四川省成都石室中学2018-2019学年高二10月月考数学(理)试题+Word版含答案

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四川省成都石室中学2018-2019学年高二10月月考数学(理)试题+Word版含答案

‎19(12分)‎ 成都石室中学2018~2019学年度上期高2020届10月月考 理科数学试卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.设椭圆的左焦点为,直线与椭圆交于两点,则的值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.下列函数中,与函数的单调性和奇偶性一致的函数是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.当曲线与直线有两个相异的交点时,实数的取值范围是 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知椭圆的离心率为,直线与椭圆交于两点,且线段的中点为,则直线的斜率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.如图所示,在正三棱柱中,是的中点,,‎ 则异面直线与所成的角为(   )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.数学家欧拉在1765年发现,任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线称为欧拉线.‎ 已知的顶点,若其欧拉线的方程为,则顶点的坐标为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上,且,若该三棱锥体积的最大值为,则这个球的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.平行四边形内接于椭圆,直线的斜率,则直线的斜率( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知双曲线: ,点为的左焦点,点为上位于第一象限内的点,关于原点的对称点为,,,则的离心率为(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知椭圆和双曲线有共同焦点,是它们的一个交点,,记椭圆和双曲线的离心率分别,则的最小值是( )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎13.等比数列中,为其前项和,若,则实数的值为________.‎ ‎14.设分别是双曲线的左、右焦点,点,若,则双曲线的渐近线方程为_________.‎ ‎15.在平面直角坐标系中,点为圆上的一动点,直线与直线相交于点.则当实数变化时,线段长的最大值是________.‎ ‎16.已知是椭圆:的右焦点,是椭圆上一点,,当周长最大时,该三角形的面积为________.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 已知公差不为的等差数列的前三项和为,且成等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,求数列的前项和. ‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 已知曲线上的动点满足到定点的距离与到定点距离之比为.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的方程;‎ ‎(Ⅱ)过点的直线与曲线交于两点,若,求直线的方程.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ A C B B1‎ C1‎ A1‎ D 如图,在三棱柱中,底面为正三角形,侧棱底面.已知是的中点,.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)求证:∥平面;‎ ‎(Ⅲ)求三棱锥的体积.‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 如图,在中,,,.是内一点,且.‎ ‎(Ⅰ)若,求线段的长度;‎ ‎(Ⅱ)若,求的面积.‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 直角坐标系中,椭圆:的焦距为,过点 .‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)已知点,不经过原点的直线与椭圆相交于两点,线段被直线平分,且.求直线的方程.‎ ‎22. (本小题满分12分)‎ 如图,在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与.当直线的斜率为时,.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)求的取值范围.‎ 高二数学理科 ‎1.已知集合 ( B )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为( D )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.设椭圆的左焦点为,直线与椭圆交于两点,则的值是( C )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.下列函数中,与函数的单调性和奇偶性一致的函数是( D )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.当曲线与直线有两个相异的交点时,实数的取值范围是 ( C )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知椭圆的离心率为,直线与椭圆交于两点,且线段的中点为,则直线的斜率为( C )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.如图所示,在正三棱柱中,是的中点,,则异面直线与所成的角为( C )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.数学家欧拉在1765年提出,任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点,若其欧拉线的方程为,则顶点的坐标为(A )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上,且,若该三棱锥体积的最大值为,则这个球的表面积为( D )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.平行四边形内接于椭圆,直线的斜率,则直线的斜率( B )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知双曲线: ,点为的左焦点,点为上位于第一象限内的点,关于原点的对称点为,且满足,若为双曲线的中心,,则的离心率为( B )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知椭圆和双曲线有共同焦点,是它们的一个交点,,记椭圆和双曲线的离心率分别,则的最小值是(A )‎ A. B. C. D. ‎ ‎13.等比数列中,为其前项和,若,则实数的值为 ‎ ‎14.设分别是双曲线的左右焦点,点,若,则双曲线的渐近线方程为_________.‎ ‎15.在平面直角坐标系中,点为圆上的一动点,直线与直线相交于点.则当实数变化时,线段长的最大值是 . ‎ ‎16.已知是椭圆:的右焦点,是椭圆上一点,,当周长最大时,该三角形的面积为__________________.‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 已知公差不为的等差数列的前三项和为,且成等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,求数列的前项和. ‎ 解:(Ⅰ)设等差数列的首项为,公差为.依题意有 即 由,解得 所以. ………………………6分 ‎(Ⅱ)所以.‎ 因为,……………8分 ‎ 所以数列是以4为首项,4为公比的等比数列.‎ ‎ 所以. ………………10分 ‎18. (本小题满分12分)‎ 已知曲线上的动点满足到定点的距离与到定点距离之比为.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的方程;‎ ‎(Ⅱ)过点的直线与曲线交于两点,若,求直线的方程.‎ 解:(Ⅰ)由题意得 ……2分 故 ……3分 ‎ 化简得:(或)即为所求. ……5分 ‎(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,直线的方程为,‎ ‎ 将代入方程得,‎ ‎ 所以,满足题意。 ……8分 当直线的斜率存在时,设直线的方程为 由圆心到直线的距离 ……10分 解得,此时直线的方程为 综上所述,满足题意的直线的方程为:或. ……12分 ‎19. (本小题满分12分)‎ A C B B1‎ C1‎ A1‎ D 如图,在三棱柱中,底面为正三角形,侧棱底面.已知是的中点,.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)求证:∥平面;‎ ‎(Ⅲ)求三棱锥的体积.‎ ‎(Ⅰ)证明:由已知为正三角形,且是的中点,‎ 所以.‎ ‎ 因为侧棱底面,,‎ 所以底面.‎ ‎ 又因为底面,所以.‎ A C B B1‎ C1‎ A1‎ D E ‎ 而,‎ 所以平面.‎ 因为平面,所以平面平面.……………………4分 ‎(Ⅱ)证明:连接,设,连接.‎ 由已知得,四边形为正方形,则为的中点.‎ 因为是的中点,‎ 所以.‎ 又因为平面,‎ 平面,‎ 所以∥平面. ……………………8分 ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)可知∥平面,‎ 所以与到平面的距离相等,‎ 所以.‎ 由题设及,得,且.‎ 所以,‎ 所以三棱锥的体积为. ………………………12分 ‎20. (本小题满分12分)‎ 如图,在中,,,.是内一点,且.‎ ‎(Ⅰ)若,求线段的长度;‎ ‎(Ⅱ)若,求的面积.‎ 解:(Ⅰ)因为 ,‎ 所以在 中, , , ,‎ 所以 .‎ 在 中, , , ,‎ 由余弦定理得 ,‎ 所以 .…………4分 ‎(Ⅱ)设 ,则 ,‎ 在 中, , , ,‎ 所以 ,‎ 在 中, , , , ,‎ 由正弦定理得 ,…………8分 所以 ,‎ 所以 ,‎ 又 ,‎ 所以 ,‎ 所以 . …………12分 ‎21. (本小题满分12分)‎ 直角坐标系中,椭圆:的焦距为,过点 .‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)已知点,不经过原点的直线与椭圆相交于两点,线段被直线平分,且.求直线的方程.‎ 解: ‎ ‎(Ⅰ)设椭圆方程为,代入点,得,‎ 故椭圆方程为. ……………4分 ‎ ‎(Ⅱ)由条件知:,‎ 设: 代入得 ‎ ‎ ‎ ,………………6分 中点在直线上 ,‎ ‎ , ………………8分 此时,‎ ‎, ‎ ‎ ‎ 解得,满足,‎ 故所求直线方程为. ………………12分 ‎ ‎22. (本小题满分12分)‎ 如图,在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与,.当直线的斜率为时,.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)求的取值范围.‎ 解:‎ ‎(Ⅰ)由题意知,,∴‎ 当直线AB的斜率为0时, .‎ ‎ 解得得.‎ ‎∴椭圆的方程为.……………………4分 ‎(Ⅱ)①当两条弦中一条斜率为0时,另一条弦的斜率不存在,由题意知.……5分 ‎②当两弦斜率均存在且不为0时,由(1)知,,‎ 设直线AB的方程为,则直线CD的方程为.‎ 将直线AB的方程代入椭圆方程,整理得,………………7分 解得,.‎ ‎.……………………8分 同理,. ……………………9分 ‎.‎ 令,则,.‎ 设 ‎.‎ 综合①与②可知,的取值范围是……………………12分
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