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文档介绍
北京市朝阳区六校联考2020届高三年级四月份测试数学试题A
北京市朝阳区六校联考2019-2020学年高三年级四月份测试 数学试卷A 第一部分(选择题 共40分) 一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知命题:,,那么命题的否定为( ) A. , B. , C. , D. , 【答案】A 【解析】 【分析】 由全称命题的否定是特称命题即可得解. 【详解】原命题是全称命题, 命题的否定是“,”. 故选:A. 【点睛】本题考查了全称命题的否定,属于基础题. 2.下列函数中既是奇函数,又在区间上单调递减的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由奇函数的性质和函数的单调性逐项判断即可得解. 【详解】对于A,,不是奇函数,故A错误; 对于B,,所以为偶函数不是奇函数,故B错误; 对于C,,所以为奇函数;由,当时,,故在上单调递减,故C正确; 对于D,由正弦函数的单调性可知,函数在上单调递增,故D错误. 故选:C. 【点睛】本题考查了奇函数性质的应用和常见函数的单调性,考查了利用导数判断函数的单调性,属于基础题. 3.设集合,,则以下集合P中,满足的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 解一元二次不等式求得集合A,解指数不等式求得集合B,即可确定,进而判断各选项即可. 【详解】集合,解得或, ,解得, 则, 所以, 对比四个选项可知,只有C符合, 故选:C. 【点睛】本题考查了一元二次不等式和指数不等式的解法,集合补集和交集的简单运算,属于基础题. 4.已知,,,则,,的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由对数函数的单调性和正切函数的性质可得,即可得解. 【详解】由对数函数的单调性可知,, 由正切函数的性质得, 故. 故选:A 【点睛】本题考查了利用对数函数单调性比较大小,考查了正切函数的性质,属于基础题. 5.若一个n面体有m个面是直角三角形,则称这个n面体的直度为,如图是某四面体的三视图,则这个四面体的直度为( ) A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三视图,还原空间几何体,即可确定四面体中直角三角形个数,即可得解. 【详解】由三视图还原空间几何体如下图所示: 则四面体为,由图可知,四面体中有4个直角三角形,分别为, 由题意可知这个4面体的直度为, 故选:D. 【点睛】本题考查根据三视图还原空间几何体,立体几何中新定义的简单应用,属于基础题. 6.已知向量,若,则在上的投影是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据坐标先求得向量,结合平面向量数量积的运算律求得,即可由平面向量投影的定义求得在上的投影. 【详解】向量,则, 因为, 则,即, 所以, 在上的投影为. 故选:D. 【点睛】本题考查由坐标求平面向量模,平面向量数量积的运算律简单应用,投影的定义和求法,属于基础题. 7.已知,则“”是“是直角三角形”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 若,则或;若,则;由充分条件和必要条件的概念即可得解. 【详解】若,则或,不能推出是直角三角形; 若,则,所以是直角三角形不能推出; 所以“”是“是直角三角形”的既不充分也不必要条件. 故选:D. 【点睛】本题考查了三角函数的性质和充分条件、必要条件的概念,属于基础题. 8.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵,记为图中虚线上的数构成的数列的第项,则的值为( ) A. 5049 B. 5050 C. 5051 D. 5101 【答案】B 【解析】 分析】 观察数列的前4项,可得,代入即可得解. 【详解】由题意得,,, 观察规律可得, 所以. 故选:B. 【点睛】本题考查了观察法求数列的通项公式,属于基础题. 9.已知双曲线的渐近线与抛物线交于点,直线AB过抛物线M的焦点,交抛物线M于另一点B,则等于( ) A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】 根据双曲线方程可得渐近线方程,将点A的坐标求出后代入抛物线方程,即可求得抛物线的方程和焦点坐标,由A和焦点坐标可得直线AB的方程,联立直线AB的方程和抛物线方程,化简后由韦达定理可得,即可由求解. 【详解】双曲线, 双曲线的渐近线方程为,不妨取, 双曲线渐近线与抛物线交于点,则将点A代入可得, 将点A代入抛物线方程可得,则, 所以抛物线,焦点坐标为, 直线AB过抛物线M的焦点,则由A和焦点坐标可得直线AB的方程为, 直线AB与抛物线交于, 联立抛物线方程,化简可得, 则, 所以, 故选:C. 【点睛】本题考查了双曲线与抛物线的综合应用,直线与抛物线相交所得弦长的求法,属于基础题. 10.关于函数,有以下三个结论: ①函数恒有两个零点,且两个零点之积为; ②函数的极值点不可能是; ③函数必有最小值 其中正确结论的个数有( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】 把函数的零点转化为函数的零点,即可判断①;求得后代入,根据是否为0即可判断②;设的两个实数根为,且,结合①可得当时,,再证明即可判断③;即可得解. 【详解】由题意函数的零点即为函数的零点, 令,则,所以方程必有两个不等实根,,设, 由韦达定理可得,故①正确; , 当时,,故不可能是函数的极值点,故②正确; 令即,, 设的两个实数根为,且, 则当,时,,函数单调递增, 当时,,函数单调递减,所以为函数极小值; 由①知,当时,函数,所以当时,, 又 ,所以,所以, 所以为函数的最小值,故③正确. 故选:D. 【点睛】本题考查了函数与导数的综合问题,考查了推理能力,属于中档题. 第二部分(非选择题 共110分) 二、填空题共5小题,每小题5分,共25分. 11.在的二项展开式中,的系数为________(用数字作答) 【答案】-80 【解析】 【分析】 由二项定理展开式通项,即可确定的系数. 【详解】在的二项展开式中,由展开式通项可得, 令,解得, 所以系数为, 故答案为:. 【点睛】本题考查了二项定理展开通项式的简单应用,指定项系数的求法,属于基础题. 12.设复数z在复平面内对应的点位于第一象限,且满足,,则z的虚部为________,________. 【答案】 (1). 4 (2). 【解析】 【分析】 设出复数,结合条件即可求得复数,进而由复数的定义和除法运算即可得解. 【详解】复数z在复平面内对应的点位于第一象限, 设复数, 所以, 因为满足,,则,解得, 所以, 所以的虚部为4; 由复数除法运算化简可得, 故答案为:4;. 【点睛】本题考查了复数的概念和几何意义简单应用,复数的除法运算,属于基础题. 13.设无穷等比数列的各项为整数,公比为,且,,写出数列的一个通项公式________. 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】 根据题意可知首项与公比都为整数,结合不等可求得,即可取一个负数作为首项得数列 的通项公式. 【详解】无穷等比数列的各项为整数,则公比为整数,且,, 则,变形可得, 所以, 当时,数列的一个通项公式为, 故答案为:.(答案不唯一) 【点睛】本题考查了数列的简单应用,由等比数列的通项公式及不等式确定首项的范围,开放性试题只需写出一个符合要求的解即可,属于中档题. 14.在平面直角坐标系中,已知点,,为直线上的动点,关于直线的对称点记为,则线段的长度的最大值是________. 【答案】 【解析】 【分析】 转化条件得点轨迹为以为圆心,为半径的圆(不包括点),由即可得解. 【详解】关于直线的对称点记为,为直线上的动点, ,点轨迹为以为圆心,为半径的圆(不包括点),如图, 又 ,. 故答案为:. 【点睛】本题考查了圆上点到定点距离最值的求解,考查了转化化归思想,属于中档题. 15.关于曲线,给出下列四个结论: ①曲线C关于原点对称,但不关于x轴、y轴对称; ②曲线C恰好经过4个整点(即横、纵坐标均为整数的点); ③曲线C上任意一点都不在圆的内部; ④曲线C上任意一点到原点的距离都不大于. 其中,正确结论的序号是________. 【答案】①④ 【解析】 【分析】 根据关于原点、x轴、y轴对称的横纵坐标特点,代入即可判断①;取的整数值,代入求得的值即可判断②;由基本不等式确定的最大值,即可判断③;由两点间距离公式及基本不等式,化简即可判断④; 【详解】曲线, 对于①,将替换,替换,代入可得,所以曲线C关于原点对称; 将替换,代入可得,所以曲线C不关于y轴对称; 将替换,代入可得,所以曲线C不关于轴对称;所以①正确; 对于②,当时,代入可得,所以经过; 当时,代入可得,所以经过; 当时,代入可得,所以经过; 当时,代入可得,所以经过; 所以至少有六个整点在曲线C上,所以②错误; 对于③,由可知, 而, 所以,解得, 即,则, 同理,解得, 所以,则③错误; 对于④,由③可知, 所以,故④正确, 综上可知,正确的为①④, 故答案为:①④. 【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线性质的应用,由基本不等式确定取值范围的应用,属于中档题. 三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16.已知. (I)求的最小正周期和单调递增区间; (II)当时,若,求x的取值范围. 【答案】(I).(II) 【解析】 【分析】 (I)由正弦和角与差角公式,结合辅助角公式化简函数解析式,即可求得最小正周期,结合正弦函数图像与性质可求得单调递增区间; (II)根据(I)所得函数解析式,由可得,可知,结合正弦函数的图像即可确定x的取值范围. 【详解】(I)由正弦和角与差角公式,结合辅助角公式化简函数解析式可得 , 所以 由,, 得,. 故的单调递增区间为:. (Ⅱ)因为,则, 若,则, 画出正弦函数在内的函数图像如下图所示: 结合正弦函数图像可知,当或, 解得, 所以当时,x的取值范围为. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简,正弦函数图像与性质的综合应用,属于基础题. 17.体温是人体健康状况的直接反应,一般认为成年人腋下温度T(单位:)平均在之间即为正常体温,超过即为发热.发热状态下,不同体温可分成以下三种发热类型:低热:;高热:;超高热(有生命危险):.某位患者因患肺炎发热,于12日至26日住院治疗.医生根据病情变化,从14日开始,以3天为一个疗程,分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热.住院期间,患者每天上午8:00服药,护士每天下午16:00为患者测量腋下体温记录如下: 抗生素使用情况 没有使用 使用“抗生素A”疗 使用“抗生素B”治疗 日期 12日 13日 14日 15日 16日 17日 18日 19日 体温() 38.7 39.4 39.7 40.1 39.9 39.2 38.9 39.0 抗生素使用情况 使用“抗生素C”治疗 没有使用 日期 20日 21日 22日 23日 24日 25日 26日 体温() 38.4 38.0 37.6 37.1 36.8 36.6 36.3 (I)请你计算住院期间该患者体温不低于各天体温平均值; (II)在19日—23日期间,医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“a项目”的检查,记X为高热体温下做“a项目”检查的天数,试求X的分布列与数学期望; (III)抗生素治疗一般在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的高峰,开始杀灭细菌,达到消炎退热效果.假设三种抗生素治疗效果相互独立,请依据表中数据,判断哪种抗生素治疗效果最佳,并说明理由. 【答案】(I)平均值为(II)分布列见解析,.(III)“抗生素C”治疗效果最佳,理由见解析. 【解析】 【分析】 (I)根据所给表格,可计算体温不低于的各天体温平均值; (II)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,分别求得各自的概率,即可得分布列,进而求得数学期望; (III)根据三种抗生素治疗后温度的变化情况,结合平均体温和体温方差,即可做出判断. 【详解】(I)由表可知,该患者共6天的体温不低于,记平均体温为, . 所以,患者体温不低于的各天体温平均值为 (Ⅱ)X的所有可能取值为0,1,2 , , , 则X的分布列为: X 0 1 2 所以. (Ⅲ)“抗生素C”治疗效果最佳,理由如下: ①“抗生素B”使用期间先连续两天降温后又回升,“抗生素C”使用期间持续降温共计,说明“抗生素C”降温效果最好,故“抗生素C”治疗效果最佳 ②“抗生素B”治疗期间平均体温,方差约为0.0156:“抗生素C”平均体温,方差约为0.1067,“抗生素C”治疗期间体温离散程度大,说明存在某个时间节点降温效果明显,故“抗生素C”治疗效果最佳. 【点睛】本题考查了平均数的求法,古典概型概率求法,离散型随机变量分布列及数学期望的求法, 分析实际问题方案的解决方法,属于中档题. 18.在四棱锥中,平面平面,底面为梯形,,,且,,. (I)求证:; (II)求二面角_____的余弦值; 从①,②,③这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. (III)若是棱的中点,求证:对于棱上任意一点,与都不平行. 【答案】(I)见解析(II)见解析(III)见解析 【解析】 【分析】 (I)根据面面垂直的性质及线面垂直的判定定理,可证明平面,进而证明; (II)在平面内过点D作,交于H,以D为原点,所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,并求得各平面法向量,由法向量法即可求得各二面角的大小; (III)假设棱BC上存在点F,.设表示出,,设,可得关于的方程组,方程组无解即可确定与不平行. 【详解】(I)证明:因为平面平面,平面平面, 平面,, 所以平面, 又因为平面, 所以. (Ⅱ)选择①:在平面内过点D作,交于H. 由(I)可知,平面,所以. 故两两垂直, 如图,以D为原点,所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系, 则. 因为平面,所以平面的一个法向量为. 而,, 设平面的一个法向量为 则由,得, 取,有. 所以. 由题知二面角为锐角, 故二面角的余弦值为. 选择②:(下面给出关键点供参考,若与上面建系相同,) 平面ABCD的一个法向量为; 平面PBD的一个法向量为; 二面角为钝角:二面角的余弦值为. 选择③:(下面给出关键点供参考,若与上面建系相同,) 平面ABCD的法向量; 平面PBC的法向量; 二面角为锐角;二面角的余弦值为. (Ⅲ)假设棱BC上存在点F,.设. 依题意,可知,, ,, ,,设, 则,而此方程组无解, 故假设不成立,所以结论成立. 【点睛】本题考查了面面垂直的性质及线面垂直的判定定理应用,由空间向量法求二面角大小,线线平行的向量证明方法,属于中档题. 19.已知椭圆的离心率为,过椭圆右焦点的直线与椭圆交于,两点,当直线与轴垂直时,. (1)求椭圆的标准方程; (2)当直线与轴不垂直时,在轴上是否存在一点(异于点),使轴上任意点到直线,的距离均相等?若存在,求点坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】(1);(2)存在点 【解析】 【分析】 (1)由题意可得方程解方程后即可得解; (2)设直线,,,假设存在点,设,由题意,联立方程组表示出、,代入即可得解. 【详解】(1)由题意得,解得:,,. 所以椭圆的标准方程为:. (2)依题意,若直线的斜率不为零,可设直线,,. 假设存在点,设,由题设,,且,. 设直线,的斜率分别为,, 则,. 因为,在上, 故,, 而轴上任意点到直线,距离均相等等价于“平分”, 继而等价于. 则. 联立,消去得:, 有,. 则, 即,故或(舍). 当直线的斜率为零时,也符合题意. 故存在点,使得轴上任意点到直线,距离均相等. 【点睛】本题考查了椭圆方程的求解,考查了直线与椭圆的位置关系及转化化归思想的应用,属于中档题. 20.已知函数. (1)若曲线在处的切线与轴平行,求; (2)已知在上的最大值不小于,求的取值范围; (3)写出所有可能的零点个数及相应的的取值范围.(请直接写出结论) 【答案】(1);(2);(3)见解析 【解析】 【分析】 (1)由题意结合导数的几何意义可得,即可得解; (2)原命题等价于在上有解,设,,通过求导可得,由有解问题的解决方法即可得解; (3)令,显然不成立,若,则,令,求导后画出函数的草图数形结合即可得解. 【详解】(1)因为,故. 依题意,即. 当时,,此时切线不与轴重合,符合题意, 因此. (2)当时,最大值不小于2 在上有解, 显然不是解,即在上有解, 设,, 则. 设 ,, 则. 所以在单调递减, , 所以,所以在单调递增, 所以. 依题意需, 所以的取值范围为. (3)当时,有0个零点;当时,有1个零点 当时,有2个零点;当时,有3个零点.· 【点睛】本题考查了导数的综合应用,考查了数形结合思想和转化化归思想,考查了推理能力,属于中档题. 21.已知集合,对于,,定义A与B的差为;A与B之间的距离为. (I)若,试写出所有可能的A,B; (II),证明: (i); (ii)三个数中至少有一个是偶数; (III)设,中有m(,且为奇数)个元素,记P中所有两元素间距离的平均值为,证明:. 【答案】(I);;; (II)(i)见解析(ii)见解析 (III)见解析 【解析】 【分析】 (I)根据定义,结合即可确定所有可能的A,B; (II)(i)由,令,讨论和即可代入绝对值式子化简,即可证明;(ii)设,,,,,.记,设t是使成立的i的个数, 结合(i)中的结论可得,由此可知,k,l,h三个数不可能都是奇数,得证. (III)记为P中所有两个元素间距离的总和,设P中所有元素的第i 个位置的数字中共有个1,个0,则可得,根据P为奇数可得,因而,即可证明不等式成立. 【详解】(I)根据定义及,可知有以下四种情况: ;; ; (Ⅱ)令, (i)证明:对, 当时,有, 当时,有. 所以 . (ⅱ)证明: 设,,, ,,. 记,由(I)可知, , , , 所以中1的个数为k, 的1的个数为l. 设t是使成立的i的个数,则. 由此可知,k,l,h三个数不可能都是奇数, 即三个数中至少有一个是偶数. (Ⅲ)记为P中所有两个元素间距离的总和, 设P中所有元素的第i个位置的数字中共有个1,个0, 则. 因为m为奇数,所以, 且或时,取等号. 所以. 所以. 【点睛】本题考查了集合新定义的综合应用,对分析问题、解决问题的能力要求高,读懂题意并正确分析解决思路是关键,对思维能力要求高,属于难题.查看更多