2020年高考数学（理）金榜题名冲刺卷（二）（解析版）

2020年高考数学（理）金榜题名冲刺卷（二）（解析版）

2020 年高考金榜冲刺卷（二） 数学（理） （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．设 1 i 2i1 iz   （i 为虚数单位），则| |z  ( ) A． 0 B． 1 2 C．1 D． 2 【答案】C 【解析】       1 i 1 i1 i 2i 2i1 i 1 i 1 iz        i 2i i    ，则 1z  ，故选 C. 2．若集合 2 1|M y y x      ，  | 1N x y x   ，那么 M N =（ ） A． 0, B． 0, C． 1, D． 1, 【答案】D 【解析】先求出集合  0,M   ,  1,N   ,然后画数轴得 M N = 1, ,故选 D. 3．已知等比数列 }{ na 的公比为正数，且 2 593 2aaa  ，则公比 q （ ） A． 2 1 B． 2 2 C． 2 D．2 【答案】C 【解析】 2 2 3 9 6 52a a a a  ， 2 26 2 5 2a qa   ，因为 0q ，所以 2q ，故选 C. 4．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角 形，一块中三角形和两块全等的大三角形），一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板 拼成的正方形，若向正方形内随机抛掷 2000 粒绿豆（大小忽略不计），则落在图中阴影部分内绿豆粒数大 约为（ ） A．750 B．500 C．375 D．250 【答案】C 【解析】因为 BIC GOH   ，故阴影部分的面积与梯形 EFOH 的面积相等， 3 3 1 4 4 4EFOH DOF BDFAS S S    ,所以落在阴影部分的概率 3 3, 2000 37516 16 EFOH BDFA SP S       ，故选 C. 5．若 , ,a b c 满足 22 3, log 5,3 2a cb   ，则( ) A．b a c  B．b c a  C． a b c  D． c b a  【答案】A 【解析】因为 2log 5b  ，则 2 5b  ，故 2 2 2b a  ，故 1b a  .又3 2 3c   ，故 1c  .综上，b a c  ， 故选 A . 6．已知函数 ( ) sin3 ( 0, )f x a x a b a x     R 的值域为[ 5,3] ，函数 ( ) cosg x b ax  ，则 ( )g x 的 图象的对称中心为（ ） A． , 5 ( )4 k k     Z B． , 5 ( )4 8 k k       Z C． , 4 ( )5 k k     Z D． , 4 ( )5 10 k k       Z 【答案】B 【解析】因为 ( ) [ ,2 ]f x b a b  ，又依题意知 ( )f x 的值域为[ 5,3] ，所以 2 3a b  得 4a  ， 5b   ， 所以 ( ) 5 cos4g x x   ，令 4 ( )2x k k  Z ，得 ( )4 8 kx k    Z ，则 ( )g x 的图象的对称中心为 , 5 ( )4 8 k k       Z .故选 B. 7．已知实数 ,x y 满足 3 0 6 0 x x y x y         ，若 z ax y  的最大值为3 9a  ，最小值为3 3a  ，则实数 a 的取值 范围是（ ） A． 2,1 B． 1,1 C． 1,3 D． 2,3 【答案】B 【解析】作出实数 ,x y 满足的可行域如图所示： 可求得交点坐标 M(3，9)，N(-3，3)，P(3，-3)，当目标函数经过 M 点时 3 9z a  ，当目标函数经过 N 点 时 3 3z a   ，当目标函数经过 P 点时 3 3z a  ，则由题意可得 3 9 3 3 3 3 3 3 a a a a         联立解得 1 1a   . 故选 B. 8．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为 1r ，大圆柱底面半径为 2r ，如 图 1 放置容器时，液面以上空余部分的高为 1h ，如图 2 放置容器时，液面以上空余部分的高为 2h ，则 1 2 h h  （ ） A． 2 1 r r B． 2 1 2 r r       C． 3 2 1 r r       D． 2 1 r r 【答案】B 【解析】在图 1 中，液面以上空余部分的体积为 2 1 1r h ；在图 2 中，液面以上空余部分的体积为 2 2 2r h .因 为 2 2 1 1 2 2r h r h  ，所以 2 1 2 2 1 h r h r       .故选 B. 9．过双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的右焦点 F 作双曲线 C 的一条弦 AB，且 FA FB  =0，若以 AB 为直 径的圆经过双曲线 C 的左顶点，则双曲线 C 的离心率为（ ） A． 2 B． 3 C．2 D． 5 【答案】C 【解析】因为 FA FB  =0，所以 F 是弦 AB 的中点.且 AB 垂直于 x 轴.因为以 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的 左顶点，所以 2b a ca   ，即 2 2c a a ca    ，则 c a a  ，故 2ce a   .故选 C. 10．已知定义在 R 上的函数  f x 满足    1 1f x f x   且在 1, 上是增函数，不等式    2 1f ax f x   对任意 1 ,12x      恒成立，则实数 a 的取值范围是( ) A． 3, 1  B． 2,0 C． 5, 1  D． 2,1 【答案】B 【解析】由    1 1f x f x   可知函数  f x 的对称轴为 x=1.因为  f x 在[ 5,5] 上是增函数,所以  f x 在[ 5,5] 上是减函数,因为 1 ,12x      ,所以 1 1 02 x    ,又因为不等式    2 1f ax f x   对 任意 1 ,12x      恒成立,所以,当 a=0 时,不等式    2 1f ax f x   显然成立；当 0a  时, 12 2 22ax a    ,根据题意可得      2 2 0f ax f f   ,故不满足题意；当 0a  时, 12 2 2 2a ax a     ,则 0 2 a  且 12 22 a  ,所以 2 0a   .综上，可得实数 a 的取值范围是 2 0a   . 11．在三棱锥 P ABC 中，PA  平面 ABC ， 2 3BAC   ， 3AP  ， 2 3AB  ，Q 是边 BC 上的一动 点，且直线 PQ 与平面 ABC 所成角的最大值为 3  ，则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为（ ） A． 45 B． 57 C． 63 D．84 【答案】B 【解析】三棱锥 P ABC PA ABC中， 平面 ，  设直线 PQ 与平面 ABC 所成角为 ，如图所示；则 3sin PA PQ PQ    ，由题意知 的最大值是 3  ，∴ 3 3 2 PQ  ，解得 2 3PQ  ， 即 PQ 的最小值为 2 3，∴ AQ 的最小值是 3 ，即点 A 到 BC 的距离为 3 ， AQ BC  ， 2 3AB BC   ，  6BC ；  取 ABC△ 的外接圆圆心为 O ，作OO‖ PA ， 6 2sin120 r  ，解得 2 3r  ； 2 3O A   ，M 为 PA 的中点， 32 3 2OM O A PM    ， ， 由勾股定理得  2 23 572 3 ( )2 4CP R    ，∴三棱锥 P ABC 的外接球的表面积是 2 2574 4 ( ) 574S R       ．故选 B. 12．若函数   1( 2) lnxf x a x e x x     在 (0,2) 上存在两个极值点，则 a 的取值范围是（ ） A． 2 1( , )4e   B． 1( , )e   C． 2 1 1 1( , ) ( , )4e e e     D． 2 1 1( , ) (1, )4e e     【答案】D 【解析】由题意可知 2 1 1( ) ( 1) 0xf x ae x x x      有两个不等根.即 2 1( 1)x xae x x   , (0,2)x ,有一根 1x  .另一根在方程 21 xx ea   , (0,2)x 中,令 2( ) xh x x e , (0,2)x , 2( ) ( 2 ) 0xh x e x x   所以 ( )h x 在 (0,2)x 且 1x  上单调递增.所以 1 (1) ,h ea    即 2( ) (0, ) ( ,4 )h x e e e  1 3a e  .所以 a  2 1 1, 1,e 4e        .故选 D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知等差数列{ }na 中， 4 6 10a a  ，若前 5 项的和 5 5S  ，则其公差为___________. 【答案】2 【解析】 4 6 5 510 2 10 5a a a a      ， 1 5 5 3 3 5( ) 5 5 1,2 a aS a a     公差为 5 3 5 1 2.2 2 a a   14．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾 3 股 4 弦 5”的问题.现有 ABC 满足“勾 3 股 4 弦 5”，其中“股” 4AB  ， D 为“弦” BC 上一点（不含端 点），且 ABD 满足勾股定理，则  CB CA AD     _________. 【答案】144 25 【解析】由等面积法可得 3 4 12 5 5AD   ，依题意可得， AD BC ，所以   2 144 25CB CA AD AB AD AD           .故答案为144 25 . 15．若 4( )( 2 )ax y x y  的展开式中 2 3x y 的系数为 8，则 a _________． 【答案】1 【解析】 4( )( 2 )ax y x y  的展开式中含 2 3x y 的项为 3 3 2 2 2 2 3 4 4(2 ) ( ) (2 ) (32 24)ax C x y y C x y a x y       ， 根据题意可得 32 24 8a   ，解得 1a  ． 16．过抛物线C ： 2 4x y 的准线上任意一点 P 作抛物线的切线 PA ，PB ，切点分别为 A ，B ，则 A 点到 准线的距离与 B 点到准线的距离之和的最小值是_________. 【答案】4 【解析】设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，则直线 PA ， PB 的方程分别为 2 1 1 2 4 x xy x  ， 2 2 2 2 4 x xy x  ，联立 解得 1 2 2P x xx  ， 1 2 4P x xy  .又直线 PA ，PB 的方程分别可表示为 1 12 xy x y  ， 2 22 xy x y  ，将 P 点坐标代入两方程，得 1 1 2 2 ,2 ,2 P P P P x xy y x xy y       所以直线 AB 的方程为 12 Px x y    ，即 12 Px xy   ， 所以 A 点到准线的距离与 B 点到准线的距离之和为 1 2 1 22 1 1 22 2 P Px xy y x x                   2 1 2 1 2 4 4 42 4 P x xx x x      … .故答案为 4. 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(12 分）在 ABC 中，内角 A B C， ， 的对边分别是 a b c， ， ，且满足 tan tan 2 A a C b a   ． （1）求角 C ； （2）设 D 为边 AB 的中点， ABC 的面积为3 3 ，求边 CD 的最小值． 【解析】（1）由正弦定理： sin 2 2sin sin a A b a B A   ，又 tan sin cos tan cos sin A A C C A C  ， 由题 tan tan 2 A a C b a   ，所以 sin cos cos sin A C A C sin 2sin sin A B A   .因为sin 0A  ，所以 cos (2sin sin ) cos sinC B A A C  , 即 cos sin cos sin 2sin cosC A A C B C  ,即sin sin( ) 2sin cosB A C B C   , 因为sin 0B  ，所以 1cos 2C  ，则 3C  . （2）由 1 sin2ABCS ab C  ，即 1 33 3= 2 2ab  ，所以 12ab  . 由 1 ( )2CD CA CB    ,所以 2 2 21 ( 2 )4CD CA CB CA CB        2 2 2 21 1( 2 cos ) ( )4 4b a ab C b a ab      1 (2 ) 94 ab ab   当且仅当 a b 时取等,所以边 CD 的最小值为 3. 18．(12 分）某省新课改后某校为预测 2020 届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高 三（5）班随机抽取 50 人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计 图. （1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率. （2）已知该省甲市 2020 届高考考生人数为 4 万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线 的概率. ①若从甲市随机抽取 10 名高三学生，求恰有 8 名学生达到本科线的概率（结果精确到 0.01）； ②已知该省乙市 2020 届高考考生人数为 3.6 万，假设该市每个考生本科上线率均为 (0 1)p p  ，若 2020 届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求 p 的取值范围. 可能用到的参考数据：取 40.36 0.0168 ， 40.16 0.0007 . 【解析】（1）估计本科上线率为 4 6 7 8 5 60%50      . （2）①记“恰有 8 名学生达到本科线”为事件 A，由图可知，甲市每个考生本科上线的概率为 0.6， 则 8 8 2 2 4 10 10( ) 0.6 (1 0.6) 0.36 0.16 45 0.0168 0.16 0.12P A C C           . ②甲、乙两市 2020 届高考本科上线人数分别记为 X，Y，依题意，可得 ~ (40000,0.6)X B ， ~ (36000, )Y B p . 因为 2020 届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，所以 EY EX ，即36000 40000 0.6p   ， 解得 2 3p  ，又 0 1p  ，故 p 的取值范围为 2 ,13     . 19．(12 分）如图，等腰梯形 ABCD 中， / /AB CD ， 1AD AB BC   ， 2CD  ，E 为 CD 中点，以 AE 为折痕把 ADE 折起，使点 D 到达点 P 的位置（ P平面 ABCE ）. （1）证明： AE PB ； （2）若直线 PB 与平面 ABCE 所成的角为 4  ，求二面角 A PE C  的余弦值. 【解析】（1）证明：在等腰梯形 ABCD 中，连接 BD ，交 AE 于点O , / / ,AB CE AB CEQ , 四边形 ABCE 为平行四边形, AE BC AD DE    , ADE 为等边三角 形,在等腰梯形 ABCD 中， 3C ADE     , BD BC , BD AE  , 翻折后可得： ,OP AE OB AE  . 又 OP  平面 POB ，OB  平面 POB ，OP OB O , AE 平面 POB . PB  平面 POB , AE PB  . （2）解：在平面 POB 内作 PQ⊥OB,垂足为 Q，因为 AE⊥平面 POB，∴AE⊥PQ，因为 OB  平面 ABCE, AE  平 面 ABCE,AE∩OB=O,∴PQ⊥平面 ABCE，∴直线 PB 与平面 ABCE 夹角为 4PBQ   ， 又因为 OP=OB，∴OP⊥OB，∴O、Q 两点重合，即 OP⊥平面 ABCE， 以 O 为原点，OE 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为 3 1 3 1 3 1 3(0,0, ), ( ,0,0), (0, ,0), ( ,0, ), ( , ,0)2 2 2 2 2 2 2P E C PE EC     , 设平面 PCE 的一个法向量为 1 ( , , )n x y z ，则 1 1 1 3 00 2 2, , 0 1 3 02 2 x zPE n EC n x y                设 3x  ，则 y=-1,z=1，∴ 1 ( 3,-1,1)n  ，由题意得平面 PAE 的一个法向量 2 (0,1,0)n  ， 设二面角 A-EP-C 为 ， 1 2 1 2 | | 1 5|cos |= 5| || | 5 n n n n         . 易知二面角 A-EP-C 为钝角，所以 5cos =- 5  . 20．(12 分）过椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左顶点 A 作斜率为 2 的直线，与椭圆的另一个交点为 B ，与 y 轴的交点为C ，已知 6 13AB BC  . （1）求椭圆的离心率； （2）设动直线 y kx m  与椭圆有且只有一个公共点 P ，且与直线 4x  相交于点Q ，若 x 轴上存在一定点 (1,0)M ，使得 PM QM ，求椭圆的方程. 【解析】（1）∵ A ( ,0)a ,设直线方程为 2( )y x a  , 1 1( , )B x y , 令 0x  ,则 2y a ,∴ (0,2 )C a , ∴ 1 1 1 1( , ), ( ,2 )AB x a y BC x a y      ∵ 6 13AB BC  ， ∴ 1x a = 1 1 1 6 6( ), (2 )13 13x y a y   ,整理得 1 1 13 12,19 19x a y a   , ∵ B 点在椭圆上,∴ 2 2 2 2 13 12( ) ( ) 119 19 a b    ,∴ 2 2 3 ,4 b a = ∴ 2 2 2 3 ,4 a c a   即 2 31 4e  ,∴ 1 2e  . （2）∵ 2 2 3 ,4 b a = 可设 2 23 . 4b t a t  ,∴椭圆的方程为 2 23 4 12 0x y t   , 由 2 23 4 12 0x y t y kx m        得 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x kmx m t     ,∵动直线 y kx m  与椭圆有且只有一个 公共点 P,∴ 0  ,即 2 2 2 264 4(3 4 )(4 12 ) 0k m m m t    ,整理得 2 23 4m t k t  , 设 P 1 1( , )x y 则有 1 2 2 8 4 2(3 4 ) 3 4 km kmx k k      , 1 1 2 3 3 4 my kx m k     , ∴ 2 2 4 3( , )3 4 3 4 km mP k k    ,又 (1,0)M ,Q (4,4 )k m ,若 x 轴上存在一定点 (1,0)M ，使得 PM QM , ∴ 2 2 4 3(1 , ) ( 3, (4 )) 03 4 3 4 km m k mk k         恒成立,整理得 2 23 4k m  , ∴ 2 23 4 3 4k t k t   恒成立,故 1t  ,所求椭圆方程为 2 2 14 3 x y  . 21．(12 分）函数  2 2( ) 2 2 ln 4f x x x x x x    . （1）求 ( )f x 在 x e 处的切线方程（ e 为自然对数的底数）； （2）设 3 2( ) 3 3 ( )g x x x x f x    ，若 1 2 1 2, (0, )x x x x  且 ，满足    1 2 8g x g x  ，求证： 1 2 1x x  . 【解析】（1） 2( )f e e ，    4 1 ln ,f x x x  则 ( ) 4( 1)f e e   ， 故  f x 在 x e 处的切线方程为   2 4 1e ey x e    即   24 1 3 4 0e y e ex     ； （2）证明：由题可得      23 1 4 1 lng x x x x    ，  1 0g  ， 当 0 1x  时， 1 0,ln 0x x   ，则   0g x  ；当 1x  时， 1 0,ln 0x x   ，则   0g x  ， 所以，当 0x  时，   0g x  ，  g x 在 0,  上是增函数. 设      1 0 1G x g x g xx        ， 则        2 2 4 3 1 1 1 13 1 1 4 1 1 lnG x g x g x x xx x x x                           ， 当 0 1x  时， 1 0,ln 0x x   ， 4 3 1 11 0,1 0,x x     则   0G x  ，  G x 在 0,1 上递减. 不妨设 1 20 x x  ，由于  g x 在 0,  上是增函数，则    1 2g x g x ， 又    1 2 8g x g x  ，  1 4g  ，则      1 21g x g g x  ，于是 1 20 1x x   ， 由 10 1x  ，  G x 在 0,1 上递减， 则      1 1 2 1 8G x G g   ，所以  1 1 1 8g x g x       ，则    1 2 1 1 8g g x g xx         ， 又 2 1 1 1, 1xx   ，  g x 在 0,  上是增函数，所以， 2 1 1 xx  ，即 1 2 1x x  . (二)、选考题：共 10 分．请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 1C 的参数方程为 5 10 cos ( ) 10 sin x y        为参数 ，以坐标原点O 为极 点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 4cos  ． （1）求曲线 1C 与曲线 2C 两交点所在直线的极坐标方程； （2）若直线l 的极坐标方程为 sin( ) 2 24     ，直线l 与 y 轴的交点为 M ，与曲线 1C 相交于 ,A B 两 点，求 MA MB 的值． 【解析】（1）曲线 1C 的普通方程为： 2 2( 5) 10x y   ,曲线 2C 的普通方程为： 2 2 4x y x  ，即 2 2( 2) 4x y   ,由两圆心的距离 3 ( 10 2, 10 2)d     ，所以两圆相交，所以两方程相减可得交线为 6 21 5x   ，即 5 2x  .所以直线的极坐标方程为 5cos 2    . （2）直线l 的直角坐标方程： 4x y  ，则与 y 轴的交点为 (0,4)M 直线l 的参数方程为 2 2 24 2 x t y t       ，带入曲线 1C 2 2( 5) 10x y   得 2 9 2 31 0t t   .设 ,A B 两点的参数 为 1t ， 2t ,所以 1 2 9 2t t   ， 1 2 31t t  ，所以 1t ， 2t 同号.所以 1 2 1 2 9 2MA MB t t t t      . 23．【选修 4-5：不等式选讲】（10 分） 已知函数   2 1f x x a x    , a R . （1）当 1a  时,求   2f x  的解集; （2）若   2 1f x x  的解集包含集合 1 ,12      ,求实数 a 的取值范围. 【解析】（1）当 1a  时,   2 1 1 2 1f x x a x x x        , 当   2f x  ,即 1 2 1 2x x    ,上述不等式可化为 1 2 1 1 2 2 x x x        ,或 1 12 1 2 1 2 x x x         ,或 1 1 2 1 2 x x x       , 10 2x   或 1 12 x  或 41 3x  ,原不等式的解集为 40 3x x      . （2）   2 1f x x  的解集包含 1 ,12      ,当 1 ,12x      时,不等式   2 1f x x  恒成立,即在 2 1 2 1x a x x     1 ,12x      上恒成立, 2 1 2 1x a x x      ,即 2x a  , 2 2x a    , 2 2x a x     在 1 ,12x      上恒成立,    max min2 2x a x   , 51 2a   , a 的取值范围为 51, 2     .