2019学年高二数学下学期期末考试试题 理新版 -新人教版

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1 2019 学年度下学期六校协作体高二期末考试试题 数 学（理） 试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，时间为 120 分钟，满分 150 分。 第 I 卷（60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1．复数 的共轭复数是 （ ） A. B. C. D. 2．在 2018 年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩 X～ N(85,9)，若已知 ，则从哈尔滨市高中教师中任选一位教师，他的培训 成绩大于 90 的概率为 （ ） A.0.85 B.0.65 C. 0.35 D. 0.15 3．用数学归纳法证明“ ”，则当 时，应当在 时对应的等式的左边加上 （ ） A. B. C. D. 4．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互独立，设 为 该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数， 则 （ ） A. 0.7 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.3 5．设 ，则 间的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 6．由①安梦怡是高二(1)班的学生，②安梦怡是独生子女，③高二(1)班的学生都是独生子 女，写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为 (　 　) A. ②①③ B. ③①② C. ①②③ D. ②③① 7．已知函数 ，则 ( ) A. B. e C. D. 1 8. 某班准备从甲、乙、丙等 6 人中选出 4 人参加某项活动，要求甲、乙、丙三人中至少有 两人参加，那么不同的方法有 （ ） 2 1i − 1i − 1i + 1 i− − 1 i− ( ) 35.08580 =≤< XP ∗∈+=++++ Nnnnn ,2321 35 3  1+= kn kn = 13 +k ( ) ( )333 12)1( ++++++ kkk  ( )31+k ( ) ( ) 2 11 36 +++ kk P X ( ) ( ) ( ),64,1.2 =<== XPXPXD =P 26,37,2 −=−== cba , ,a b c a b c> > b a c> > b c a> > a c b> > ( ) ( ) xefxxf ln2 +′= ( ) =ef e− 1− 2 A. 18 种 B. 12 种 C. 432 种 D. 288 种 9．世界杯组委会预测 2018 俄罗斯世界杯中,巴西队获得名次可用随机变量 表示， 的概 率分布规律为 ，其中 为常数，则 的值为 （ ） A. B. C. D. 10．从装有形状大小相同的 3 个黑球和 2 个白球的盒子中依次不放回地任意抽取 3 次，若第 二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于 （ ） A. B. C. D. 11.“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元 1050 年首先使用“贾宪三角”进 行高次开方运算，而杨辉在公元 1261 年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角 形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由 若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行 仅 有 一 个 数 ， 则 这 个 数 是 （ ） 2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1 4033 4031 4029…………11 9 7 5 3 8064 8060………………20 16 12 8 16124……………………36 28 20 ……………………… A. B. C. D. 12．已知函数 ，若关于 的方程 有 5 个不同 的实数解，则实数 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（90 分） 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。 13．已知复数 z 满足（1+2i）z=3+4i，则 等于 . m X X ( ) ( ) ( )4,3,2,1,1 =+== nnn anXP a a 3 2 5 4 4 5 6 5 5 1 4 1 3 1 2 1 20162017 2× 20152018 2× 20152017 2× 20162018 2× ( )    ≥ <− = 1,ln 1,12 xx x xx xf x ( )[ ] ( ) ( ) 02-12 2 =−+ mxfmxf   3 11- ， ( )∞+，0      e 10，      e 11- ， 3 14．从一批含有 13 只正品,2 只次品的产品中,不放回地抽取 3 次,每次抽一只,设抽取次品 数为 ,则 =____________. 15．《中国诗词大会》节目组决定把《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》 和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在 《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六 场开场诗词的排法有 种.（用数字作答） 16．已知函数 在点 处的切线为 ，则直线 、曲线 以 及 轴所围成的区域的面积为__________． 三、解答题:本大题共 6 小题，满分 70 分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22,23 题为选考题，考生根据要求作 答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（满分 12 分）已知 的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比 是 10∶1. (1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含 的项． 18．（满分 12 分）已知函数 ． （1）求 的单调区间和极值； （2）若直线 是函数 图象的一条切线，求 的值． 19．（满分 12 分）高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出 中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取 100 名进行调查， 得到如下数据： 每周移动支付次数 1 次 2 次 3 次 4 次 5 次 6 次及以上 男 10 8 7 3 2 15 女 5 4 6 4 6 30 ξ ( )15 +ξE ( ) 21 2sinf x x= − ,4 4f π π        l l ( )f x y n x x      − 2 2 ( )∗∈ Nn 2 3 x ( ) ( )( )221 2 −−= xxxf ( )xf bxy += 4 ( )xfy = b 4 合计 15 12 13 7 8 45 （1）把每周使用移动支付 6 次及 6 次以上的用户称为“移动支付达人”，按分层抽样的方法， 在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取 6 名用户 ① 求抽取的 6 名用户中，男女用户各多少人； ② 从这 6 名用户中抽取 2 人，求既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率. （2）把每周使用移动支付超过 3 次的用户称为“移动支付活跃用户”，填写下表，问能否在 犯错误概率不超过 0.01 的前提下，认为“移动支付活跃用户”与性别有关？ P(χ2≥k ) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 非移动支付活跃用户 移动支付活跃用户 合计 男 女 合计 20．（满分 12 分）新能源汽车的春天来了！2018 年 3 月 5 日上午，李克强总理做政府工作 报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自 2018 年 1 月 1 日至 2020 年 12 月 31 日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税.某人计划于 2018 年 5 月购买一辆某品 牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如下表： 月份 2017.12 2018.01 2018.02 2018.03 2018.04 月份编号 t 1 2 3 4 5 销量（万辆） 0.5 0.6 1 1.4 1.7 （1）经分析，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量 （万辆）与月份编 号 之间的相关关系.请用最小二乘法求 关于 的线性回归方程 ，并预测 2018 年 5 月份当地该品牌新能源汽车的销量； y t y t atby ˆˆˆ += 附： ( ) ( )( )( )( )dbdadcba bcadn ++++ −= 2 2χ 5 （2）2018 年 6 月 12 日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程（新能源 汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里 程）对购车补贴进行新一轮调整.已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大，某调研 机构对其中的 200 名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一 份频数表： 补贴金额预期值 区间（万元） 20 60 60 30 20 10 将频率视为概率，现用随机抽样方法从该地区拟购买新能源汽车的所有消费者中随机抽取 3 人，记被抽取 3 人中对补贴金额的心理预期值不低于 3 万元的人数为 ，求 的分布列及数 学期望 . 参考公式及数据：①回归方程 ，其中 ， ，② ，. 21. （满分 12 分）已知函数 . （1）已知函数 只有一个零点，求 的取值范围； （2）若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的 第一题计分。 22．在平面直角坐标系 中,已知倾斜角为 的直线 经过点 .以坐标原点 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 [ )2,1 [ )3,2 [ )4,3 [ )5,4 [ )6,5 [ )7,6 ξ ξ ( )ξE axby ˆˆˆ += ( )( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = − − = − −− = n i i n i ii n i i i n i i xnx yxnyx xx yyxx b 1 22 1 1 2 1ˆ xbya ˆˆ −= 8.18 5 1 =∑ =i ii yt ( ) ( ) Raxaxxf ∈−+= ,1ln ( )xf a ( )+∞∈ ,00x ( ) 220 −≥ axf a xoy α l ( )1,2−A O x C 3 sin21 θρ ρ += 6 （1） 写出曲线 的普通方程; （2） 若直线 与曲线 有两个不同的交点 ,求 的取值范围. 23．已知 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 时不等式 成立，求 的取值范围. C l C NM , ANAM + ( ) 11 −−+= axxxf 1=a ( ) 1>xf ( )1,0∈x ( ) xxf > a 7 2017－2018 学年度下学期六校协作体高二期末考试试题 数学（理）答案 一、ADBADB CBCDBC 二、13、 14、 3 15、36 16、 三 、 17 、 由 题 意 知 ， 第 五 项 系 数 为 ， 第 三 项 的 系 数 为 ， 则 有 ， 化 简 得 n2 － 5n － 24 ＝ 0 ， 解 得 n ＝ 8 或 n ＝ － 3( 舍 去)． ……6 分 (1) 令 x＝1 得各项系数的和为(1－2)8＝1. ……8 分 (2) 通项公式 Tr＋1＝ ，令 ，得 r＝1， 故展开式中含 的项为 T2＝ . ……12 分 18、（1）因为 令 =0，得 ，解得 = 或 =1． 1 - 0 + 0 - ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ， 极小值为 ，极大值为 ． ……6 分 （2）因为 ， 直线 是 的切线，设切点为 ， 则 ，解得 ， 当 时， ，代入直线方程得 ， 5 2 1 16 2 π − ( )44 2−nC ( )22 2−nC ( ) ( ) 1 10 2 2 22 44 = − − n n C C ( ) ( ) rr rr r rr xC x xC 2 2 8 82 8 8 22 −−− −=    − 2 322 8 =−− rr 2 3 x 2 3 16x− ( )xf ′ 426 2 ++−= xx ( )xf ′ 0426 2 =++− xx x 3 2− x x      −∞− 3 2, 3 2−     − 1,3 2 ( )+∞,1 ( )xf ′ ( )xf ( )xf     − 1,3 2      −∞− 3 2, ( )+∞,1 27 98 3 2 −=    −f ( ) 11 =f ( )xf ′ 426 2 ++−= xx bxy += 4 ( )xf ( )( )00 , xfx ( ) 4426 0 2 00 =++−=′ xxxf 3 10 00 == xx 或 00 =x ( ) 20 −=xf 2−=b 8 当 时， ，代入直线方程得 ． 所以 或 . .……12 分 19、（1）①男 2 人，女 4 人； .……2 分 ② . .……6 分 （2）由表格数据可得 列联表如下： 非移动支付活跃用户 移动支付活跃用户 合计 男 25 20 45 女 15 40 55 合计 40 60 100 将列联表中的数据代入公式计算得： ， 所以在犯错误概率不超过 0.01 的前提下，能认为“移动支付活跃用户”与性别有 关. ..……12 分 20、（1）易知 ， ， ， ， 则 关于 的线性回归方程为 ， …5 分 当 时， ，即 2018 年 5 月份当地该品牌新能源汽车的销量约为 2 万辆. …6 分 （2）根据给定的频数表可知，任意抽取 1 名拟购买新能源汽车的消费者，对补贴金额的心 3 1 0 =x ( ) 27 17 0 −=xf 27 53−=b 2−=b 27 53−=b 15 8 15 711 2 6 2 2 2 4 =−=+−= C CCP 22 × ( ) 635.6249.845556040 20154025100 2 2 >≈××× ×−×=χ 35 54321 =++++=t 04.15 7.14.116.05.0 =++++=y 5554321 22222 5 1 2 =++++=∑ =i it 32.0 3555 04.1358.18ˆ 2 = ×− ××−=b 08.0332.004.1ˆ =×−=a y t 08.032.0ˆ += ty 6=t 00.2ˆ =y 9 理预期值不低于 3 万元的概率为 ，由题意可知 ～ ， 的所有可能取值为 0,1,2,3 的分布列为： ， ， 0 1 2 3 所以 ..……12 分 21、（1） ，定义域为 ① 若 则 ， 在 上为增函数 因为 ，有一个零点，所以 符合题意； ② 若 令 ，得 ，此时 单调递增， 单调递减 的极大值为 ，因为 只有一个零点，所以 ， 即 ，所以 综上所述 或 . ..……6 分 （2）因为 ，使得 ，所以 令 ，即 ，因为 设 ， ，所以 在 单调递减，又 故函数 在 单调递增， 单调递减， 的最大值为 ， 故答案为： . ..……12 分 22、（1）由 得 ，曲线 的普通方程为 5 3 200 120 = ξ      5 3,3B ξ ξ ( ) 125 8 5 2 5 30 30 0 3 =        == CP ξ ( ) 125 36 5 2 5 31 21 1 3 =        == CP ξ ( ) 125 54 5 2 5 32 12 2 3 =        == CP ξ ( ) 125 27 5 2 5 33 03 3 3 =        == CP ξ ξ P 125 8 125 36 125 54 125 27 ( ) 5 9=ξE ( ) axxf −=′ 1 ( )+∞,0 0≤a ( ) 0>′ xf ( )xf ( )+∞,0 ( ) 01 =f 0≤a 0>a ( ) 0=′ xf ax 1=      a 1,0      +∞,1 a ( )xf      af 1 ( )xf 01 =     af 0111ln =     −+ aaa 1=a 1=a 0≤a ( )+∞∈∃ ,00x ( ) 220 −≥ axf 0 0 1 ln2 x xa + +≤ ( ) ( )01 ln2 >+ += xx xxg ( )最大值xga ≤ ( ) ( )21 1ln1 x xxxg + −− = ( ) 1ln1 −−= xxxh ( ) 011 2 <−−=′ xx xh ( )xh ( )∞+，0 ( ) 01 =h ( )xg ( )1,0 ( )+∞,1 ( )xg ( )1g ( ) 11 =≤ ga ( ]1,∞− 3 sin21 θρ ρ += 3sin22 =+ θρρ C 03222 =−++ yyx 10 …5 分 （2）将 的参数方程 代入 的方程 整理得 因为直线 与曲线 有两个不同的交点.所以 ,化简得 又 ，所以 ，且 设方程的两根为 ，则 所以 所以 由 ，得 .所以 ，从而 即 的取值范围是 . ..……10 分 23、（1）当 时， ，即 ， 故不等式 的解集为 ． ..……5 分 （2）当 时 成立，等价于当 时 成立． 若 ，则当 时 ，不合题意舍去； 若 ， 的解集为 ，所以 ，故 ． 综上， 的取值范围为 . ..……10 分 l    += +−= α α sin1 cos2 ty tx C 03222 =−++ yyx ( ) 04sincos42 =+−− tt αα l C 0>∆ 0sincos <αα πα <≤0 παπ << 2 0sin,0cos >< αα 21 ,tt ( ) 04,0sincos4 2121 >=<−=+ tttt αα 0,0 21 << tt ( ) ( )      −=−=+−=+ 4sin24cossin421 παααttANAM παπ << 2 4 3 44 ππαπ <−< 14sin2 2 ≤     −< πα 244sin244 ≤     −< πα ANAM + ( ]24,4 1=a ( ) 11 −−+= xxxf ( )    ≥ <<− ≤− = 1,2 11,2 1,2 x xx x xf ( ) 1>xf       > 2 1xx ( )1,0∈x xaxx >−−+ 11 ( )1,0∈x 11 <−ax 0≤a ( )1,0∈x 11 ≥−ax 0>a 11 <−ax       << axx 20 12 ≥ a 20 ≤< a a ( ]2,0