2018-2019学年安徽省阜阳市第三中学高二下学期第二次调研考试数学（理）试题 解析版

2018-2019学年安徽省阜阳市第三中学高二下学期第二次调研考试数学（理）试题 解析版

安徽省阜阳市第三中学2018—2019学年度第二学期第二次调研考试 理科数学试题 命题人： ‎ 考生注意：本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页。满分150分，考试时间120分钟。 ‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题（下列各题的备选答案中只有一个选项是正确的，请把正确答案填写在括号中。每小题5分，共60分）‎ ‎1.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是 函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点以上推理中　　‎ A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 结论正确 ‎2.设，已知，，则n与p的值为　　‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎3.5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为( )‎ A.72　　 B.48　　　 C.24　　 D.60‎ ‎4.用反证法证明“若则或”时，应假设　　‎ A. 或 B. 且 C. D. ‎ ‎5.曲线，和直线围成的图形面积是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.定义复数的一种运算等式右边为普通运算，若复数，且正实数a，b满足，则最小值为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.用数学归纳法证明：“”从“到”左端需增乘的代数式为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.观察下列算式：，，，，，，，用你所发现的规律可得的末位数字是　　‎ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎9.已知对任意恒成立，且，，则　　‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎10.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.函数的图象大致为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知a为常数，函数有两个极值点，　　‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13.设随机变量的分布列为2，3，4，则等于 ‎ ‎14.若,则 ‎ ‎15.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两 ‎ 个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法 ‎ 共有　 　种（用数字作答）．‎ 16. 已知函数若所有零点之和为1，‎ 则实数a的取值范围是______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.(本小题满分10分）已知在的展开式中二项式系数和为256． 求展开式中常数项； 求展开式中二项式系数最大的项．‎ ‎18.(本小题满分12分）在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个。现从盒子中每次任意取出一个球，若取出的是蓝球则结束，若取出的不是蓝球则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球次数最多不超过3次。求：‎ ‎（1）取两次就结束的概率；‎ ‎（2）正好取到2个白球的概率；‎ ‎19.(本小题满分12分）已知函数的图象经过点，且在点处的切线方程为．Ⅰ求函数的解析式；Ⅱ求函数的单调区间．‎ ‎20.(本小题满分12分）已知数列的前n项和． 计算，，，； 猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．‎ ‎21(本小题满分12分）五一节期间，阜阳万达广场为吸引顾客消费推出一项优惠活动活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券假定指针等可能地停在任一位置，指针落在区域的边界时，重新转一次指针所在的区域及对应的返劵金额见下表例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和． 已知顾客甲消费后获得n次转动转盘的机会，已知他每转一次转盘指针落在区域边界的概率为p，每次转动转盘的结果相互独立，设为顾客甲转动转盘指针落在区域边界的次数，的数学期望，标准差，求n、p的值； ‎ 顾客乙消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为元求随机变量的分布列和数学期望． ‎ 指针位置 A区域 B区域 C区域 返券金额单位：元 ‎60‎ ‎30‎ ‎0‎ ‎22.(本小题满分12分）设函数，Ⅰ若函数在R上单调递增，求a的取值范围；Ⅱ当时，设函数的最小值为，求证：；Ⅲ求证：对任意的正整数n，都有．‎ ‎2018—2019学年度第二学期第二次调研考试 理科数学试题答案 命题人： ‎ 考生注意：本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页，22大题。满分150分，考试时间为120分钟。 ‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ 1. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点以上推理中　　‎ A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 结论正确 ‎【答案】A ‎【解析】解：大前提是：“对于可导函数，如果，那么是函数的极值点”，不是真命题， 因为对于可导函数，如果，且满足当附近的导函数值异号时，那么是函数的极值点， 大前提错误，故选：A．‎ 2. 设，已知，，则n与p的值为　　‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：，， 3.5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为( )‎ A.72　　 B.48　　　 C.24　　 D.60‎ ‎【答案】C ‎4.用反证法证明“若则或”时，应假设　　‎ A. 或 B. 且 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：用反证法证明“若则或”时，应先假设且． 故选：B．‎ ‎5.曲线，和直线围成的图形面积是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：曲线，和直线围成的图形面积， 就是： ． 故选：D． 由题意可知曲线，和直线围成的图形面积是积分，然后根据积分的运算公式进行求解即可．‎ ‎6.定义复数的一种运算等式右边为普通运算，若复数，且正实数a，b满足，则最小值为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】解： ，， ． 故选：B． 先由新定义用a和b表示出，再利用基本不等式求最值即可． 本题考查复数的模、利用基本不等式求最值等知识，难度不大．‎ ‎7.用数学归纳法证明：“”从“到”左端需增乘的代数式为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：当时，左端， 当时，左端， 从到时左边需增乘的代数式是：． 故选：B．‎ ‎8.观察下列算式：，，，，，，，用你所发现的规律可得的末位数字是　　‎ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：通过观察可知，末尾数字周期为4，， 故的末位数字与末尾数字相同，都是8． 故选：D．‎ ‎9.已知对任意恒成立，且，，则　　‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：，且，， ，，解得，， 故选：A． 根据，根据它的展开式形式，由题意可得，，由此求出b的值． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．‎ ‎10.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：小赵独自去一个景点，则有4个景点可选，其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为种 所以小赵独自去一个景点的可能性为种 因为4 个人去的景点不相同的可能性为种， 所以． 故选：A．‎ ‎11.函数的图象大致为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】【分析】 根据函数是否存在零点，以及的符号，利用排除法进行判断即可． 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法是解决本题的关键． 【解答】 解：，排除C，D， 由，则方程无解，即函数没有零点，排除B， 故选A．‎ ‎12.已知a为常数，函数有两个极值点，　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：， 令，由题意可得有两个解，函数有且只有两个零点在上的唯一的极值不等于0． ． ‎ 当时，，单调递增，因此至多有一个零点，不符合题意，应舍去． 当时，令，解得， ，，函数单调递增；时， ，函数单调递减． 是函数的极大值点，则，即， ，，即． 故当时，有两个根，，且，又， ，从而可知函数在区间上递减，在区间上递增，在区间上递减． ，． 故选：D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13.设随机变量的分布列为2，3，4，则等于 ‎ ‎【解析】 解：随机变量的分布列为2，3，4，， ， 解得， ．‎ 14． 若,则 ‎ ‎【答案】 1‎ 15、 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有　 　种（用数字作答）．‎ ‎【答案】630‎ ‎16.已知函数若所有零点之和为1，则实数a的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：当时，由，得到函数的一个零点是， 当时，，，故， 即此时函数的图象关于直线对称此时函数图象部分对称， 若去掉的限制，函数图象完全对称，此时函数若有零点， 则必然满足，故所有零点之和为1，满足题意； 又，当时，，即单调递减，当时， 0'/>，即单调递增， 故函数； 但要使得函数有零点必须满足条件且，这是为了保证函数有两个零点，且在段上的零点必须存在 即且，即且，从而解得a的范围是：．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.已知在的展开式中二项式系数和为256． 求展开式中常数项； 求展开式中二项式系数最大的项．‎ ‎【答案】解：二项式系数和为，， 其通项公式为，， 令，即， 展开式中常数项； ‎ ‎， 展开式中的二项式系数最大的项为中间项，即第五项， 二项式系数最大的项为．‎ ‎18.在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个。现从盒子中每次任意取出一个球，若取出的是蓝球则结束，若取出的不是蓝球则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球次数最多不超过3次。求：‎ ‎（1）取两次就结束的概率；‎ ‎（2）正好取到2个白球的概率；‎ 解：（1）取两次的概率……5分 答: 取两次的概率为………………..6分 ‎（2）由题意知可以如下取球：红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况，….7分 所以恰有两次取到白球的概率为 答: 恰有两次取到白球的概率为………………….12分 ‎19.已知函数的图象经过点，且在点处的切线方程为．Ⅰ求函数的解析式；Ⅱ求函数的单调区间．‎ ‎【答案】解：Ⅰ由的图象经过点，知， ，． 由在点处的切线方程为， 知，即，又． 解得． 故所求的解析式是．Ⅱ． 令 0'/>，得或； 令，得 ‎． 故的单调递增区间为和， 单调递减区间为．‎ ‎20.已知数列的前n项和． 计算，，，； 猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．‎ ‎【答案】解：由已知得： 当时，有，即， 当时，有，即， 同理可得：，； 猜想：， 证明：当时，由得，等式成立， 假设当时，成立， 则当时，有 ， 可得， 即当时，等式也成立． 综合可知对一切都成立．‎ ‎21.五一节期间，某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券假定指针等可能地停在任一位置，指针落在区域的边界时，重新转一次指针所在的区域及对应的返劵金额见右上表例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和． 已知顾客甲消费后获得n次转动转盘的机会，已知他每转一次转盘指针落在区域边界的概率为p，每次转动转盘的结果相互独立，设为顾客甲转动转盘指针落在区域边界的次数，的数学期望，标准差，求n、p的值； ‎ 顾客乙消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为元求随机变量的分布列和数学期望． ‎ 指针位置 A区域 B区域 C区域 返券金额单位：元 ‎60‎ ‎30‎ ‎0‎ ‎【答案】解：依题意知，服从二项分布 ---------------- 又---- 由联立解得：，； 设指针落在A，B，C区域分别记为事件A，B，则，，． 由题意得，该顾客可转动转盘2次． 随机变量的可能值为0，30，60，90，120．     ． 所以，随机变量的分布列为： ‎ P ‎0‎ ‎30‎ ‎60‎ ‎90‎ ‎120‎ 故其数学期望．‎ ‎22.设函数，Ⅰ若函数在R上单调递增，求a的取值范围；Ⅱ当时，设函数的最小值为，求证：；Ⅲ求证：对任意的正整数n，都有．‎ ‎【答案】Ⅰ解：由，得， 函数在R上单调递增， ‎ 对任意恒成立，即恒成立， ， ， 故实数a的取值范围是；Ⅱ证明：，由，得， 由，得， 当时，， 即， 则． 由，得， ， ；Ⅲ证明：由2，3，， 得， ．‎