数学·辽宁省沈阳市皇姑区实验中学2017届高三上学期10月段考数学试卷 Word版含解析

数学·辽宁省沈阳市皇姑区实验中学2017届高三上学期10月段考数学试卷 Word版含解析

‎2016-2017学年辽宁省沈阳市皇姑区实验中学高三（上）10月段考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．若集合M={x|y=lg}，N={x|x＜1}，则 M∩∁RN=（　　）‎ A．（0，2] B．（0，2） C．[1，2） D．（0，+∞）‎ ‎2．设复数z=1+i（i是虚数单位），则复数z+的虚部是（　　）‎ A． B． i C． D． i ‎3．曲线y=x2和曲线y2=x围成的图形面积是（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎4．（1﹣x）7展开式中系数最大的项为第（　　）项．‎ A．4 B．5 C．7 D．8‎ ‎5．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（　　）‎ A．f（x）=x2 B．f（x）= C．f（x）=ex D．f（x）=sinx ‎6．对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如表：‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ 若它们的回归直线方程为=10.5x+a，则a的值为（　　）‎ A．﹣0.5万元 B．0.5万元 C．1.5万元 D．2.5万元 ‎7．已知f（x）=x3+log2（x+），则对任意实数a，b而言，命题“a+b＞0”是命题“f（a）+f（b）≥0”的（　　）条件．‎ A．充分必要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不充分也不必要 ‎8．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（0）+f（）的值为（　　）‎ A．2﹣ B．2+ C．1﹣ D．1+‎ ‎9．某篮球选手每次投篮命中的概率为，且各次投篮相互独立，设此选手投篮n次命中的概率为an（an为进球数与n之比），则事件“a6=且an≤其中n=1，2，3，4，5”发生的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．函数y=的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．若对于任意的x＞0时均有（x﹣a+2）（x2﹣ax﹣2）≥0，则实数a的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．﹣1 D．不存在 ‎12．已知函数f（x）的导函数f′（x），当x∈（0，）时，f′（x）sin2x＜f（x）（1+cos2x）成立，下列不等式一定成立的是（　　）‎ A． f（）＜f（） B． f（）＞f（） C． f（）＜f（） D．f（）＞f（）‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知+=1且m，n均为正数，当m+n取得最小值时，m•n值为　　．‎ ‎14．已知角α的正弦值与余弦值均为负值，且cos（75°+α）=，则cos+sin（α﹣105°）=　　．‎ ‎15．函数y=+2x的值域为　　．‎ ‎16．函数f（x）=，则函数的零点个数是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共5小题，共70分）‎ ‎17．命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．‎ ‎18．已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x+a的最大值为1．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，若方程g（x）=m在x∈[0，]上有解，求实数m的取值范围．‎ ‎19．某手机专卖店针对iphone7手机推出分期付款方式，该店对最近购买iphone7手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果显示如表所示：‎ 付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期 频数 ‎35‎ ‎25‎ a ‎10‎ b 已知分3期付款的频率为，请以此100人为作为样本，以此来估计消费人群总体，并解决以下问题：‎ ‎（ I）从消费人群总体中随机抽取3人，求“这3人中（每人仅购买一部手机）恰好有1人分4期付款”的概率 ‎（ II）若销售一部iphone7手机，顾客分1期付款（即全款），其利润为1000元；分2期付款或3期付款，其利润为1500元；分4期付款或5期付款，其利润为2000元，用X表示销售一部iphone7手机的利润，求X的分布列及数学期望．‎ ‎20．如图，在△ABC中，B=，BC=2，点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足，‎ ‎（1）若△BCD的面积为，求CD的长；‎ ‎（2）若ED=，求角A的大小．‎ ‎21．已知函数f（x）=ex，g（x）=ln（x+a）．‎ ‎（ I）若已知函数f（x）的图象与g（x）图象有一条通过坐标原点的公切线，求a的值；‎ ‎（ II）当a≤2时，证明：f（x）＞g（x）．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹．‎ ‎（2）若直线的极坐标方程为sinθ﹣cosθ=，求直线被曲线C截得的弦长．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x﹣a|．‎ ‎（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4的解集；‎ ‎（2）不等式f（x）＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年辽宁省沈阳市皇姑区实验中学高三（上）10月段考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．若集合M={x|y=lg}，N={x|x＜1}，则 M∩∁RN=（　　）‎ A．（0，2] B．（0，2） C．[1，2） D．（0，+∞）‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】求出M的解集，求出N的补集，根据交集的定义求出即可．‎ ‎【解答】解：∵集合M={x|y=lg}={x|x（2﹣x）＞0}=（0，2），‎ 又∴N={x|x＜1}，‎ ‎∴（CRN）=[1，+∞），‎ ‎∴M∩∁RN=[1，2），‎ 故选：C ‎　‎ ‎2．设复数z=1+i（i是虚数单位），则复数z+的虚部是（　　）‎ A． B． i C． D． i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．‎ ‎【解答】解：复数z=1+i（i是虚数单位），‎ 则复数z+=1+i+=1+i+=．‎ 复数z+的虚部是：．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．曲线y=x2和曲线y2=x围成的图形面积是（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】求曲线y=x2和曲线y2=x围成的图形面积，首先求出两曲线交点的横坐标0、1，然后求在区间[0，1]上的积分．‎ ‎【解答】解：联立得x1=0，x2=1，所以曲线y=x2和曲线y2=x围成的图形面积 S===﹣=．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．（1﹣x）7展开式中系数最大的项为第（　　）项．‎ A．4 B．5 C．7 D．8‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】写出展开式后观察特点，利用通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：Tr+1=xr（﹣1）r，0≤r≤7，系数最大时r必为偶数，通过比较知×（﹣1）4=35最大．‎ ‎∴展开式中系数最大的项为第5项．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（　　）‎ A．f（x）=x2 B．f（x）= C．f（x）=ex D．f（x）=sinx ‎【考点】选择结构．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数②f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案．‎ ‎【解答】解：∵A：f（x）=x2、C：f（x）=ex，不是奇函数，故不满足条件①‎ 又∵B：f（x）=的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②‎ 而D：f（x）=sinx既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，‎ 故D：f（x）=sinx符合输出的条件 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如表：‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ 若它们的回归直线方程为=10.5x+a，则a的值为（　　）‎ A．﹣0.5万元 B．0.5万元 C．1.5万元 D．2.5万元 ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．‎ ‎【解答】解：∵=5， =54‎ ‎∴这组数据的样本中心点是（5，54）‎ 把样本中心点代入回归直线方程=10.5x+a ‎∴54=10.5×5+a，‎ ‎∴a=1.5．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．已知f（x）=x3+log2（x+），则对任意实数a，b而言，命题“a+b＞0”是命题“f（a）+f（b）≥0”的（　　）条件．‎ A．充分必要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不充分也不必要 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据函数的单调性以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：f（x）定义域为R，f（x）+f（﹣x）=x3+（﹣x）3+log2（x+）+log2（﹣x+）=0，‎ 则f（x）为奇函数，x＞0时，根据复合函数“同增异减”原则以及函数四则运算容易看出f（x）=x3+log2（x+），单调递增，‎ 又因为奇函数，因此f（x）在R单调递增，‎ a+b＞0⇒f（a）＞f（﹣b）⇒f（a）+f（b）≥0，故：命题“a+b＞0”可以推出命题“f（a）+f（b）≥0”‎ 若a=b=0，“f（a）+f（b）≥0”成立，但并不能推出“a+b＞0”，‎ 故命题“a+b＞0”是命题“f（a）+f（b）≥0”的充分非必要条件，‎ 故选：B ‎　‎ ‎8．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（0）+f（）的值为（　　）‎ A．2﹣ B．2+ C．1﹣ D．1+‎ ‎【考点】正弦函数的图象．‎ ‎【分析】根据函数f（x）的部分图象，求出周期T与ω的值，再计算φ的值，写出f（x）的解析式，从而求出f（0）+f（）的值．‎ ‎【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象，‎ 得T=﹣（﹣）=，‎ 又T==π，∴ω=2；‎ 当x=﹣时，函数f（x）取得最小值﹣2，‎ ‎∴2×（﹣）+φ=﹣+2kπ，k∈Z，‎ 解得φ=﹣+2kπ，k∈Z，‎ 又|φ|＜，∴φ=﹣，‎ ‎∴f（x）=2sin（2x﹣）；‎ ‎∴f（0）+f（）=2sin（﹣）+2sin（2×﹣）‎ ‎=2×（﹣）+2sin ‎=2﹣．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．某篮球选手每次投篮命中的概率为，且各次投篮相互独立，设此选手投篮n次命中的概率为an（an为进球数与n之比），则事件“a6=且an≤其中n=1，2，3，4，5”发生的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】相互独立事件的概率乘法公式．‎ ‎【分析】由题意知事件“，n=1，2，3，4，5”即前6次投篮的命中率，前5次的命中率都小于等于，‎ ‎，分析可得第6次必须投中，前5次中有2次投中，且前5次投篮中可能为第2、4次，2、3次、3、4次，3、5次，4.5次投中5种看情况，有相互独立事件的概率公式结合互斥事件概率公式计算可得答案．‎ ‎【解答】解：由题意知各次投篮相互独立，‎ 事件“，n=1，2，3，4，5”即前6次投篮的命中率，前5次的命中率都小于等于，‎ 即第6次必须投中，前5次中有2次投中，‎ 又由an≤可得，前5次投篮中可能为第2、4次，2、3次、3、4次，3、5次，4.5次投中5种看情况，‎ 每种情况的概率均为×××=，‎ 则事件“，n=1，2，3，4，5”发生的概率为；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．函数y=的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象与图象变化．‎ ‎【分析】欲判断图象大致图象，可从函数的定义域{x|x≠0}方面考虑，还可从函数的单调性（在函数当x＞0时函数为减函数）方面进行考虑即可．‎ ‎【解答】解析：函数有意义，需使ex﹣e﹣x≠0，‎ 其定义域为{x|x≠0}，排除C，D，‎ 又因为，‎ 所以当x＞0时函数为减函数，故选A 答案：A．‎ ‎　‎ ‎11．若对于任意的x＞0时均有（x﹣a+2）（x2﹣ax﹣2）≥0，则实数a的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．﹣1 D．不存在 ‎【考点】全称命题．‎ ‎【分析】构造两个函数，y=x﹣a+2，y=x2﹣ax﹣2，由于x＞0，（x﹣a+2）（x2﹣ax﹣2）≥0恒成立，所以两个函数图象在x轴交于（a﹣2，0），所以（a﹣2）2﹣a（a﹣2）﹣2=0，解得a．‎ ‎【解答】解：设y=x﹣a+2，y=x2﹣ax﹣2，由于x＞0，（x﹣a+2）（x2﹣ax﹣2）≥0恒成立，所以两个函数图象在x轴交于（a﹣2，0），所以（a﹣2）2﹣a（a﹣2）﹣2=0，解得a=1；‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）的导函数f′（x），当x∈（0，）时，f′（x）sin2x＜f（x）（1+cos2x）成立，下列不等式一定成立的是（　　）‎ A． f（）＜f（） B． f（）＞f（） C． f（）＜f（） D．f（）＞f（）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】本题依据已知导数的特称，构造新函数g（x）=，根据g（x）=单调性进行判定，‎ ‎【解答】解：∵x∈（0，）时，f′（x）sin2x＜f（x）（1+cos2x）成立，‎ ‎⇒f′（x）2sinx•cosx＜f（x）2sin2x 成立⇒f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0成立．‎ ‎∴令g（x）=，g′（x）=⇒g′（x）＜0在（0，）恒成立，‎ ‎∴g（x）在（0，）上是单调递减的，故（）⇒f（）＞f（）．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知+=1且m，n均为正数，当m+n取得最小值时，m•n值为　48　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】找出m+n的取等条件，进而求m，n的值，问题得以解决 ‎【解答】解：（m+n）（+）=1+9++≥10+2=16，当且仅当n=3m时取等号，即m=4，n=12时等号，‎ ‎∴m•n=48，‎ 故答案为：48‎ ‎　‎ ‎14．已知角α的正弦值与余弦值均为负值，且cos（75°+α）=，则cos+sin（α﹣105°）=　　．‎ ‎【考点】运用诱导公式化简求值．‎ ‎【分析】由题α的范围，进而可求范围：k360°+255°＜75°+α＜k360°+345°，利用同角三角函数基本关系式可求sin（75°+α）的值，进而利用诱导公式即可化简求值得解．‎ ‎【解答】解：∵角α的正弦值与余弦值均为负值，‎ ‎∴由题知k360°+180°＜α＜k360°+270°，k∈Z，‎ 故k360°+255°＜75°+α＜k360°+345°，‎ ‎∵cos（75°+α）=，‎ ‎∴sin（75°+α）=﹣=﹣，‎ ‎∴cos+sin（α﹣105°）=﹣cos（75°+α）﹣sin（75°+α）=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．函数y=+2x的值域为　[﹣4，]　．‎ ‎【考点】函数的值域．‎ ‎【分析】利用换元法，将原函数的值域转化为三角函数的值域问题，对三角函数式进行变形化简后，求出三角函数的值域，得到本题结论．‎ ‎【解答】解：函数y=+2x，‎ 令：x=2cosα，[0，π]，则函数y=+2x转化为：y=sinα+4cosα；‎ 化简得：y=sin（α+φ），sinφ=，‎ ‎∵＞φ＞0，‎ ‎∴当α=π时，π＜α+φ＜π．‎ 故得y=sin（α+φ）=﹣×sinφ=﹣4．‎ 当α+φ=时，y取得最大值．‎ 故得函数y=+2x的值域为[﹣4，]；‎ 故答案为：[﹣4，]；‎ ‎　‎ ‎16．函数f（x）=，则函数的零点个数是　2　．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】利用分段函数直接求解函数的零点即可．‎ ‎【解答】解：由题意可知4ex﹣2=0，解得：x=ln＜0，是方程的根．‎ ‎2﹣log2x=0，解得，x=4．是方程的根．‎ 函数f（x）=，则函数的零点个数是：2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共5小题，共70分）‎ ‎17．命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定；一元二次不等式的应用．‎ ‎【分析】利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：x2﹣4ax+3a2=0对应的根为a，3a；‎ 由于a＜0，‎ 则x2﹣4ax+3a2＜0的解集为（3a，a），‎ 故命题p成立有x∈（3a，a）；‎ 由x2﹣x﹣6≤0得x∈[﹣2，3]，‎ 由x2+2x﹣8＞0得x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），‎ 故命题q成立有x∈（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）．‎ 若¬p是¬q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，‎ 因此有（3a，a）⊊（﹣∞，﹣4）或（3a，a）⊊[﹣2，+∞），‎ 又a＜0，解得a≤﹣4或；‎ 故a的范围是a≤﹣4或．‎ ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x+a的最大值为1．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，若方程g（x）=m在x∈[0，]上有解，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．‎ ‎【分析】（1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的增区间，求得函数f（x）的单调递增区间．‎ ‎（2）利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得m的范围．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x+a=sin（2x+）+sin2x+a ‎=cos2x+sin2x+a=2sin（2x+）+a 的最大值为2+a=1，‎ ‎∴a=﹣1．‎ 令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，‎ 可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．‎ ‎（2）∵将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]﹣1‎ ‎=2sin（2x+）﹣1的图象，‎ ‎∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，‎ ‎∴当2x+=时，g（x）取得最大值为﹣1；‎ 当2x+=时，g（x）取得最小值﹣3，‎ 故﹣3≤m≤﹣1．‎ ‎　‎ ‎19．某手机专卖店针对iphone7手机推出分期付款方式，该店对最近购买iphone7手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果显示如表所示：‎ 付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期 频数 ‎35‎ ‎25‎ a ‎10‎ b 已知分3期付款的频率为，请以此100人为作为样本，以此来估计消费人群总体，并解决以下问题：‎ ‎（ I）从消费人群总体中随机抽取3人，求“这3人中（每人仅购买一部手机）恰好有1人分4期付款”的概率 ‎（ II）若销售一部iphone7手机，顾客分1期付款（即全款），其利润为1000元；分2期付款或3期付款，其利润为1500元；分4期付款或5期付款，其利润为2000元，用X表示销售一部iphone7手机的利润，求X的分布列及数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（ I）由题意可得：，解得a，∴b=100﹣（35+25+a+10）．利用“二项分布”概率计算公式即可得出．‎ ‎（II）记分期付款的期数为ξ，依题意得P（ξ=1）=0.35，P（ξ=2）=0.25，P（ξ=3）=0.15，P（ξ=4）=0.1，P（ξ=5）=0.15，X的可能取值为1000元，1500元，2000元，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．‎ ‎【解答】解：（ I），解得a=15，∴b=100﹣（35+25+15+10）=15．‎ 设“这3人中（每人仅购买一部手机）恰好有1人分4期付款”为事件M，‎ P（M）==．‎ ‎（ II）设分期付款期数为ξ，则P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，P（ξ=5）=．‎ X可能取值为（单位：元）：1000，1500，2000．‎ P（X=1000）=，P（X=1500）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=，P（X=2000）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=．‎ X的分布列 X ‎1000‎ ‎1500‎ ‎2000‎ P X的数学期望E（X）=1000×+1500×+2000×=1450．‎ ‎　‎ ‎20．如图，在△ABC中，B=，BC=2，点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足，‎ ‎（1）若△BCD的面积为，求CD的长；‎ ‎（2）若ED=，求角A的大小．‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】（1）利用三角形的面积公式，求出BD，再用余弦定理求CD；‎ ‎（2）先求CD，在△BCD中，由正弦定理可得，结合∠BDC=2∠A，即可得结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵△BCD的面积为，，‎ ‎∴‎ ‎∴BD=‎ 在△BCD中，由余弦定理可得==；‎ ‎（2）∵，∴CD=AD==‎ 在△BCD中，由正弦定理可得 ‎∵∠BDC=2∠A ‎∴‎ ‎∴cosA=，∴A=．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=ex，g（x）=ln（x+a）．‎ ‎（ I）若已知函数f（x）的图象与g（x）图象有一条通过坐标原点的公切线，求a的值；‎ ‎（ II）当a≤2时，证明：f（x）＞g（x）．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（I）求出f（x）的导数，设切点为（m，em），求得切线的斜率和切点，可得切线的方程；再设y=g（x）相切的切点为（x0，y0），求出导数和切线的斜率，解方程组可得a的值；‎ ‎（II）当a≤2时，f（x）＞g（x）即证ex﹣ln（x+a）≥0，分别通过图象说明ex≥x+1；ln（x+2）≤x+1，即可得证．‎ ‎【解答】解：（I）函数f（x）=ex的导数为f′（x）=ex，‎ 设切点为（m，em），f′（m）=em=，‎ 解得m=1，‎ 则f（1）=e，f′（1）=e，‎ 易得f（x）=ex过原点的公切线为y=ex，‎ 故y=ex为g（x）=ln（x+a）的切线，‎ 设切点为（x0，y0），则有：‎ ‎，解得a=；‎ ‎（II）证明：当a≤2时，f（x）＞g（x）即证ex﹣ln（x+a）≥0，‎ 由y=ex和直线y=x+1的图象可得，ex≥x+1；‎ 由y=ln（x+2）和直线y=x+1的图象可得，ln（x+2）≤x+1，‎ 则ex﹣ln（x+2）≥（x+1）﹣（x+1）=0，‎ 可得ex﹣ln（x+2）≥0，‎ 即ex≥ln（x+a），‎ 则f（x）＞g（x）．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹．‎ ‎（2）若直线的极坐标方程为sinθ﹣cosθ=，求直线被曲线C截得的弦长．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）由sin2α+cos2α=1，能求出曲线C的普通方程，再由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线C的极坐标方程，由此得到曲线C是以（3，1）为圆心，以为半径的圆．‎ ‎（2）先求出直线的直角坐标为x﹣y+1=0，再求出圆心C（3，1）到直线x﹣y+1=0的距离d，由此能求出直线被曲线C截得的弦长．‎ ‎【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），‎ ‎∴由sin2α+cos2α=1，‎ 得曲线C的普通方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10，‎ 即x2+y2=6x+2y，‎ 由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，‎ 得曲线C的极坐标方程为ρ2=6ρcosθ+2ρsinθ，‎ 即ρ=6cosθ+2sinθ，‎ 它是以（3，1）为圆心，以为半径的圆．‎ ‎（2）∵直线的极坐标方程为sinθ﹣cosθ=，‎ ‎∴ρsinθ﹣ρcosθ=1，‎ ‎∴直线的直角坐标为x﹣y+1=0，‎ ‎∵曲线C是以（3，1）为圆心，以r=为半径的圆，‎ 圆心C（3，1）到直线x﹣y+1=0的距离d==，‎ ‎∴直线被曲线C截得的弦长|AB|=2=2=．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x﹣a|．‎ ‎（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4的解集；‎ ‎（2）不等式f（x）＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．‎ ‎【分析】（1）通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；（2）通过讨论a的范围，求出满足条件的a的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题知：|x﹣2|+|x﹣2|≥4，‎ ‎∴|x﹣2|≥2，∴x﹣2≥2或x﹣2≤﹣2，‎ 故不等式的解集为{x|x≤0或x≥4}．‎ ‎（2）由题意知，代入得，‎ 解得a≤﹣2或a=2或a≥6，又|x﹣2|+|x﹣a|≥|2﹣a|．‎ ‎①当a≤﹣2时，|2﹣a|≥4，所以f（x）≥4恒成立，‎ f（x）＜4解集为空集，不合题意；‎ ‎②当a=2时，由（1）可知解集为（0，4），符合题意；‎ ‎③当a≥2时，|2﹣a|≥4，所以f（x）≥4恒成立，‎ f（x）＜4解集为空集，不合题意；‎ 综上所述，当a=2时，不等式f（x）＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3．‎ ‎　‎ ‎2016年12月9日