2017届高考数学（文）（新课标）二轮专题复习（检测）第二部分专题六 导数及其应用 作业11

2017届高考数学（文）（新课标）二轮专题复习（检测）第二部分专题六 导数及其应用 作业11

小题专练·作业(十一)‎ 一、选择题 ‎1．曲线f(x)＝在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为，则实数a＝(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　　 B．－1‎ C．7 D．－7‎ 答案　C 解析　f′(x)＝＝，‎ ‎∵f′(1)＝tan＝－1，∴＝－1，∴a＝7.‎ ‎2．(2016·四川)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)‎ A．－4 B．－2‎ C．4 D．2‎ 答案　D 解析　由题意可得f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，‎ 令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，‎ 则f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，－2)‎ ‎－2‎ ‎(－2，2)‎ ‎2‎ ‎(2，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极大值  极小值  ‎∴函数f(x)在x＝2处取得极小值，则a＝2.故选D.‎ ‎3．(2016·南昌调研)设p：∀x∈R，x2－4x＋3m>0；q：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，则p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由q知f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增，则f′(x)≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x2＋4x＋m≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即Δ1＝16－12m≤0，即m≥；由p得Δ2＝16－12m<0，即m>，故p成立q一定成立，q成立p不一定成立，‎ 即p是q的充分不必要条件．‎ ‎4．(2016·衡水调研)已知点A(1，2)在函数f(x)＝ax3的图像上，则过点A的曲线C：y＝f(x)的切线方程是(　　)‎ A．6x－y－4＝0 B．x－4y＋7＝0‎ C．6x－y－4＝0或x－4y＋7＝0 D．6x－y－4＝0或3x－2y＋1＝0‎ 答案　D 解析　由于点A(1，2)在函数f(x)＝ax3的图像上，则a＝2，即y＝2x3，所以y′＝6x2.若点A为切点，则切线斜率为6，若点A不是切点，设切点坐标为(m，2m3)，则切线的斜率为k＝6m2.由两点的斜率公式，得＝6m2(m≠1)，即有2m2－m－1＝0.解得m＝1(舍去)或m＝－.综上，切线的斜率为k＝6或k＝6×＝，则过点A的曲线C：y＝f(x)的切线方程为y－2＝6(x－1)或y－2＝(x－1)，即6x－y－4＝0或3x－2y＋1＝0.故选D.‎ ‎5．(2016·河南郑州二测)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．2 D．4‎ 答案　B 解析　由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×(－)＝0.‎ ‎6．(2016·湖北七校)设曲线y＝sinx上任一点(x，y)处切线斜率为g(x)，则函数y＝x2g(x)的图像可以为(　　)‎ 答案　C 解析　∵g(x)＝(sinx)′＝cosx，∴y＝x2g(x)＝x2cosx.根据函数的图像关于y轴对称及过点(0，0)知，应选C.‎ ‎7．已知f(x＋1)是偶函数，当x>1时，f′(x)>0恒成立，设a＝f(－)，b＝f(2)，‎ c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A．b1时，f(x)递增，‎ ‎∵1<2<2.5<3，∴f(2)0)，则g′(x)＝－2x＋2＝，易得g(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，∴g(x)max＝g()＝ln()＋>0.∵当x→0＋时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→－∞，∴g(x)有两个零点．‎ ‎∵当x≤0时，f(x)＝0⇔x2－2x－3＝0(x≤0)⇔x＝－1，∴函数f(x)总共有3个零点．‎ ‎9．(2016·浙江重点中学)函数f(x)＝2alog2x＋a·4x＋3在区间(，1)上有零点，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．a<－ B．a<－ C．a<－ D．－0，则函数f(x)＝2a·log2x＋a·4x＋3在区间(，1)上单调递增．‎ ‎∴函数f(x)＝2a·log2x＋a·4x＋3在区间(，1)上是单调函数．‎ 若在区间(，1)上有零点，则f()·f(1)<0，即(2a·log2＋2a＋3)(4a＋3)<0，即3(4a＋3)<0，解得a<－，故选C.‎ ‎10．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，0) B．(0，)‎ C．(0，1) D．(0，＋∞)‎ 答案　B 解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1－2ax.‎ 已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，等价于lnx＋1－2ax＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，等价于函数h(x)＝lnx的图像与函数g(x)＝2ax－1的图像在(0，＋∞)上有两个不同的交点．‎ 设函数h(x)＝lnx与函数g(x)＝2ax－1的图像相切于点A(m，lnm)，其中m>0，函数g(x)的图像在点A处的切线的斜率为k＝2a，函数h(x)的图像在点A处的切线的斜率为k＝，∴2a＝.‎ 又∵直线g(x)＝2ax－1过点(0，－1)，‎ ‎∴k＝，∴＝.解得m＝1.‎ ‎∴当函数h(x)与g(x)的图像相切时，a＝.‎ ‎∴a∈(0，)．‎ ‎11．(2016·江西七校)已知函数g(x)＝aex－x＋2a2－3能够取遍(0，＋∞)内的所有实数，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，e] B．(－∞，1]‎ C．[0，e] D．[0，1]‎ 答案　B 解析　因为g′(x)＝aex－1，当a≤0时，g′(x)＝aex－1<0，g(x)在R上单调递减，分析可知此时g(x)的值域为R，满足题意；当a>0时，由g′(x)＝aex－1＝0，可得x＝－lna，当x<－lna时，g(x)为单调递减函数，当x>－lna时，g(x)为单调递增函数，所以可得g(x)min＝g(－lna)＝lna＋2a2－2，若要使函数g(x)＝aex－x＋2a2－3能够取遍(0，＋∞)内的所有实数，则应满足lna＋2a2－2≤0.设f(a)＝lna＋2a2－2，分析可以得到当a>0时，f(a)为单调递增函数，且f(1)＝0，所以00，即a＋b<1.对应的区域是三角形，如图，面积为 ‎.所以所求的概率为.‎ ‎13．(2016·广西质检)若关于x的方程2x3－3x2＋a＝0在区间[－2, 2]上仅有一个实根，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．[－4，0] B．(1，28]‎ C．[－4，0)∪(1，28] D．[－4，0)∪(1，28)‎ 答案　C 解析　f(x)＝2x3－3x2＋a，则f′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，x∈[－2，2]．令f′(x)>0，得x∈[－2，0)∪(1，2]；令f′(x)<0，得x∈(0，1)．∴y＝f(x)在(0，1)上单调递减，在[－2，0)，(1，2]上单调递增．又f(－2)＝－28＋a，f(0)＝a，f(1)＝－1＋a，f(2)＝4＋a.∴－28＋a≤0<－1＋a或a<0≤4＋a，即a∈[－4，0)∪(1，28]．‎ ‎14．(2016·河北五一名校联考)若y1＝sin2x1＋(x1∈[0，π])，y2＝x2＋3，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为(　　)‎ A.π＋ B.π C．()2 D. 答案　D 解析　设z＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2，则z的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方，由y＝sin2x＋，得y′＝2cos2x，直线y2＝x2＋3的斜率为1，由2cos2x＝1，解得2x＝，即x＝，此时y＝sin2x＋＝，即函数y＝sin2x＋在(，)处的切线和直线y＝x＋3平行，则最短距离d＝＝，所以(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为d2＝，故选D.‎ ‎15．(2016·商丘二模)已知f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f′(x)，若f′(x)1.‎ 二、填空题 ‎16．(2016·天津)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．‎ 答案　3‎ 解析　∵f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)·ex，∴f′(0)＝3.‎ ‎17．(2016·太原五校)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1时有极值10，则a的值为________．‎ 答案　4‎ 解析　对f(x)求导得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因为函数在x＝1时有极值10，所以有解得或当a＝－3，b＝3时，‎ f′(x)＝3(x－1)2≥0，即函数不存在极值，所以不符合，经验证只有a＝4符合．‎ ‎18．(2016·四川巴蜀名校联考)在区间[0，3]上任取一个数m，则函数f(x)＝x3－x2＋mx是R上的单调函数的概率是________．‎ 答案　 解析　f′(x)＝x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1.若函数y＝f(x)是R上的单调函数，则m－1≥0，即m≥1.所求概率为P＝＝.‎ ‎19．设函数f(x)＝lnx＋在(0，)内有极值，则a的取值范围为________．‎ 答案　(e＋－2，＋∞)‎ 解析　易知函数f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝－＝＝.‎ 由函数f(x)在(0，)内有极值可知方程f′(x)＝0在(0，)内有解．‎ 令g(x)＝x2－(a＋2)x＋1＝(x－α)(x－β)，不妨设0<α<，则β>e.‎ 又g(0)＝1>0，所以g()＝－＋1<0，解得a>e＋－2.‎ ‎1．(2016·河北邯郸一模)若函数f(x)＝lnx－ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　(－1，＋∞)‎ 解析　f′(x)＝－ax－2＝，‎ 由题意知f′(x)<0有实数解，∵x>0，∴ax2＋2x－1>0有实数解．当a≥0时，显然满足；当a<0时，只要Δ＝4＋4a>0，∴－1－1.‎ ‎2．(2016·湖北荆门调研)若函数f(x)＝x2－lnx＋1在其定义域内的一个子区间(a－1，a＋1)内存在极值，则实数a的取值范围为________．‎ 答案　[1，)‎ 解析　f′(x)＝2x－＝＝，所以函数f(x)的极值点为.又函数f(x)在其定义域内的一个子区间(a－1，a＋1)内存在极值，所以0≤a－1<0，解得－11，由此得函数在(－∞，－1)上是减函数，在(－1，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，故函数在x＝－1处取得极小值－2，判断知此极小值必是区间(a2－12，a)上的最小值．∴a2－12<－10)，则g′(x)＝－2x＋2＝，易得g(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，∴g(x)max＝g()＝ln()＋>0.∵当x→0＋时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→－∞，∴g(x)有两个零点．‎ ‎∵当x≤0时，f(x)＝0⇔x2－2x－3＝0(x≤0)⇔x＝－1，∴函数f(x)总共有3个零点．‎ ‎5．(2016·福州五校)定义在(－1，1)上的函数f(x)＝1＋x－＋－…－，设F(x)＝f(x＋4)，且F(x)的零点均在区间(a，b)内，其中a，b∈Z，a0，因而f(x)在(－1，1‎ ‎)上单调递增，f(－1)＝(1－1)－－－…－<0，f(0)＝1>0，因而函数f(x)仅有1个零点，且在(－1，0)内，那么F(x)＝f(x＋4)也有1个零点在(－5，－4)内，故b－a的最小值为1，则圆x2＋y2＝b－a的面积的最小值为π，故选A.‎ ‎6．(2016·河北七校)已知函数f(x)＝f′()cosx＋sinx，f′(x)是f(x)的导函数，则f()＝________．‎ 答案　1‎ 解析　因为f′(x)＝－f′()sinx＋cosx，所以f′()＝－f′()sin＋cos，解得f′()＝－1，故f()＝f′()cos＋sin＝(－1)＋＝1.‎