数学理卷·2018届福建省闽侯第六中学高三上学期期末考试（2018

数学理卷·2018届福建省闽侯第六中学高三上学期期末考试（2018

福建省闽侯第六中学2018届高三上学期期末 数学考试试题 理 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知复数满足,则对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.下列有关命题的说法中错误的是（ ）‎ A．命题：“若是幂函数，则的图象不经过第四象限”的否命题是假命题 ‎ B．设 ，则是“”的充要条件 ‎ C．命题“且” 的否定形式是“且”‎ D.若为假命题，则均为假命题 ‎ ‎4.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题：‎ ‎①如果，那么 ②如果，那么 ‎③如果那么 ④如果，那么 其中正确的命题是( )‎ A．①② B．①③ C.①④ D．③④‎ ‎6.已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为（ ）‎ A．1 B． C.2 D．‎ ‎7.已知函数，定义域数，则是（ ）‎ A．奇函数 B．偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 ‎8.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的一个单调递减区间是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.函数的图象可能是（ ）‎ ‎ ‎ A．（1）（3） B．（1）（2）（4） C.（2）（3）（4） ‎ ‎ D．（1）（2）（3）（4）‎ ‎10.在菱形中，,将折起到的位置，若三棱锥的外接球的体积为,则二面角的正弦值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.若锐角满足，则函数的单调增区间为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.设，若对任意的正实数，都存在以为三边长的三角形，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．以上均不正确 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知平面向量，且，则 ．‎ ‎14.已知，则的展开式中的系数为 ．‎ ‎15.若不等式组所表示的平面区域存在点，使成立，则实数的取值范围是 ．‎ ‎16.在中，角所对的边分别为，且满足，，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 中，角角的对边分别为，且 ‎(I)求角的大小；‎ ‎(II)若为边上的中线，，,求的面积 ‎18. 为增强市民的节能环保意识，汕头市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是：‎ ‎，‎ ‎(1)求图中的值，并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在岁的人数；‎ ‎(2)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 10 名参加人民广场的宣传活动，再从这 10 名志愿者中选取 3 名担任主要负责人．记这 3 名志愿者中“年龄低于 35 岁”的人数为 ，求的分布列及数学期望.‎ ‎19.已知四棱锥中，平面平面，且，‎ 是等边三角形， .‎ ‎(1)证明：平面；‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎20. 已知动圆过定点,且在轴上截得线段的长为 4，直线交轴于点.‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎(2)直线与轨迹交于两点，分别以为切点作轨迹的切线交于点，‎ 若.试判断实数所满足的条件，并说明理由.‎ ‎21. 已知函数有两个零点.‎ ‎(1)求的取值范围；‎ ‎(2)是否存在实数， 对于符合题意的任意，当 时均有?‎ 若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，已知圆的圆心坐标为，半径为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的参数方程为：（为参数）‎ ‎(1)求圆和直线的极坐标方程；‎ ‎(2)点 的极坐标为，直线与圆相较于,求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎(I)当时，求函数的最大值；‎ ‎(II)若存在，使得，求实数的取值范围．‎ 高三理科数学期末考试试题参考答案 一、选择题 ‎1-5:BDCBC 6-10: DACCC 11、12：BA 二、填空题 ‎13.5 14.1 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：(1)，‎ 由正弦定理，得，‎ ‎∴‎ 因为,所以，所以，‎ 因为,所以.‎ ‎(2)法一：在三角形中，由余弦定理得 所以 (1)‎ 在三角形中，由正弦定理得，‎ 由已知得 所以，‎ 所以 (2)‎ 由(1),(2)解得 所以 法二：延长到，，连接，‎ 中，,‎ 因为，‎ ‎ (1)‎ 由已知得，,所以，‎ ‎ (2)‎ 由(1)(2)解得，‎ ‎18.解：(I)∵小矩形得面积等于频率，∴除外得频率和为0.70，∴‎ ‎500名志愿者中，年龄在岁的人数为（人）‎ ‎(II)用分层抽样的方法，从中选取 10 名，则其中年龄“低于 35 岁”的人有 6 名，“年龄不低于35 岁”的人有 4 名，故的可能取值为 0，1，2，3.‎ ‎,,‎ ‎,.‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以.‎ ‎19.解:(1)在中，,所以,‎ 又是等边三角形，所以,所以,即,‎ 又因为平面平面，平面 平面，所以平面，故.在中，.‎ 所以.‎ 又因为 ,所以平面.‎ ‎(2)解法一：如图，取的中点，连接.则在等腰中，.又因为平面平面,平面 平面，所以平面.过点作的平行线，则平面.‎ 由(1)知,故以为坐标原点，以直线分别作为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.设,则在中，,.‎ 又在中，,‎ 所以，故.‎ 又因为是等边三角形，所以.‎ 所以,,,，即.‎ 所以,,.‎ 设平面的法向量为，则由，‎ 得.‎ 令，得.故为平面的一个法向量.‎ 因为平面，故为平面 的一个法向量.‎ 故 ‎.‎ 设二面角为，则由图可知,‎ 所以.‎ 解法二：取的中点，连接，连接并延长，交于，连接.则在等腰中，.‎ 又因为平面平面，平面平面,‎ 所以平面.‎ 设,则在中，.‎ 又在中，，‎ 所以 ‎，故.‎ 中，，所以，且.‎ 故,又,且,‎ 所以,故.‎ 又因为平面，由三垂线定理可得,‎ 所以为二面角的平面角.‎ 在中，,所以.‎ 故.所以在中，,‎ 故 ‎∴二面角的余弦值为.‎ ‎20.解：(1)设动圆圆心的坐标为，半径，，‎ ‎∵动圆过定点，且在轴上截得线段的长为4，‎ ‎∴，消去得，‎ 故所求轨迹的方程为 ；‎ ‎(2)实数是定值，且，下面说明理由，‎ 不妨设，‎ ‎，由题知，‎ 由，消去得，‎ ‎∴，轨迹在点处的切线方程为，即，‎ 同理，轨迹在处的切线方程为，‎ 联立：的方程解得交点坐标，即，‎ 由,‎ 得,即,‎ ‎，，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 则，‎ 则，故实数是定值，且.‎ ‎21.【解答】解：(1)，‎ 当时，对恒成立，与题意不符，‎ 当，，‎ ‎∴时，‎ 即函数在单调递增，在单调递减，‎ ‎∵和时均有，‎ ‎∴，解得：，‎ 综上可知：的取值范围；‎ ‎(2)由(1)可知，‎ 由的任意性及知，，且，‎ ‎∴，‎ 故，‎ 又∵，令，则，且恒成立，‎ 令，而，‎ ‎∴时，时，‎ ‎∴，令，‎ 若，则时，，即函数在单调递减，‎ ‎∴，与不符；‎ 若，则时，，即函数在单调递减，‎ ‎∴，与式不符；‎ 若，解得，此时恒成立，，‎ 即函数在单调递增，又，‎ ‎∴时，；时，符合式，‎ 综上，存在唯一实数符合题意.‎ ‎22.解：圆的直角坐标方程为 代入圆得：‎ 化简得圆的极坐标方程：‎ 由得 ∴的极坐标方程为 ‎(2)由得点的直角坐标为 ‎∴直线的参数的标准方程可写成（为参数）‎ 代入圆得：‎ 化简得：‎ ‎ ∴‎ ‎∴‎ ‎23.解：(I)当时，‎ ‎∴函数在上是增函数，在上是减函数，‎ 所以.‎ ‎(II) ，即，‎ 令，则存在，使得成立，‎ ‎∴， 由(I)知最大值为2‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，原不等式为，解得，‎ 当时，原不等式为，解得，‎ 综上所述，实数的取值范围是. ‎