得的最小值.‎ ‎【详解】（1）由，求得的普通方程为.由化简得，所以的直角坐标方程为.‎ ‎（2）依题意可知，由点到直线的距离公式得：‎ ‎∴的最小值为 ‎【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用参数方程求直线和椭圆上的点的距离的最小值.属于中档题.‎ ‎23.设函数.‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)若在R上恒成立，求取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.‎ ‎（2）将不等式转化为，利用绝对值不等式得到，进而由求解出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时 由，‎ 当，；‎ 当，，故；‎ 当，.‎ 综上所述，原不等式的解集为 ‎（2）‎ ‎∵‎ 当时等号成立.‎ ‎∴等价于得或 ‎∴的取值范围为 ‎【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎ ‎