人教A版文科数学课时试题及解析(26)平面向量的应用

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人教A版文科数学课时试题及解析(26)平面向量的应用

课时作业(二十六) [第26讲 平面向量的应用]‎ ‎ [时间:45分钟  分值:100分]‎ ‎1.一物体受到相互垂直的两个力f1、f2的作用,两力大小都为5 N,则两个力的合力的大小为(  )‎ A.10 N B.0 N ‎ C.5 N D. N ‎2.若a,b是非零向量,且a⊥b,|a|≠|b|,则函数f(x)=(xa+b)·(xb-a)是(  )‎ A.一次函数且是奇函数 B.一次函数但不是奇函数 C.二次函数且是偶函数 D.二次函数但不是偶函数 ‎3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若=a1+a200,且A、B、C三点共线(该直线不过原点),则S200=(  )‎ A.100 B.‎101 C.200 D.201‎ ‎4.若向量a=(2sinα,1),b=(2sin2α+m,cosα)(α∈R),且a∥b,则m的最小值为________.‎ ‎5.已知两个力F1、F2的夹角为90°,它们的合力大小为10 N,合力与F1的夹角为60°,则F1的大小为(  )‎ A.5 N B.5 N C.10 N D.5 N ‎6. 设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a·b=-,〈a-c,b-c〉=60°,则|c|的最大值等于(  )‎ A.2 B. ‎ C. D.1‎ ‎7.在△ABC所在平面上有三点P、Q、R,满足++=,++=,++=,则△PQR的面积与△ABC的面积之比为(  )‎ A.1∶2 B.1∶3 ‎ C.1∶4 D.1∶5‎ ‎8.把圆C:x2+y2=按向量a=(h,-1)平移后得圆C1,若圆C1在不等式x+y+1≥0所确定的平面区域内,则h的最小值为(  )‎ A.1 B.-1 ‎ C. D.- ‎9.已知向量a,e满足:a≠e,|e|=1,对任意t∈R,恒有|a-te|≥|a-e|,则(  )‎ A.a⊥e B.a⊥(a-e)‎ C.e⊥(a-e) D.(a+e)⊥(a-e)‎ ‎10.在长江南岸渡口处,江水以‎12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度为‎25 km/h.渡船要垂直地渡过长江,则航向为________.‎ ‎11. 已知两个单位向量a和b的夹角为135°,则当|a+λb|>1时λ的取值范围是________________.‎ ‎12.在△ABC中,C=,AC=1,BC=2,则f(λ)=|2λ+(1-λ)|的最小值是________.‎ ‎13. 已知在平面直角坐标系中,O(0,0),M(1,1),N(0,1),Q(2,3),动点P(x,y)‎ 满足不等式0≤·≤1,0≤·≤1,则z=·的最大值为________.‎ ‎14.(10分)已知△ABC是直角三角形,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.用向量的方法证明:AD⊥CE.‎ ‎15.(13分)设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ).‎ ‎(1)若a与b-‎2c垂直,求tan(α+β)的值;‎ ‎(2)求|b+c|的最大值;‎ ‎(3)若tanαtanβ=16,求证:a∥b.‎ ‎16.(12分)已知P(x,y),A(-1,0),向量与m=(1,1)共线.‎ ‎(1)求y关于x的函数;‎ ‎(2)在直线y=2x和直线y=3x上是否分别存在一点B,C,使得满足∠BPC为锐角时x的取值集合为{x|x<-或x>}?若存在,求出这样的B,C的坐标;若不存在,说明理由.‎ 课时作业(二十六)‎ ‎【基础热身】‎ ‎1.C [解析] 根据向量加法的平行四边形法则,合力f的大小为×5=5(N).‎ ‎2.A [解析] 由于a⊥b,则f(x)=(xa+b)·(xb-a)=x(b2-a2),而|a|≠|b|,则b2-a2≠0,故函数f(x)是一次函数,且为奇函数.‎ ‎3.A [解析] 依题意,a1+a200=1,S200==100.‎ ‎4.--1 [解析] 因a=(2sinα,1),b=(2sin2α+m,cosα)(α∈R),且a∥b,得 ‎2sinαcosα=2sin2α+m,得m=-2sin2α+2sinαcosα,‎ ‎=cos2α+sin2α-1=sin-1,m的最小值为--1.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5.B [解析] |F1|=|F|·cos60°=5 N.‎ ‎6.A [解析] 设向量a,b,c的起点为O,终点分别为A,B,C,由已知条件得,∠AOB=120°,∠ACB=60°,则点C在△AOB的外接圆上,当OC经过圆心时,|c|最大,在△AOB中,求得AB=,由正弦定理得△AOB外接圆的直径是=2,|c|的最大值是2.‎ ‎7.B [解析] 由++=,+=-,即+=+,‎ +=,∴=2,P为线段AC的一个三等分点,同理可得Q、R的位置,△PQR的面积为△ABC的面积减去三个小三角形面积,∴面积比为1∶3.‎ ‎8.A [解析] 圆C:x2+y2=按向量a=(h,-1)平移后得圆C1(x-h)2+(y+1)2=,若圆C1在不等式x+y+1≥0所确定的平面区域内,≥且h>0,所以h≥1.‎ ‎9.C [解析] 由条件可知|a-te|2≥|a-e|2对t∈R恒成立,又∵|e|=1,‎ ‎∴t2-‎2a·e·t+‎2a·e-1≥0对t∈R恒成立,‎ 即Δ=4(a·e)2-‎8a·e+4≤0恒成立.‎ ‎∴(a·e-1)2≤0恒成立,‎ 而(a·e-1)2≥0,∴a·e-1=0.‎ 即a·e=1=e2,∴e·(a-e)=0,即e⊥(a-e).‎ ‎10.北偏西30° [解析] 如图,渡船速度为,水流速度为,船实际垂直过江的速度为,依题意知,||=12.5,|O|=25,由于四边形OADB为平行四边形,则|BD|=|OA|,又OD⊥BD,‎ ‎∴在Rt△OBD中,∠BOD=30°,∴航向为北偏西30°.‎ ‎11.(-∞,0)∪(,+∞) [解析] |a+λb|>1,得到a2+(λb)2+2λa·b>1,即1+λ2+2λ×>1,λ2-λ>0,∴λ∈(-∞,0)∪(,+∞).‎ ‎12. [解析] 以C为原点,CA,CB所在直线为y轴,x轴建立直角坐标系,所以=(0,1),=(2,0),‎ 即2λ+(1-λ)=(0,2λ)+(2-2λ,0)=(2-2λ,2λ),所以f(λ)=2,故最小值为 ,在λ=时取得.‎ ‎13.3 [解析] 由题意=(x,y),=(1,1),=(0,1),‎ ‎∴·=x+y,·=y,即在条件下,求z=2x+3y的最大值,由线性规划知当x=0,y=1时有最大值3.‎ ‎14.[解答] 证明:以C为原点,CA、CB所在直线为x轴,y轴,建立平面直角坐标系.‎ 设AC=a,则A(a,0),B(0,a),D,C(0,0),E.‎ ‎∴=,=.‎ ‎∵·=-a·a+·a=0,∴AD⊥CE.‎ ‎15.[解答] (1)因为a与b-‎2c垂直,‎ 所以a·(b-‎2c)=a·b-‎2a·c=0.‎ 所以4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,所以tan(α+β)=2.‎ ‎(2)由条件得,b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ).‎ 所以|b+c|2=sin2β+2sinβcosβ+cos2β+16cos2β-32cosβsinβ+16sin2β=17-30sinβcosβ=17-15sin2β.‎ 又17-15sin2β的最大值为32,所以|b+c|的最大值为4.‎ ‎(3)证明:由tanαtanβ=16得,sinαsinβ=16cosαcosβ,即4cosα·4cosβ-sinαsinβ=0,所以a∥b.‎ ‎【难点突破】‎ ‎16.[解答] (1)由题设得,存在实数λ,使得(-1-x,-y)=λ(1,1),∴x=-1-λ,y=-λ,‎ 消去λ得y=x+1,‎ ‎∴y关于x的函数为y=x+1.‎ ‎(2)假设存在满足条件的点B,C,并设B(a,‎2a),C(b,3b),P(x,x+1).‎ 则=(a-x,‎2a-x-1),=(b-x,3b-x-1),‎ 由∠BPC为锐角,得 ·=(a-x,‎2a-x-1)·(b-x,3b-x-1)>0,‎ 即(x-a)(x-b)+(x+1-‎2a)(x+1-3b)>0,‎ 整理得2x2-(‎3a+4b-2)x+(7ab-‎2a-3b+1)>0,‎ 由x的取值集合为{x|x<-或x>}得 =0,=-7,‎ 解之得a=2,b=-1或a=-,b=.‎ ‎∴存在B(2,4),C(-1,-3)或B,‎ C满足题设条件.‎
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