数学理·广东省清远市清城三中2017届高三上学期期中数学试卷（理科）+Word版含解析

数学理·广东省清远市清城三中2017届高三上学期期中数学试卷（理科）+Word版含解析

‎2016-2017学年广东省清远市清城三中高三（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（60分，每题5分）‎ ‎1．设函数f（x）=1﹣，g（x）=ln（ax2﹣3x+1），若对任意的x1∈[0，+∞），都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的最大值为（　　）‎ A．2 B． C．4 D．‎ ‎2．若存在两个正实数x，y，使得等式3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0） B． C． D．‎ ‎3．下列说法正确的是（　　）‎ A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“x2=1，则x≠1”‎ B．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则命题￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0‎ C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题 D．“x2﹣5x﹣6=0”必要不充分条件是“x=﹣1”‎ ‎4．已知指数函数y=f（x）的图象过点（，），则log2f（2）的值为（　　）‎ A． B．﹣ C．﹣2 D．2‎ ‎5．已知：sin（+θ）+3cos（π﹣θ）=sin（﹣θ），则sinθcosθ+cos2θ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，2） B．（﹣2，6） C．（6，+∞） D．（﹣1，5）‎ ‎7．函数y=的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．下列四个命题，其中正确命题的个数（　　）‎ ‎①若a＞|b|，则a2＞b2‎ ‎②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d ‎ ‎③若a＞b，c＞d，则ac＞bd ‎ ‎④若a＞b＞o，则＞．‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 ‎9．已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（2﹣3），b=f（3m），c=f（log0.53），则（　　）‎ A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a ‎10．4sin80°﹣等于（　　）‎ A． B．﹣ C．2 D．2﹣3‎ ‎11．已知集合A={x|x2﹣4x﹣5＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（　　）‎ A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）‎ ‎12．已知向量=（1，2），=（0，1），=（﹣2，k），若（+2）∥，则k=（　　）‎ A．﹣8 B．﹣ C． D．8‎ ‎　‎ 二、填空题（20分，每题5分）‎ ‎13．计算：（）+（log316）•（log2）=　　．‎ ‎14．已知函数f（1﹣）的定义域为[1，+∞），则函数y=的定义域为　　．‎ ‎15．已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=4﹣f（x），若函数y=与　y=f（x）　图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则（xi+yi）=　　．‎ ‎16．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=3an﹣1，其中n∈N*．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设anbn=，求数列{bn}的前n项和为Tn．‎ ‎18．为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如表：‎ 年龄 ‎[5，15）‎ ‎[15，25）‎ ‎[25，35）‎ ‎[35，45）‎ ‎[45，55）‎ ‎[55，65）‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 支持“生育二胎”‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的99%把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：‎ ‎（2）若对年龄在[5，15），[35，45）的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人不支持“生育二胎”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望；‎ 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 支持 a=‎ c=‎ 不支持 b=‎ d=‎ 合计 参考数据：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ K2=．‎ ‎19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．‎ ‎（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．‎ ‎20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，椭圆C上的点到右焦点的最大距离为3．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，并且满足|2+|=|2﹣|，求直线在y轴上截距的取值范围．‎ ‎21．设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，其中a和b是实数，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点．‎ ‎（1）求常数b的值；‎ ‎（2）当a=1时，讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（3）当0≤x≤1时关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣）2+（y+1）2=9，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）直线OP：θ=（p∈R）与圆C交于点M，N，求线段MN的长．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知f（x）=|x+2|﹣|2x﹣1|，M为不等式f（x）＞0的解集．‎ ‎（1）求M；‎ ‎（2）求证：当x，y∈M时，|x+y+xy|＜15．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省清远市清城三中高三（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（60分，每题5分）‎ ‎1．设函数f（x）=1﹣，g（x）=ln（ax2﹣3x+1），若对任意的x1∈[0，+∞），都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的最大值为（　　）‎ A．2 B． C．4 D．‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】设g（x）=ln（ax2﹣3x+1）的值域为A，则（﹣∞，0]⊆A，从而h（x）=ax2﹣3x+1至少要取遍（0，1]中的每一个数，又h（0）=1，由此能求出实数a的最大值．‎ ‎【解答】解：设g（x）=ln（ax2﹣3x+1）的值域为A，‎ ‎∵f（x）=1﹣在[0，+∞）上的值域为（﹣∞，0]，‎ ‎∴（﹣∞，0]⊆A，‎ ‎∴h（x）=ax2﹣3x+1至少要取遍（0，1]中的每一个数，‎ 又h（0）=1，‎ ‎∴实数a需要满足a≤0或，‎ 解得a≤．‎ ‎∴实数a的最大值为．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．若存在两个正实数x，y，使得等式3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0） B． C． D．‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可．‎ ‎【解答】解：由3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0得3x+2a（y﹣2ex）ln=0，‎ 即3+2a（﹣2e）ln=0，‎ 即设t=，则t＞0，‎ 则条件等价为3+2a（t﹣2e）lnt=0，‎ 即（t﹣2e）lnt=﹣有解，‎ 设g（t）=（t﹣2e）lnt，‎ g′（t）=lnt+1﹣为增函数，‎ ‎∵g′（e）=lne+1﹣=1+1﹣2=0，‎ ‎∴当t＞e时，g′（t）＞0，‎ 当0＜t＜e时，g′（t）＜0，‎ 即当t=e时，函数g（t）取得极小值为：g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，‎ 即g（t）≥g（e）=﹣e，‎ 若（t﹣2e）lnt=﹣有解，‎ 则﹣≥﹣e，即≤e，‎ 则a＜0或a≥，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．下列说法正确的是（　　）‎ A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“x2=1，则x≠1”‎ B．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则命题￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0‎ C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题 D．“x2﹣5x﹣6=0”必要不充分条件是“x=﹣1”‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；四种命题间的逆否关系；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】A条件没有否定；B结论否定错误；C原命题和逆否命题等价；D判断错误 ‎【解答】A．不正确：否命题既要否定条件也要否定结论，这里的条件没有否定 B．不正确：x2﹣x+1＜0的否定是x2﹣x+1≤0‎ C．正确：因为原命题和逆否命题有等价性，所以由原命题真可以推得逆否命题也真 D．不正确：“x2﹣5x﹣6=0”充分不必要条件是“x=﹣1”‎ 答案选C ‎　‎ ‎4．已知指数函数y=f（x）的图象过点（，），则log2f（2）的值为（　　）‎ A． B．﹣ C．﹣2 D．2‎ ‎【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．‎ ‎【分析】设指数函数y=f（x）=ax（a＞0，且a≠1，为常数），把点（，）代入可得=，解得a，即可得出．‎ ‎【解答】解：设指数函数y=f（x）=ax（a＞0，且a≠1，为常数），‎ 把点（，）代入可得=，解得a=．‎ ‎∴，‎ 则log2f（2）==﹣2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．已知：sin（+θ）+3cos（π﹣θ）=sin（﹣θ），则sinθcosθ+cos2θ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】由条件利用诱导公式求得 tanθ=2，再利用同角三角函数的基本关系求得sinθcosθ+cos2θ 的值．‎ ‎【解答】解：∵sin（+θ）+3cos（π﹣θ）=cosθ﹣3cosθ=﹣2cosθ=sin（﹣θ）=﹣sinθ，∴tanθ=2，‎ 则sinθcosθ+cos2θ===，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，2） B．（﹣2，6） C．（6，+∞） D．（﹣1，5）‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】由条件利用绝对值的意义，求得绝对值不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集．‎ ‎【解答】解：由于|x﹣5|+|x+1|表示数轴上的x对应点到5、﹣1对应点的距离之和，‎ 而数轴上的﹣2和6对应点到5、﹣1对应点的距离之和正好等于8，‎ 故不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集为（﹣2，6），‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．函数y=的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】当x＞0时，，当x＜0时，，作出函数图象为B．‎ ‎【解答】解：函数y=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．‎ 当x＞0时，，‎ 当x＜0时，，此时函数图象与当x＞0时函数的图象关于原点对称．‎ 故选B ‎　‎ ‎8．下列四个命题，其中正确命题的个数（　　）‎ ‎①若a＞|b|，则a2＞b2‎ ‎②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d ‎ ‎③若a＞b，c＞d，则ac＞bd ‎ ‎④若a＞b＞o，则＞．‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】直接由不等式的可乘积性判断①；举例说明②③④错误．‎ ‎【解答】解：①若a＞|b|，则a2＞b2，①正确；‎ ‎②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d错误，如3＞2，﹣1＞﹣3，而3﹣（﹣1）=4＜5=2﹣（﹣3）； ‎ ‎③若a＞b，c＞d，则ac＞bd错误，如3＞1，﹣2＞﹣3，而3×（﹣2）＜1×（﹣3）； ‎ ‎④若a＞b＞o，则，当c＞0时，＜，④错误．‎ ‎∴正确命题的个数只有1个．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（2﹣3），b=f（3m），c=f（log0.53），则（　　）‎ A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a ‎【考点】对数函数图象与性质的综合应用．‎ ‎【分析】由题意可得m=0，可得f（x）=2|x|﹣1在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减，比较三个变量的绝对值大小可得．‎ ‎【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，‎ ‎∴f（﹣1）=f（1），即2|﹣1﹣m|﹣1=2|1﹣m|﹣1，解得m=0，‎ ‎∴f（x）=2|x|﹣1在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减，‎ ‎∵2﹣3=∈（0，1），3m=1，|log0.53|=log23＞1，‎ ‎∴f（2﹣3）＜f（3m）＜f（log0.53），即a＜b＜c 故选：A ‎　‎ ‎10．4sin80°﹣等于（　　）‎ A． B．﹣ C．2 D．2﹣3‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】将所求的关系式通分后化弦，逆用两角差的余弦与两角差的正弦，即可求得答案．‎ ‎【解答】解：4sin80°﹣‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=﹣，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．已知集合A={x|x2﹣4x﹣5＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（　　）‎ A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．‎ ‎【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣5）（x+1）＜0，‎ 解得：﹣1＜x＜5，即A=（﹣1，5），‎ ‎∵B=（2，4），‎ ‎∴A∩B=（2，4），‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．已知向量=（1，2），=（0，1），=（﹣2，k），若（+2）∥，则k=（　　）‎ A．﹣8 B．﹣ C． D．8‎ ‎【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．‎ ‎【分析】求出向量+2，利用斜率的坐标运算求解即可．‎ ‎【解答】解：向量=（1，2），=（0，1），=（﹣2，k），‎ ‎+2=（1，4），‎ ‎∵（+2）∥，‎ ‎∴﹣8=k．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（20分，每题5分）‎ ‎13．计算：（）+（log316）•（log2）=　﹣5　．‎ ‎【考点】方根与根式及根式的化简运算．‎ ‎【分析】直接利用有理指数幂的运算性质和对数的运算性质化简求值．‎ ‎【解答】解：‎ ‎=‎ ‎=3﹣8log32•log23==3﹣8=﹣5．‎ 故答案为：﹣5．‎ ‎　‎ ‎14．已知函数f（1﹣）的定义域为[1，+∞），则函数y=的定义域为　∅　．‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】求出f（x）的定义域，解不等式（1﹣x）2＞2，取交集即可．‎ ‎【解答】解：∵函数f（1﹣）的定义域为[1，+∞]，‎ ‎∴f（x）的定义域是[0，1）①，‎ 由（1﹣x）2＞2，解得：x＞1+或x＜1﹣②，‎ 由①②得函数y=的定义域是∅，‎ 故答案为：∅．‎ ‎　‎ ‎15．已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=4﹣f（x），若函数y=与　y=f（x）　图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则（xi+yi）=　2m　．‎ ‎【考点】抽象函数及其应用．‎ ‎【分析】根据两函数的对称中心均为（0，2）可知出x1+x2+x3+…+xm=0，y1+y2+y3+…+ym=×4=2m，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：∵f（﹣x）=4﹣f（x），f（﹣x）+f（x）=4，‎ ‎∴f（x）的图象关于点（0，2）对称，‎ ‎∵y==2+也y关于点（0，2）对称，‎ ‎∴x1+x2+x3+…+xm=0，y1+y2+y3+…+ym=×4=2m，‎ 故答案为2m．‎ ‎　‎ ‎16．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围　　．‎ ‎【考点】函数的零点；函数的值．‎ ‎【分析】由题意可得h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m 在[0，3]上有两个不同的零点，故有，由此求得m的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，‎ 故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，‎ 故有，即 ，解得﹣＜m≤﹣2，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=3an﹣1，其中n∈N*．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设anbn=，求数列{bn}的前n项和为Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（ I）分n=1与n≥2讨论，从而判断出{an}是等比数列，从而求通项公式；‎ ‎（ II）化简可得=3（﹣），利用裂项求和法求解．‎ ‎【解答】解：（ I）∵，①‎ 当n=1时，a1=a1﹣，∴a1=1，‎ 当n≥2时，∵Sn﹣1=an﹣1﹣，②‎ ‎①﹣②得：‎ an=an﹣an﹣1，‎ 即：an=3an﹣1（n≥2），‎ 又∵a1=1，a2=3，‎ ‎∴对n∈N*都成立，‎ 故{an}是等比数列，‎ ‎∴．‎ ‎（ II）∵，‎ ‎∴=3（﹣），‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即Tn=．‎ ‎　‎ ‎18．为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如表：‎ 年龄 ‎[5，15）‎ ‎[15，25）‎ ‎[25，35）‎ ‎[35，45）‎ ‎[45，55）‎ ‎[55，65）‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 支持“生育二胎”‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的99%把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：‎ ‎（2）若对年龄在[5，15），[35，45）的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人不支持“生育二胎”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望；‎ 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 支持 a=‎ c=‎ 不支持 b=‎ d=‎ 合计 参考数据：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ K2=．‎ ‎【考点】独立性检验的应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据统计数据，可得2×2列联表，根据列联表中的数据，计算K2的值，即可得到结论；‎ ‎（Ⅱ）ξ的可能取值有0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列及数学期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）2×2列联表 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 ‎ 合计 支持 a=3‎ c=29‎ ‎ 32‎ 不支持 b=7‎ d=11‎ ‎ 18‎ 合 计 ‎10‎ ‎40‎ ‎ 50‎ ‎…‎ ‎＜6.635…‎ 所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异．…‎ ‎（Ⅱ）ξ所有可能取值有0，1，2，3，…‎ ‎，，，，…‎ 所以ξ的分布列是 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以ξ的期望值是．…‎ ‎　‎ ‎19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．‎ ‎（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG，可证四边形BEGA为平行四边形，又正方形ABCD，可证四边形CDGE为平行四边形，得CE∥DG，由DG⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，即证明CE∥平面PAD．‎ ‎（Ⅱ）如图建立空间坐标系，设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），由，令x=1，则可得=（1，1，2），设PD与平面PCE所成角为a，由向量的夹角公式即可得解．‎ ‎（Ⅲ）设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），由，可得，由•=0，可解a，然后求得的值．‎ ‎【解答】（本小题共14分）‎ 解：（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG．‎ 因为PA∥BE，且PA=4，BE=2，‎ 所以BE∥AG且BE=AG，‎ 所以四边形BEGA为平行四边形．‎ 所以EG∥AB，且EG=AB．‎ 因为正方形ABCD，所以CD∥AB，CD=AB，‎ 所以EG∥CD，且EG=CD．‎ 所以四边形CDGE为平行四边形．‎ 所以CE∥DG．‎ 因为DG⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，‎ 所以CE∥平面PAD．　　…‎ ‎（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则B（4，0，0），C（4，4，0），‎ E（4，0，2），P（0，0，4），D（0，4，0），‎ 所以=（4，4，﹣4），=（4，0，﹣2），=（0，4，﹣4）．‎ 设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），‎ 所以，可得．‎ 令x=1，则，所以=（1，1，2）．‎ 设PD与平面PCE所成角为a，‎ 则sinα=|cos＜，＞|=|=||=．．‎ 所以PD与平面PCE所成角的正弦值是． …‎ ‎（Ⅲ）依题意，可设F（a，0，0），则， =（4，﹣4，2）．‎ 设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），‎ 则．‎ 令x=2，则，‎ 所以=（2，，a﹣4）．‎ 因为平面DEF⊥平面PCE，‎ 所以•=0，即2++2a﹣8=0，‎ 所以a=＜4，点．‎ 所以． …‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，椭圆C上的点到右焦点的最大距离为3．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，并且满足|2+|=|2﹣|，求直线在y轴上截距的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）设椭圆C的方程为： +=1（a＞b＞0），半焦距为c．依题意e==，a+c=3，b2=a2﹣c2，解出即可得出．‎ ‎（2）设直线l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由|2+|=|2﹣|，可得=0．x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，把根与系数的关系代入化简与△＞0联立解出即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）设椭圆C的方程为： +=1（a＞b＞0），半焦距为c．‎ 依题意e==，由椭圆C上的点到右焦点的最大距离3，得a+c=3，解得c=1，a=2，‎ ‎∴b2=a2﹣c2=3，‎ ‎∴椭圆C的标准方程是+=1．‎ ‎（2）设直线l的方程为y=kx+m，联立，化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，‎ ‎△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化简得3+4k2＞m2．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则x1+x2=﹣，x1•x2=，‎ ‎∵|2+|=|2﹣|，∴=0．‎ ‎∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，化为km（x1+x2）+（1+k2）x1•x2+m2=0，‎ ‎∴km（﹣）+（1+k2）×+m2=0，‎ 化简得7m2=12+12k2．‎ 将k2=﹣1代入3+4k2＞m2．‎ 可得m2，又由7m2=12+12k2≥12．‎ 从而∴m2，解得m≥，或m≤﹣，．‎ 所以实数m的取值范围是∪．‎ ‎　‎ ‎21．设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，其中a和b是实数，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点．‎ ‎（1）求常数b的值；‎ ‎（2）当a=1时，讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（3）当0≤x≤1时关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）对f（x）求导，根据条件知f'（0）=0，所以1﹣b=0；‎ ‎（2）当a=1时，f（x）=（1﹣x）ln（x+1）﹣x，f（x）的定义域为（﹣1，+∞）；令f'（x）=0，则导函数零点x+1=1，故x=0；‎ 当x∈（﹣1，0），f'（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）上单调递增；当x∈（0，+∞）上，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；‎ ‎（3）因为f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣x，0≤x≤1，对a进行分类讨论根据函数的单调性求得参数a使得不等式f（x）≥0；‎ ‎【解答】解：（1）对f（x）求导得：‎ f'（x）=﹣aln（x+1）+‎ 根据条件知f'（0）=0，所以1﹣b=0，‎ 故b=1．‎ ‎（2）当a=1时，f（x）=（1﹣x）ln（x+1）﹣x，f（x）的定义域为（﹣1，+∞）‎ f'（x）=﹣ln（x+1）+﹣1=﹣ln（x+1）+﹣2‎ 令f'（x）=0，则导函数零点x+1=1，故x=0；‎ 当x∈（﹣1，0），f'（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）上单调递增；‎ 当x∈（0，+∞）上，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；‎ ‎（3）由（1）知，f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣x，0≤x≤1‎ f'（x）=﹣aln（x+1）+﹣1‎ f''（x）=﹣‎ ‎①当a时，因为0≤x≤1，有f''（x）≥0，于是f'（x）在[0，1]上单调递增，从而f'（x）≥f'（0）=0，‎ 因此f（x）在[0，1]上单调递增，即f（x）≥f（0）而且仅有f（0）=0；‎ ‎②当a≥0时，因为0≤x≤1，有f''（x）＜0，于是f'（x）在[0，1]上单调递减，从而f'（x）≤f'（0）=0，‎ 因此f（x）在[0，1]上单调递减，即f（x）≤f（0）=0而且仅有f（0）=0；‎ ‎③当﹣＜a＜0时，令m=min{1，﹣}，当0≤x≤m时，f''（x）＜0，于是f'（x）在[0，m]上单调递减，从而f'（x）≤f'（0）=0‎ 因此f（x）在[0，m]上单调递减，即f（x）≤f（0）而且仅有f（0）=0；‎ 综上：所求实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣）2+（y+1）2=9，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）直线OP：θ=（p∈R）与圆C交于点M，N，求线段MN的长．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）利用直角坐标方程化为极坐标方程的方法，求圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）利用|MN|=|ρ1﹣ρ2|，求线段MN的长．‎ ‎【解答】解：（1）（x﹣）2+（y+1）2=9可化为x2+y2﹣2x+2y﹣5=0，‎ 故其极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0．…‎ ‎（2）将θ=代入ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，得ρ2﹣2ρ﹣5=0，‎ ‎∴ρ1+ρ2=2，ρ1ρ2=﹣5，‎ ‎∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|==2．…‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知f（x）=|x+2|﹣|2x﹣1|，M为不等式f（x）＞0的解集．‎ ‎（1）求M；‎ ‎（2）求证：当x，y∈M时，|x+y+xy|＜15．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）通过讨论x的范围，解关于x的不等式，求出M的范围即可；‎ ‎（2）根据绝对值的性质证明即可．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=，‎ 当x＜﹣2时，由x﹣3＞0得，x＞3，舍去；‎ 当﹣2≤x≤时，由3x+1＞0得，x＞﹣，即﹣＜x≤；‎ 当x＞时，由﹣x+3＞0得，x＜3，即＜x＜3，‎ 综上，M=（﹣，3）；‎ ‎（2）证明：∵x，y∈M，∴|x|＜3，|y|＜3，‎ ‎∴|x+y+xy|≤|x+y|+|xy|≤|x|+|y|+|xy|=|x|+|y|+|x||y|＜3+3+3×3=15．‎ ‎　‎ ‎2016年11月21日