江西省宜春市上高二中2019-2020学年高二上学期第二次月考数学（理）试题 含解析

江西省宜春市上高二中2019-2020学年高二上学期第二次月考数学（理）试题 含解析

‎2019-2020学年江西省宜春市上高二中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知命题p：“，有成立”，则命题为 A. ，有成立 B. ，有成立 C. ，有成立 D. ，有成立 2. 已知圆，过点的直线l交该圆于A，B两点，O为坐标原点，则面积的最大值是 A. B. ‎2 ‎C. D. 4‎ 3. 若命题“，”是假命题，则实数x的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 4. 圆心为的圆，在直线上截得的弦长为，那么，这个圆的方程为   ‎ A. B. C. D. ‎ 5. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是 ‎ A. B. C. D. ‎ 6. 如图在正方体  中，O是底面ABCD的中心，，H为垂足，则与平面的位置关系是 A. 垂直 B. 平行 C. 斜交 D. 以上都不对 ‎ 7. 命题p：函数且的图象必过定点，命题q：如果函数的图象关于点对称，那么函数的图象关于点对称，则 A. 为真 B. 为假 C. p真q假 D. p假q真 8. 已知命题p：，命题q：，，则p成立是q成立的    ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M与圆的位置关系是    ‎ A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 10. 已知圆C：，平面区域：，若圆心，且圆C与x轴相切，则的最大值为 A. 5 B. ‎29 ‎C. 37 D. 49‎ 11. 已知三棱锥四个顶点均在半径为R的球面上，且，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为 A. B. C. D. ‎ 12. 在长方体中，二面角的大小为，与平面ABCD所成角的大小为，那么异面直线与所成角的余弦值是．‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 1. 给下列三个结论： 命题“，”的否定是“，”； 若，则的逆命题为真； 命题“若，则”的否命题为：“若，则”； 其中正确的结论序号是______填上所有正确结论的序号．‎ 2. 已知点在圆上运动，则的最小值为______．‎ 3. 如图所示，已知三棱柱的所有棱长均为1，且底面ABC，则 三棱锥的体积为______． ‎ 4. 已知三棱锥中，，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 5. 已知直线l过点，圆C：，直线l与圆C交于A，B两点．  求直线PC的方程； 求直线l的斜率k的取值范围； Ⅲ是否存在过点且垂直平分弦AB的直线？若存在，求直线斜率的值，若不存在，请说明理由． ‎ 6. 已知函数，． 若对任意，都有成立，求实数m的取值范围． 若对任意，总存在，使得成立，求实数m的取值范围． ‎ 7. 已知，命题p：对，不等式恒成立；命题q：对，不等式恒成立． 若命题p为真命题，求实数m的取值范围； 若为假，为真，求实数m的取值范围． ‎ 1. 已知在四棱锥中，底面ABCD是矩形，且，，平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点． Ⅰ判断并说明PA上是否存在点G，使得平面PFD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； Ⅱ若PB与平面ABCD所成的角为，求二面角的平面角的余弦值．‎ ‎ ‎ 2. 如图，平面平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，，，． Ⅰ求证：平面BAF； Ⅱ若二面角的平面角的余弦值为，求AB的长． ‎ ‎ ‎ 3. 在平面直角坐标系中，点，，动点P满足． 求动点P的轨迹E的方程； 若直线l：和轨迹E交于M，N两点，且点B在以MN为直径的圆内，求k的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，命题p：“，有成立”，则命题为：，有成立． 故选：B． 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查． 2.【答案】B ‎ ‎【解析】【解答】 解：当直线l不存在斜率时，， 当直线存在斜率时，设斜率为k，则 直线l的方程为， 即， 圆心到直线的距离． ． ，当且仅当等号成立，即，． 面积的最大值是2． 故选B． 【分析】 讨论l斜率不存在和存在的情况，当斜率存在时，设出方程求出圆心到直线的距离d，利用基本不等式求出，即可得出结论． 本题考查直线与圆的位置关系，以及基本不等式的应用，属于中档题． 3.【答案】A ‎ ‎【解析】解：若命题为真命题时，不等式变为：， 设函数，，单调增， 解得：，即或． 所以命题为假命题时的实数x的取值范围是：． 故选：A． 先求真命题时的x的范围，再求它的补集，将不等式转化成关于a的函数，通过单调性端点值的函数值都大于零即可． 考查不等式转化函数，再用函数的主参换位的单调性来求x的取值范围．属于中难题． 4.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，涉及的知识有：点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题． 由垂径定理，根据弦长的一半及圆心到直线的距离求出圆的半径，即可写出圆的标准方程． 【解答】 解：圆心到直线的距离，弦长为， 圆的半径， 则圆的方程为． 故选A． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由三视图可知此几何体是一个简单的组合体：上面一个半径为1球，下面一个底面边长为2高为3正四棱柱 球的表面积为，正三棱柱的表面积为 原几何体的表面积为 故选B 首先由三视图还原成原来的几何体，再根据边长关系求表面积 本题考查由三视图求几何体的表面积，须能由三视图还原成原几何体并能找准长度关系，须有较强的空间立体感．属简单题 6.【答案】A ‎ ‎【解析】解：连结，BD，因为几何体是正方体，底面ABCD是正方形，所以，又， 平面，平面，，，，平面C. 故选A． 连结，BD，证明平面，通过证明，，，推出结果． 本小题主要考查空间线面垂直关系，化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解：当时，函数，图象过定点，命题p正确； 当的图象关于点对称时，的图象向左平移3个单位，得到的图象，的图象关于原点对称，命题q错误； 真q为假； 故选：C． 判定命题p、q的真假，利用函数的性质进行判断即可． 本题通过判定命题的真假，考查了函数的性质与应用问题，是基础题． 8.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及二次函数的性质，是一道基础题． 分别求出关于p，q成立的a的范围，根据集合的包含关系判断即可． 【解答】 解：由，解得：， 故命题p：； 若，， 则，解得：， 或时，恒成立， 故q：； 故命题p是命题q 的充分不必要条件， 故选：A． 9.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查直线和圆的位置关系及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a的值是解决本题的关键． 根据直线与圆相交的弦长公式，求出a的值，结合两圆的位置关系进行判断即可． 【解答】 解：圆的标准方程为M：， 则圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 圆M：截直线所得线段的长度是， ， 即，即，， 则圆心为，半径， 圆N：的圆心为，半径， 则， ，， ， 即两个圆相交． 故选B． 10.【答案】C ‎ ‎【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 圆心为，半径为1． 圆心，且圆C与x轴相切， ， 则， 要使的取得最大值，则只需a最大即可， 由图象可知当圆心C位于B点时，a取值最大， 由，解得，即， 当，时，，即最大值为37， 故选：C． 画出不等式组对应的平面区域，利用圆C与x轴相切，得到为定值，此时利用数形结合确定a的取值即可得到结果． 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 11.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 由题意可知：为直角三角形，根据三棱锥的体积公式，即可求得D到平面ABC的最大距离为3，利用勾股定理即可求得球O半径，求得球O的表面积． 本题考查球的表面积及体积公式，考查勾股定理的应用，属于基础题． 【解答】 解：设的外接圆的半径为r ‎， ，，，， ， 三棱锥的体积的最大值为1， 到平面ABC的最大距离为3， 球的半径为R，则，， 球O的表面积为． 故选：D． 12.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查异面直线所成角的求法，考查余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 由题意画出图形，连接，可得为异面直线与所成角，然后解直角三角形及余弦定理求得答案． 【解答】 解：如图， 由二面角的大小为，可知， ， 又与平面ABCD所成角的大小为， ，． 连接，， 设，则，． ，， 在中，由余弦定理可得： ． 异面直线与所成角的余弦值是． 故选：B． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：命题“，”的否定是“，”；满足命题的否定形式，所以正确； 若，则的逆命题为：，则，显然不正确，所以不正确； 命题“若，则”的否命题为：“若，则”；所以不正确； 故答案为：． 利用命题的否定判断的正误；写出命题的逆命题，然后判断真假即可．写出命题的否命题，推出正误即可． 本题考查命题的真假的判断应用，考查转化思想以及计算能力． 14.【答案】1 ‎ ‎【解析】解：由，得， 即， ． 当且仅当，即时，取得最小值，为1． 故答案为：1． 由已知可得，再由，展开多项式乘多项式，再由基本不等式求最值． 本题考查基本不等式的性质以及应用，考查数学转化思想方法，是中档题． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：三棱柱的所有棱长均为1，且底面ABC， ， 点A到平面的距离， 三棱锥 的体积： ． 故答案为：． 由已知得，点A到平面的距离，由此能求出三棱锥 的体积． 本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：解：如图：，，，满足 ，又，， 平面ABC， ，， ， 平面DAB， 是三棱锥的外接球的直径， ，， ， 三棱锥的外接球的表面积为． 故答案为：， 根据勾股定理可判断，，从而可得三棱锥的各个面都为直角三角形，求出三棱锥的外接球的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积． 本题考查了三棱锥的外接球的表面积，关键是根据线段的数量关系判断CD是三棱锥的外接球的直径． 17.【答案】解：设圆C：，圆心为，直线l过点， 故直线PC的方程为，即 直线l的方程为，则 由得 由得 故 Ⅲ假设存在直线垂直平分于弦AB，此时直线过，， 则，故AB的斜率， 由可知，不满足条件． 所以，不存在存在直线垂直于弦AB． ‎ ‎【解析】 求出圆的圆心坐标，利用截距式方程求直线PC的方程； 联立直线与圆的方程，通过判别式求解k的范围即可； Ⅲ求出直线的斜率，利用垂直关系，判断是否存在直线方程． 本题考查直线与圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力． 18.‎ ‎【答案】解：由题设知：， 在上递减，在上递增， ， 又在上递减， ， 有，m的范围为； 由题设知， 有，即， 的范围为． ‎ ‎【解析】问题转化为，分别求出函数的最小值和最大值，得到关于m的不等式，解出即可； 问题转化为，分别求出函数的最小值和最大值，得到关于m的不等式，解出即可． 本题考查了求函数的最值问题，考查转化思想，是一道中档题． 19.【答案】解：对，不等式， 则， 即， 即，解得， 则实数m的取值范围是． 若，不等式恒成立， 即，即恒成立， 当，函数为增函数， ， 则，即q：， 若为假，为真， 则p，q中一个为真命题，一个为假命题， 若p真q假，则，无解， 若p假q真，则，得， 综上，即实数m的取值范围是． ‎ ‎【解析】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据不等式恒成立求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键． 根据不等式恒成立，转化为最值问题进行求解即可 根据复合命题真假关系判断命题p，q一个为真命题，一个为假命题，然后进行求解即可． 20.【答案】解：Ⅰ假设在PA上存在点G，使得平面 PFD，建立如图所示的空间直角坐标系，设，． 1，，2，，0，，0，，0， ， ， ． 设平面PFD的一个法向量． ‎ ‎，令，则，， ． ， ． ． PA上存在点G，使得平面PFD． Ⅱ为直线PB与平面ABCD所成的角， 所以： 由Ⅰ得：平面PDF的法向量为： 由于： 所以：二面角的平面角的余弦值． ‎ ‎【解析】Ⅰ首先假设点的存在，建立空间直角坐标系利用法向量建立向量间的关系． Ⅱ利用线面的夹角，和法向量，求出夹角的余弦值． 本题考查的知识要点：存在性问题的应用，二面角的应用．法向量的应用，空间直角坐标系的建立，属于基础题型． 21.【答案】Ⅰ证明：平面平面ADEF，且ABCD为矩形， 平面ADEF， 又平面ADEF，， 又且， 平面BAF； Ⅱ解：设． 以F为原点，AF，FE所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系． 则0，，0，，，，0，， ，0，． 平面ABF，平面ABF的法向量可取1，． 设y，为平面BFD的法向量， 则，取，可得1， ，得， ． ‎ ‎【解析】Ⅰ由平面平面ADEF，且ABCD为矩形，可得平面ADEF，得到，又，由线面垂直的判定可得平面BAF； Ⅱ设以F为原点，AF，FE所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系可得平面ABF的法向量可取1，再求出平面BFD的法向量1，结合二面角的平面角的余弦值为求AB的长． 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解线面角，是中档题． 22.【答案】解：设，动点P满足． ， 化为： 则 ， 设，， ，满足， 故k的取值范围是． ‎ ‎【解析】设，根据动点P 满足可得，化简即可得出． ，设，，，把根与系数的关系代入即可得出． 本题考查了圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、数量积运算性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． ‎