专题14 附加部分-决胜2017年高考全国名校试题数学第一学期分项汇编（江苏特刊）

专题14 附加部分-决胜2017年高考全国名校试题数学第一学期分项汇编（江苏特刊）

www.ks5u.com 一、解答 ‎1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】（几何证明选讲）‎ ‎（本小题满分10分）‎ 如图，是圆的直径，弦的延长线相交于点垂直的延长线于点．求证：‎ ‎【答案】证明见解析．‎ 试题解析：证明：连接，∵为圆的直径，∴，‎ 又，则四点共圆，‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 又，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．10分 ‎2. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】（矩阵与变换）‎ ‎（本小题满分10分）‎ 已知二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵将点 变换为．‎ ‎（1）求矩形；‎ ‎（2）求曲线在的作用下的新曲线方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ 试题解析：（1）设，由及中，‎ 得，解得，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　4分 ‎（2）设原曲线上任一点在作用上对应点，‎ 则，即，解之得，‎ 代入，得，‎ 即曲线在的作用下的新曲线方程为．．．．．．．．．．．．．　10分 ‎3. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】（极坐标与参数方程）‎ ‎（本小题满分10分）‎ 已知平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数，）．以直角坐标系原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求圆的圆心的极坐标；‎ ‎（2）当圆与直线有公共点时，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ 试题解析：（1）由得，‎ ‎∴曲线是以为圆心，为半径的圆，‎ ‎∴圆心的极坐标为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎（2）由得，‎ 从而圆心到直线的距离为，‎ ‎∵圆与直线有公共点，∴，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ‎4. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】（不等式选讲）‎ ‎（本小题满分10分）‎ 已知都是正实数，且，求证：．‎ ‎【答案】证明见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：把不等式的左边写成形式，利用柯西不等式即证．‎ 试题解析：证明：∵‎ ‎，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 又，‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．10分 ‎5. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】（本小题满分10分）‎ 某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试，共设置了三个测试项目，假定张某通过项目的概率为，通过项目的概率均为，且这三个测试项目能否通过相互独立．‎ ‎（1）用随机变量表示张某在测试中通过的项目个数，求的概率分布和数学期望（用表示）；‎ ‎（2）若张某通过一个项目的概率最大，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）分布列见解析，期望为；（2）‎ ‎；；‎ ‎；，‎ 从而的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望为 ‎，．．．．．．．．．．．．5分 ‎（2），‎ ‎，‎ 由和，得，即的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．10分 ‎6. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】（本小题满分10分）‎ 在如图所示的四棱锥中，底面，为线段上的一个动点.‎ ‎（1）证明 ：和不可能垂直；‎ ‎（2）当点为线段的三等分点（靠近）时，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ 二面角相等或互补的关系，计算法向量夹角余弦值可得结论．‎ 试题解析：（1）∵底面，∴两两垂直，‎ 以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图）．．．．．．1分 则，‎ ‎∵，且，∴设其中，‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 假设和垂直，则，‎ 即，解得，‎ 这与矛盾，假设不成立，所以和不可能垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ‎（2）∵为线段的三等分点（靠近），∴，‎ 设平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，‎ ‎∵，∴，‎ 即，即，取．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎∵，∴，‎ 即，即，取，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 设二面角的平面角大小为，由图可知为锐角，‎ ‎∴，‎ 即二面角的余弦值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ‎7. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】（本小题满分10分）‎ ‎ 已知抛物线C的方程为，点在抛物线C上．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）过点Q（1,1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B．若直线AR,BR分别交直线 于M,N两点，求线段MN最小时直线AB的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎，，因此，最后利用直线AB方程与抛物线方程联立方程组，结合韦达定理化简得，最后根据求函数最值方法求最值.‎ 试题解析：解：（1）将代入抛物线中，可得，所以抛物线方程为 ……3分 ‎（2）设所在直线方程为，‎ 与抛物线联立 得：‎ ‎，所以 ……5分 设：，‎ 由得，而 可得，同理 ‎ 所以……8分 ‎ 令，则 ‎ ‎ 所以 ‎ 此时，所在直线方程为： ……10分 ‎8. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】（本小题满分10分）‎ 在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）‎ ‎（1）求在一次游戏中摸出3个白球的概率；‎ ‎（2）在两次游戏中，记获奖次数为，求的数学期望．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ 个白球1个黑球，即，两次游戏相当于两次独立重复试验，因此 试题解析：解：（1）记“在一次游戏中摸出3个白球”为事件．‎ ‎． ······3分 ‎ 故在一次游戏中摸出3个白球的概率． ···········4分 ‎（2）的所有可能取值为0，1，2‎ ‎．‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎········8分 故的数学期望． ······10分 ‎（或：∵，∴ ，同样给分）‎ ‎9. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】选修4—5：不等式选讲 已知：R．求证：．‎ ‎【答案】详见解析 所以．…………………………… 6分 又≥2，故≥3．‎ 所以．……………………………………… 10分 ‎10. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】选修4—4：坐标系与参数方程 自极点O任意作一条射线与直线相交于点M，在射线OM上取点P，使得，求动点P的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程．‎ ‎【答案】，‎ 试题解析：解：设，M ，‎ ‎∵，∴．‎ ‎∵，∴．‎ 则动点P的极坐标方程为． …………………… 5分 ‎ ∵极点在此曲线上，∴方程两边可同时乘，‎ 得．‎ ‎∴． ……………………10分 ‎11. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】选修4—2：矩阵与变换 ‎ 已知为矩阵属于的一个特征向量，求实数，的值及．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由特征值及对应特征向量关系得，解得，再根据矩阵运算得 试题解析：解：由条件可知， ‎ ‎∴，解得． ………………… 5分 因此，所以． ……………10分 ‎12. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】选修4—1：几何证明选讲 如图，是圆的内接三角形，是圆的切线，为切点，交于点，交圆于点，若，，且，求．‎ ‎ （第21-A题）‎ ‎【答案】4‎ 试题解析：解：弦切角又，‎ 所以为等边三角形，由切割线定理有， …………………5分 所以，，，‎ 由相交弦定理有：，．………………………10分 ‎13. 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）‎ 如图，是圆的直径，弦，的延长线相交于点，过作的延长线的垂线，垂足为．求证：．‎ A B C D E F ‎(第21－A题)‎ O ‎【答案】详见解析 A B C D E F ‎(第21－A题)‎ O 试题解析：证明：连结，因为为圆的直径，‎ 所以，‎ 又，，‎ 则四点共圆，‎ 所以，…………………………5分 又∽，即，‎ 所以．………… 10分 ‎ ‎14. 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）‎ 求椭圆在矩阵对应的变换作用下所得的曲线的方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：实质为相关点法求轨迹：先根据矩阵运算得相关点之间关系代入，得所求曲线的方程 试题解析：设椭圆上的点在矩阵对应的变换作用下得到点，‎ 则，………………………………………………5分 则 代入椭圆方程，得，‎ 所以所求曲线的方程为．……………………………………………10分 ‎15. 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 已知曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线的直角坐标方程．‎ ‎【答案】‎ 试题解析：由得，…………………………………5分 又，，‎ 所以曲线的直角坐标方程为．…………………………………10分 ‎16. 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）‎ 设，，，求证：．‎ ‎【答案】详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：由绝对值三角不等式得 试题解析：因为，所以，‎ 故………………………………………………………5分 ‎，‎ 故．………………………………………………………………10分 ‎17. 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】（本小题满分10分）‎ 如图，在四棱锥中，平面，， ，，为的中点．‎ ‎（1）求异面直线，所成角的余弦值；‎ ‎（2）点在线段上，且，若直线与平面所成角的正弦值为，求的值．‎ A B C D N P MB ‎（第22题）‎ ‎【答案】（1）（2）．‎ A B C D N P MB ‎（第22题）‎ y x z 试题解析：（1）因为平面，且平面，‎ 所以，，‎ 又因为，所以两两互相垂直．‎ 分别以为轴建立空间直角坐标系，‎ 则由，可得 ‎，，，，，‎ 又因为为的中点，所以．‎ 所以，，…………2分 所以 ‎ ，‎ 所以异面直线，所成角的余弦值为．…………………………5分 ‎（2）因为，所以，则，‎ ‎，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则 即 令，解得，，‎ 所以是平面的一个法向量．……………………………7分 因为直线与平面所成角的正弦值为，‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以的值为．……………………………………………………………10分 ‎18. 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】（本小题满分10分）‎ 设，．‎ ‎（1）求，，的值；‎ ‎（2）证明：对任意正整数，是8的倍数．‎ ‎【答案】（1），，．（2）详见解析 试题解析：（1）代入求出，，．……………………………3分 ‎ （2）①当时，是8的倍数，命题成立．…………………………4分 ‎ ②假设当时命题成立，即是8的倍数，‎ 那么当时，，‎ 因为是偶数，所以是的倍数，‎ 又由归纳假设知是8的倍数，‎ 所以是8的倍数，‎ ‎ 所以当时，命题也成立．‎ ‎ 根据①②知命题对任意成立．…………………………………………10分 ‎19. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】(本小题满分10分)‎ 设矩阵A＝的逆矩阵为，矩阵B满足AB＝，求，B．‎ ‎【答案】A－1＝，B =‎ 由逆矩阵公式得，A－1＝． …5分 因为AB＝，所以B＝A－1AB＝＝．…………………………10分 ‎20. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】(本小题满分10分)‎ 设矩阵，求矩阵的逆矩阵的特征值及对应的特征向量．‎ ‎【答案】特征值对应的一个特征向量为，特征值对应的一个特征向量为 试题解析：矩阵的逆矩阵为，则特征多项式为 ‎ 令，解得，设特征向量为，则， ‎ ‎ 易算得特征值对应的一个特征向量为，同理可得特征值对应的一 ‎ 个特征向量为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(10分)‎ ‎21. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】(本小题满分10分)‎ 已知曲线C的极坐标方程为 r＝2cosθ，直线l的极坐标方程为 r sin(θ＋)＝m．若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值．‎ ‎【答案】－或 ‎【解析】‎ 试题分析：根据将极坐标方程化为直角坐标方程(x－1)2＋y2＝1及，再根据直线与圆位置关系列，解得实数m的值 试题解析：曲线C的极坐标方程为 r＝2cosθ，‎ 化为直角坐标方程为x2＋y2＝2x． ‎ 即(x－1)2＋y2＝1，表示以(1，0)为圆心，1为半径的圆． …………………… 3分 直线l的极坐标方程是 r sin(θ＋)＝m，即rcosθ＋rsinθ＝m，‎ 化为直角坐标方程为． ………………… 6分 因为直线l与曲线C有且只有一个公共点，‎ 所以＝1，解得m＝－或m＝．‎ 所以，所求实数m的值为－或． ……………… 10分 ‎22. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】(本小题满分10分)‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C： (q为参数，q∈R)，直线l： (t为参数，t∈R)，求曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值．‎ ‎【答案】‎ 试题解析：将直线l的参数方程化为普通方程为x－y－6＝0．‎ 因为点P在曲线C： (θ为参数)上，所以设P(4cosθ，3sinθ)．‎ 点P到直线l的距离d＝，其中tanφ＝，φ是锐角．‎ 所以当cos(θ＋φ)＝1时，dmin＝．‎ 所以点P到直线l的距离的最小值为．…………………………………10分 ‎23. 【2017届高三七校联考期中考试】（选修４－２：矩阵与变换） ‎ 已知a、b∈R，若M＝所对应的变换T把直线2x－y＝3变换成自身，试求实数a、b.‎ ‎【答案】a＝1，b＝－4.‎ 试题解析：设，则 (3分)‎ ‎∵ ，∴ 2(－x＋ay)－(bx＋3y)＝3.‎ 即(－2－b)x＋(2a－3)y＝3. (6分)‎ 此直线即为2x－y＝3，‎ ‎∴ －2－b＝2，2a－3＝－1.则a＝1，b＝－4. (10分)‎ ‎24. 【2017届高三七校联考期中考试】（选修４－４：坐标系与参数方程）‎ 在极坐标系中，已知点P，直线，求点P到直线的距离．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先根据将点的极坐标及直线极坐标方程转化为直角坐标及直角坐标方程(3，)，x－y－4＝0，再根据点到直线距离公式得结果 试题解析：点P的直角坐标为(3，)， (4分)‎ 直线l的普通方程为x－y－4＝0， (8分)‎ 从而点P到直线l的距离为 ‎ (10分)‎ ‎25. 【2017届高三七校联考期中考试】（本小题满分10分）‎ 已知曲线C：y2＝2x－4.‎ ‎(1) 求曲线C在点A(3，)处的切线方程；‎ ‎(2) 过原点O作直线l与曲线C交于A、B两不同点，求线段AB的中点M的轨迹方程．‎ ‎【答案】(1) x－y－1＝0. (2) ‎ 试题解析：(1) ∵ 当y>0时y＝f(x)＝，∴ y′＝， (3分)‎ ‎∴ k＝f′(3)＝， (4分)‎ ‎∴ 切线为y－＝ (x－3)，即x－y－1＝0. (5分)‎ ‎(2) 设l：y＝kx，线段AB的中点M(x，y)．由得－2x＋4＝0，(6分)‎ ‎∴ Δ＝4－16k2>0，∴ 16k2<4，即k2<2k2<>2. (7分)‎ 设直线l与曲线C的交点A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则 x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＝，由中点坐标公式得 (9分)‎ 消去k，得，即所求轨迹方程为． (10分)‎ ‎26. 【2017届高三七校联考期中考试】（本小题满分10分）‎ ‎ 已知整数n≥4，集合M＝{1，2，3，…，n}的所有含有4个元素的子集记为A1，A2‎ ‎，A3，…，.设A1，A2，A3，…，中所有元素之和为Sn.‎ ‎(1) 求并求出Sn；‎ ‎(2) 证明：S4＋S5＋…＋Sn＝.‎ ‎【答案】(1) Sn＝· (2)详见解析 ‎＝140；因此可归纳为当集合M有n个元素时，每个元素出现了，故Sn＝·. (2)由证明目标需将Sn 转化为组合数：因为Sn＝·＝，因此S4＋S5＋…＋Sn＝10()=.‎ 试题解析：(1) 解：当n＝4时，集合M只有1个符合条件的子集， ＝1＋2＋3+4＝10，(1分)‎ 当n＝5时，集合M每个元素出现了次，＝＝40，(2分)‎ 当n＝6时，集合M每个元素出现了次，＝＝140，(3分)‎ 所以，当集合M有n个元素时，每个元素出现了，故Sn＝·.(5分)‎ ‎(2) 证明：因为Sn＝·＝，(7分)‎ 则S4＋S5＋…＋Sn＝10()=. (10分) ‎