数学卷·2017届青海省西宁市高三下学期复习检测一（一模）（2017

数学卷·2017届青海省西宁市高三下学期复习检测一（一模）（2017

青海省西宁市2017届高三下学期复习检测一（一模）‎ 数学试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.某班一次测试成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息可确定被抽测的人数及分数在内的人数分别为（ ）‎ ‎ ‎ A．20,2 B．24,4 C．25,2 D．25,4‎ ‎4.(文科)已知是三个不重合的平面，是直线，给出下列命题：①若，则；②若上两点到的距离相等，则；③若，则；④若，且，则.其中正确的命题是（ ）‎ A．①② B．②③ C．②④ D．③④‎ ‎(理科)盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数学九章》中提出多项式求值的秦九韶算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，依次输入的 为2，2，5，则输出的（ ）‎ ‎ A．7 B．12 C．17 D．34‎ ‎6.(文科)已知平面区域，，在平面区域内随机选取一点，则点恰好取自区域的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎(理科)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为3，则正视图中的的值为（ ）‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎7.如图，在中，点在边上，且，点在边上，且，则用向量表示为（ ）‎ ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎8.(文科)已知是等差数列，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎(理科)已知正项数列中，，，则（ ）‎ A．16 B．8 C． D．4‎ ‎9.设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.设实数满足，若目标函数的最大值为6，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．0‎ ‎11.(文科)如果圆上总存在到原点的距离为的点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎(理科)在平面直角坐标系中，是椭圆上的一个动点，点，则的最大值为（ ）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎12.如图所示，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标为，记矩形的周长为，则（ ）‎ ‎ A．220 B．216 C．212 D．208‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.（文科）已知函数是定义在上的奇函数，则 ．‎ ‎（理科）若的展开式中，二项式系数和为64，所有项的系数和为729，则的值为 ．‎ ‎14.已知点，若抛物线的一条弦恰好是以为中点，则弦所在的直线方程是 ．‎ ‎15.（文科）在下列结论中①“”为真是“”为真的充分不必要条件；②“”为假是“”为真的充分不必要条件；③“”为真是“”为假的充分不必要条件；④“” 为真是“”为假充分不必要条件.正确的是 ．‎ ‎（理科）已知平面上共线的三点和与这三点不共线的定点，若等差数列满足：，则数列的前38项之和为 ．‎ ‎16.（文科）已知函数的导函数是，则的大小关系是 ．‎ ‎（理科）定义域为的可导函数的导函数是，且满足，则不等式的解集为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（文科）已知函数的最小正周期为.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求的单调递增区间.‎ ‎（理科）在中，.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）求的最大值.‎ ‎18.（文科）某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆，目前我国主流纯电动汽车按续驶里程数（单位：公里）分为3类，即，，.对这140辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：‎ ‎（1）从这140辆汽车中任取1辆，求该车行驶总里程超过5万公里的概率； （2）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从类车中抽取了辆车. （ⅰ）求的值； （ⅱ）如果从这辆车中随机选取2辆车，求恰有1辆车行驶总里程超过5万公里的概率.‎ ‎（理科）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）‎ 将学生日均课外体育运动时间在上的学生评价为“课外体育达标”.‎ ‎（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为 “课外体育达标”与性别有关？‎ ‎（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的数学期望．‎ 独立性检验界值表：‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎19.（文科）如图，在三棱锥中，平面，，为侧棱的中点，它的正视图和俯视图如图所示.‎ ‎ (1)求证：平面；‎ ‎(2)求三棱锥的体积；‎ ‎（理科）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中，设的中点为，的中点为.‎ ‎（1）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；‎ ‎（2）证明：直线平面；‎ ‎（3）求二面角的余弦值.‎ ‎20.（文科）已知的椭圆的左、右两个焦点分别为，上顶点，是正三角形且周长为6.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程及离心率；‎ ‎(2)为坐标原点，是直线上的一个动点，求的最小值，并求出此时点的坐标.‎ ‎（理科）已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设过点的动直线与椭圆相交于两点，当的面积最大时，求直线的方程.‎ ‎21.（文科）已知函数.‎ ‎(1)若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎（理科）已知函数. ‎ ‎（1）若对任意的恒成立，求实数的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，证明：.‎ ‎22.在直线的参数方程是（为参数），圆的极坐标方程为.‎ ‎(1)求圆的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)若圆上有且仅有三个点到直线距离为，求实数的值.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎（文科）1-5:ADCDC 6-10:CBDCA 11、12：DB ‎（理科）1-5:ADCBC 6-10:DBDCA 11、12：AB 二、填空题 ‎13.（文科）0；（理科）-4或2 14. ‎ ‎15. （文科）①③；（理科）19 16. （文科）；（理科）‎ 三、解答题 ‎17.（文科）解：‎ ‎(1)因为 所以函数的最小正周期.‎ 依题意，，解得.‎ ‎(2)由（1）知 因为函数的单调递增区间为.‎ 则.‎ 得.‎ 所以的单调递增区间为.‎ ‎（理科） 解：‎ ‎（1）已知 由余弦定理可得.‎ 又因为，‎ 所以；‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎.‎ 又因为，‎ 所以当时，取得最大值1.‎ ‎18.解：（文科）‎ ‎（Ⅰ）从这140辆汽车中任取1辆，则该车行驶总里程超过5万公里的概率为 ‎. （Ⅱ）（ⅰ）依题意. （ⅱ）5辆车中已行驶总里程不超过5万公里的车有3辆，记为； 5辆车中已行驶总里程超过5万公里的车有2辆，记为. “从5辆车中随机选取2辆车”的所有选法共10种：.‎ ‎ “从5辆车中随机选取2辆车，恰有一辆车行驶里程超过5万公里”的选法共6种：.‎ 设“选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里”为事件， 则.‎ 所以选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里的概率为.‎ ‎（理科）解：（1）列出列联表，‎ 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 ‎60‎ ‎30‎ ‎90‎ 女 ‎90‎ ‎20‎ ‎110‎ 合计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ ‎,‎ 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.‎ ‎（2）由表中数据可得，抽到“课外体育达标”学生的概率为0.25，‎ 将频率视为概率，∴，‎ ‎∴.‎ ‎ 19.（文科）（1）证明：因为平面，所以.‎ 又，所以平面，‎ 又因为平面，所以.‎ 由三视图可得，在中，，为的中点，所以.‎ ‎∵，‎ 所以平面.‎ ‎(2) 由三视图可得，由（1）知，平面，‎ 又三棱锥的体积即为三棱锥的体积，‎ 所以，所求三棱锥的体积.‎ ‎（理科）‎ ‎（1）‎ ‎（2）连接，相交于点，则为的中点 ‎∵的中点为，的中点为，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 即四边形是平行四边形，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴直线平面；‎ ‎(3)如图，以为坐标原点，分别以方向为轴建立空间直角坐标系，‎ 设，则 则 设平面的法向量，‎ 则，得，‎ 令得，‎ 在正方体中，平面，‎ 则是平面的一个法向量 则，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎20.（文科）解：‎ ‎(1)由题意，‎ 解得.‎ 所以椭圆的标准方程为，离心率.‎ ‎(2)因为是正三角形，可得直线的斜率为，‎ 所以直线的方程为.‎ 设点关于直线的对称点为，则 解得，可得坐标为.‎ 因为，所以.‎ 所以的最小值，‎ 直线的方程为，‎ 即.‎ 由解得，‎ 所以此时点的坐标为.‎ 综上所述，可求的的最小值为，此时点的坐标为.‎ ‎（理科）解：‎ ‎（1）设，因为直线的斜率为，‎ 所以，.‎ 又 解得，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）解：设 由题意可设直线的方程为：，‎ 联立消去得，‎ 当，所以，即或时 ‎.‎ 所以 点到直线的距离 所以，‎ 设，则，‎ ‎，‎ 当且仅当，即，‎ 解得时取等号，‎ 满足 所以的面积最大时直线的方程为：或.‎ ‎21.（文科）解：‎ ‎(1)由，得，则 又，.‎ 所以曲线在点处的切线方程为，即.‎ ‎ (2)已知对任意恒成立，‎ 令 ‎①当时，‎ ‎，在上单调递减，‎ ‎，恒成立.‎ ‎②当时，二次函数的开口方向向下，对称轴为，且，‎ 所以当时，，，在上单调递减，‎ ‎，恒成立.‎ ‎③当时，二次函数的开口方向向上，对称轴为，‎ 所以在上单调递增，且，‎ 故存在唯一，使得，即.‎ 当时，，，单调递减；‎ 当时，，，单调递增.‎ 所以在上，.‎ ‎（理科）解：‎ ‎（1）对任意的恒成立，即在上，． 由（1），设，所以． 由得． ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴在处取得最大值，而． 因此的解为，∴． （2）证明：由（1）知，对任意实数均有，即． 令，则.‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎22.（1）圆，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎；‎ ‎（2）圆心，‎ 由已知条件圆心到直线的距离为，‎ 而直线为：，则 ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎23.（1）当时，‎ ‎∴或或 ‎∴或或 ‎∴或 ‎∴‎ ‎（2）∵存在实数，使得成立，‎ ‎∴.‎ 而 当且仅当时，等号成立，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴的取值范围为.‎