专题11+函数++指数函数-2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试
2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试
11 函数 指数函数
【考点讲解】
一、 具本目标：指数函数
（1）了解指数函数模型的实际背景.
（2） 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
（3） 理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，1/2，1/3的指数函数的图像．
（4） 体会指数函数是一类重要的函数模型.
二、知识概述：
根式和分数指数幂
1.根式
(1)概念：式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
0的正分数指数幂等于0；
0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质(注意逆用)
(1) (2)
(3)．(4)
2.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质：
a>1
0
0时，y>1；
当x<0时，01；
当x>0时，0b>1.若logab+logba=，ab=ba，则a= ，b= .
【解析】本题考点是指对数的运算，设，因为，
因此
【答案】
【易错提示】在解方程时，要注意，若没注意到，方程的根有两个，由于增根导致错误．
9.【2016高考江苏卷】已知函数.
设.（1）求方程的根；
（2）若对任意,不等式恒成立，求实数的最大值；
（3）若，函数有且只有1个零点，求的值。
【分析】本题考点是指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点
（1）①根据指数间倒数关系转化为一元二次方程，求方程根.
②根据指数间平方关系，将不等式转化为一元不等式，再利用变量分离转化为对应函数最值，即的最小值，最后根据基本不等式求最值
（2） 先分析导函数零点情况：唯一零点，再确定原函数单调变化趋势：先减后增，从而结合图像确定唯
一零点必在极值点取得，而，因此极值点必等于零，进而求出的
值.本题难点在证明，这可利用反证法：若，则可寻找出一个区间，由结合零点存在定理可得函数存在另一零点，与题意矛盾，其中可取；若，同理可得.
因为对于恒成立，且，所以对于恒成立.
而，且，
所以，故实数的最大值为4.
（2）因为函数只有1个零点，而，
所以0是函数的唯一零点.
因为，又由知，
所以有唯一解.
令，则，
从而对任意，，所以是上的单调增函数，
于是当，；当时，.
因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.
下证.
若，则，于是，
又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为. 因为，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.
若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.
因此，.于是，故，所以.
【模拟考场】
1.已知,且,若,则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
2.【2015高考天津，理7】已知定义在 上的函数（为实数）为偶函数，记，则 的大小关系为( )
（A） （B） （C） （D）
【解析】因为函数为偶函数，所以，即，
所以
,所以，故选C.
【答案】C
3.【2015高考山东，文2】设则的大小关系是( )
A. B. C. D.
【解析】由在区间是单调减函数可知，，又，故选.
【答案】C
【答案】C
6.【2015高考山东，理14】已知函数的定义域和值域都是 ，则 .
【解析】若 ，则 在上为增函数,所以，此方程组无解；
若 ，则在上为减函数,所以 ，解得 ，所以.
【答案】
7.【2014高考陕西版文第12题】已知，，则________.
【解析】由得，所以，解得，故答案为.
【答案】
8.【2014，安徽文11】________．
【答案】
