高中数学选修2-1课件2_1_2椭圆的几何性质（1）
2.1.2
椭圆的简单几何性质
(1)
复习：
1.
椭圆的定义
:
到两定点
F
1
、
F
2
的距离之和为常数（大于
|
F
1
F
2
|
）的动点的轨迹叫做椭圆。
2.
椭圆的标准方程是：
3.
椭圆中
a,b,c
的关系是
:
a
2
=b
2
+c
2
当焦点在
X
轴上时
当焦点在
Y
轴上时
1
、椭圆的方程中
x
与
y
的取值是否有限？
探究：
2
、椭圆在坐标平面中的图形与
x
、
y
有什么关系？
二、
椭圆 简单的几何性质
-a≤x≤a, -b≤y≤b
知
椭圆落在
x=±a,y= ± b
组成的矩形中
o
y
B
2
B
1
A
1
A
2
F
1
F
2
c
a
b
1
、范围：
椭圆的对称性
Y
X
O
P
（
x
，
y
）
P
1
（
-x
，
y
）
P
2
（
-x
，
-y
）
2
、对称性
：
o
y
B
2
B
1
A
1
A
2
F
1
F
2
c
a
b
从图形上看，
椭圆关于
x
轴、
y
轴、原点对称。
从方程上看：
（
1
）把
x
换成
-x
方程不变，图象关于
y
轴对称；
（
2
）把
y
换成
-y
方程不变，图象关于
x
轴对称；
（
3
）把
x
换成
-x
，同时把
y
换成
-y
方程不变，图象关于原点成中心对称。
3
、椭圆的顶点
令
x=0
，得
y=
？，说明椭圆与
y
轴的交点？
令
y=0
，得
x=
？说明椭圆与
x
轴的交点？
*
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
*长轴、短轴：线段
A
1
A
2
、
B
1
B
2
分别叫做椭圆的长轴和短轴。
a
、
b
分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
o
y
B
2
B
1
A
1
A
2
F
1
F
2
c
a
b
(0,b)
(a
，
0)
(0,-b)
(-a
，
0)
1
2
3
-1
-2
-3
-4
4
y
1
2
3
-1
-2
-3
-4
4
y
1
2
3
4
5
-1
-5
-2
-3
-4
x
1
2
3
4
5
-1
-5
-2
-3
-4
x
根据前面所学有关知识画出下列图形
（
1
）
（
2
）
A
1
B
1
A
2
B
2
B
2
A
2
B
1
A
1
4
、
椭圆的离心率
e
(
刻画椭圆扁平程度的量
)
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：
叫做椭圆的离心率。
[1]
离心率的取值范围：
[2]
离心率对椭圆形状的影响：
0
b
a
2
=b
2
+c
2
标准方程
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
离心率
a
、
b
、
c
的关系
|x|≤ a,|y|≤ b
关于
x
轴、
y
轴成轴对称；关于原点成中心对称
(a,0)
、
(-a,0)
、
(0,b)
、
(0,-b)
(c,0)
、
(-c,0)
长半轴长为
a
,
短半轴长为
b.
a>b
a
2
=b
2
+c
2
|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)
、
(-b,0)
、
(0,a)
、
(0,-a)
(0 , c)
、
(0, -c)
同前
同前
同前
例
1
已知椭圆方程为
9x
2
+25y
2
=225,
它的长轴长是
：
。
短轴长是
：
。
焦距是
：
。
离心率等于
：
。
焦点坐标是
：
。
顶点坐标是
：
。
外切矩形的面积等于
：
。
10
6
8
60
解题的关键：
1
、将椭圆方程转化为标准方程 明确
a
、
b
2
、确定焦点的位置和长轴的位置
练习：已知椭圆 的离心率
求
m
的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐
标、顶点坐标。
练习
求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。
（
1
）
x
2
+9y
2
=81 (2) 25x
2
+9y
2
=225
(3) 16x
2
+y
2
=25 (4) 4x
2
+5y
2
=1
例
2
求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴经过点
P(
－
3,0)
、
Q(0,
－
2)
；
⑵长轴长等于
20
，离心率
3/5
。
⑶一焦点将长轴分成２
：
１的两部分，且经过点
解
： ⑴方法一：设方程为
mx
2
＋
ny
2
＝
1
（
m
＞
0
，
n
＞
0
，
m≠n
），
将点的坐标方程，求出
m
＝
1/9,n
＝
1/4
。
方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在
x
轴上，且点
P
、
Q
分别是椭圆长轴与短轴的一个端点
，故
a
＝
3
，
b
＝
2
，所以椭圆的标准方程为
注
：待定系数法求椭圆标准方程的步骤： ⑴定位； ⑵定量
⑶
⑵
或
或
练习：
1.
根据下列条件，求椭圆的标准方程。
① 长轴长和短轴长分别为
8
和
6
，焦点在
x
轴上
② 长轴和短轴分别在
y
轴，
x
轴上，经过
P(-2,0)
，
Q(0,-3)
两点
.
③
一焦点坐标为（－
3
，
0
）一顶点坐标为（
0
，
5
）
④两顶点坐标为（
0
，
±6
），且经过点（
5
，
4
）
⑤焦距是
12
，离心率是
0.6
，焦点在
x
轴上。
2.
已知椭圆的一个焦点为
F
（
6
，
0
）点
B
，
C
是短轴的两端点，△
FBC
是等边三角形，求这个椭圆的标准方程。
例
3
：
(1)
椭圆 的左焦点
是两个顶点，如果到直线
AB
的距
离为 ，则椭圆的离心率
e=
.
(3)
设
M
为椭圆 上一点， 为椭圆的焦点，
如果 ，求椭圆的离心率。
小结：
本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。了解了研究椭圆的几个
基本量
a
，
b
，
c
，
e
及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系
，这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌握
数与形
的联系。在本节课中，我们运用了
几何性质
，
待定系数法
来求解椭圆方程，在解题过程中，准确体现了
函数与方程
以及
分类讨论
的数学思想。
3
、
P
为椭圆 上任意一点，
F
1
、
F
2
是焦
点， 求
∠
F
1
PF
2
的最大值
.
作业：
