高三数学同步辅导教材(第3讲)

高三数学同步辅导教材(第3讲)

高三数学同步辅导教材（第 3 讲） 一、本讲进度 导数的应用 2.4 函数的单调性与极值，课本 P40~P42 2.5 函数的最大值与最小值，课本 P42~P46 二、学习指导 导数就是从瞬时速度，切线斜率，边际成本等实际问题中抽象概括出来的，当然要反过来服务指导 实际问题的解决，凡是与变化率相关的问题都可从微分和导数理论中受益，本讲主要集中讲授判断证明 函数的单调性，函数的极值和最值。 根据函数单调性的定义，函数在其定义域内某从 a 到 b(a＜b)的区间内单调递增，即是对该区间内任 意的 x1＜x2(不妨记△x= x2－x1＞0). 恒有 y1＜y2（记△y= y2－y1＞0）. 于是 A（x1，y1）， B（x2，y2）两 点间连线斜率 k = 21 21 xx yy   ＞0. 从而 0x lim  21 21 xx )x(f)x(f   = 0x lim  x )x(f)xx(f 11    = )x(f 1 ＞0. 由 x1 的任意性，知（a，b）内的导 函数 )x(f  值均正；反之，若 f(x)在该区间单调递减，即是对该区间内任意的 x1＜x2(不妨仍记△x= x2－ x1 ＞ 0). 恒有 y1 ＞ y2. ( 记△y= y2 － y1 ＜ 0 ) . 则 A 、 B 连 线 斜 率 = ＜ 0 ， 从 而 = = ＜0. 所以，导函数值为正的区间原函数必是 单调递增的，导函数值为负的区间，原函数必是单调递减的。而导函数值为 O 的点 xo 有可能（但不一定 就是）是原函数增、减区间的接合点，也就是说，f(xo)有可能（但不一定就是）f(x)的一个极大（小）值. 但到底是不是极值点，还须看导函数 )x(f  在 xo 的左、右是否异号，如在 xo 左边 )x(f  ＞0，而在 xo 右 边 )x(f  ＜0，则 f(xo)为原函数的一个极大值；如在 xo 左边 ＜0，而在 xo 右边 ＞0，则 f(xo) 是原函数的一个极小值；如在 xo 左右 符号相同，则 f(xo)不是原函数的极值. 我们原先用定义证明函数在某区间单调，过程相当繁杂（对较复杂的函数更是如此）.而判断单调区 间的界限，则无明章可循，现在我们可以使用导数这个利器，过程就显得简单明了多了，今后再遇到类 似问题，尽可以使用它。 极值和最值是相互有联系的不同概念，总的来说，极值是局部概念，f(xo)如果比 xo 附近（无论这个 “附近”的范围多小，不含 xo）的 x 的函数值 f(x)都大（小）. 则称 f(xo)就是 f(x)的一个极大（小）值. 且 )x(f o =0，但 =0 . f(xo)却不一定就是 f(x)的极值. 最值是整体概念，若 f(x)的定义域是 R 或开 区间，则最值如果存在必是极值之一（诸极值中最大或最小者）, 当然也有可能不存在 . 若 f(x)的定义 域是闭区间，则函数的最值是诸极值和边界函数值中之最。从这个意义上讲，最值不一定是极值，极值 也不一定是最值，f(xo)最大（小），未必有 =0，故求最值，应先求所有极值及边界处的函数值， 再从中挑选最值. 三、典型例题讲评 例 1．已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 当 x=－1 时取得极大值 7，当 x=3 时取得极小值，求此极小值及 f(x). 与极值有关，当然先研究导函数， =3x2+2ax+b. 3 和－1 应为其两根        3)1(33 b 213a3 2 ∴      9b 3a ， 第三个待定系数应由 f(－1)=7 求出，得 c=2， ∴f(x)=x3－3x2－9x+2， 从而求出极小值 f(3)=－25. 例 2．要制造一个容积为 50cm3 的圆柱形锅炉，怎样的尺寸最省料（即表面积最小）？ 若记底面半径为 r cm，高为 h cm，则 r2h=50. 表面积 r 100r2rh2r2s 22   * 要求最值，先求导函数： 2r 100r4s   . 知  25r 3  时， s =0. 且 ＜  253 时， s ＜0. ＞ 时, ＞0. 故当 时 S 有极小值 2 3 6252  +  25 100 3 = 3 530  (cm2) . 当然，如果不等式学得好，我们也可把*式改写为 r 50 r 50r2s 2   ≥ 33 53050003   . 等号当且仅当 2r2 = r 50 = 3 510  . 即 r =  253 cm 时. 例 3．已知 x、y∈R+. x2－2x+4y2=0. 求 xy 的最大值. 初看不知怎样下手. 记 u=xy, 则有 x2－2x+4 2 2 x u =0. 即 u2=f(x)= 2 x 3 － 4 x 4 它的定义域可用 4y2=2x－x2＞0 求得，为(0，2). 要使正数 u 取得最大值，须 u2 取得最大值. )x(f = 32 xx2 3  . 当 )x(f  =0 时，x=0(舍去)或 2 3 ，且当 x∈（0， ）时， ＞0. )2,2 3(x  时， ＜0. 故 f(x)在 x= 时取得极大值 64 27)2 3(4 1)2 3(2 1 43  . 它也是 f(x)的最大值. 由上可知，当 x= 时，（此时 y= 4 3 ）， u=xy 取得最大值 38 3 . 本题若直接写为 u= 4 x 2 x 43  或用三角换元，囿于目前教材的内容，我们就无法求导了. 例 4．已知 f(x)=x2+1. g(x)=f［f(x)］.  (x)=g(x)+  f(x). 问是否存在实数 ，使 (x)在（－∞，－ 2 2 ］ 上单调递减而在［ ，0］上单调递增？ 复合函数求单调区间在以前是很棘手的问题，现在我们尝试用导数法解决这类问题 (x)=f［f(x)］+ f(x)=(x2+1)2+1+ (x2+1) =x4+(2+ )x2+2+ (x)=4x3+2(2+ )x. 令 (x)＞0. 当 ≥－2 时, 为 x＞0. 与已知不合. 当 ＜－2 时, x∈(－ 2 2  , 0)∪( 2 2  , +∞), 此时 (x)在(－∞, － ］, ［0, ］单调递减, 而在［－ , 0］及［ , +∞）单调递增. 由已知, － 2 2  =－ 2 2 , 知 =－3. 例 5．已知函数 f(x)=        )1x(2 1 )1x(2 1 2 判断 f(x)在 x=1 处是否可导. 按照定义，可导  0x lim  x y   存在 0x lim  x y   与 0x lim  均存在且相等. 今知 0x lim  x )1(f)x1(f    = 0x lim  2 1 x )11(2 1)1x1(2 1     . 而 0x lim  x )x(f)x1(f    = 0x lim    1x )11(2 11)x1(2 1 22     .故 0x lim  不存在. f(x)在 x=1 处不可导. 在本题中， 1x lim f(x)= 1x lim f(x)=f(1)=1. 说明 f(x) 在 x=1 处连续. 但不能说明它在 x=1 处可导，这两者是必须分清楚的，连续是可导的必要条件. 巩固练习 1．已知在函数 y=x3+ax2－ 3 4 a 中， )x(f 0 =0 且 f(xo)=0, 则 a 的值为____________ 2．已知函数 f(x)满足：f(3)=2, f  (3)=－2, 则极限 3x lim  3x )x(f3x2   的值为___________ 3．已知函数 f(x)=x3－3ax2+2bx 在 x=1 处有极小值－1，求 a、b 的值，并求出 f(x)的单调区间. 4．过点 P（2，2）作曲线 S：y=3x－x3 的切线，可作几条？ 5．已知曲线 C1：y=3x4+a 与曲线 C2：Y=4x3 有交点，且两曲线在交点处有相同的切线，求 a 的值. 6．讨论函数 y= 23 )x3)(3x2(  的单调性. 7．直角三角形铁皮 ABC 的斜边长 AB=2, ∠A=30O， 现欲从角上剪去三块（图中阴影部分），用其余部分做成 一个无盖的直三棱柱形铁盒，怎样下料可使铁盒容积最大？ 8．如图，一个圆锥形容器底面半径为 rcm， 高为 hcm. 现以 ncm3/s 的速率往容器内注水， 求 ts 末水面上升的速率. 9．设函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 在 x=1 及 x=－1 处有极值，且 f(1)=－2a, 求证 f(x)是奇函数. 10．x＞1, 求证：2x＞3－ 2x 1 . 11．某物体一天中温度 T（OC）是时间 t(小时)的函数：T(t)=at3+bt2+ct+d. (a≠0) 当 t=0 时，表示正 午 12 点的温度 T（O）， 12 点以后的时间为正，12 点以前的时间为负。现测得该物体在上午 8 时的温度 为 8OC，12 时的温度为 60OC，13 时的温度为 58OC，且上午 8 时和下午 16 时的温度变比率相同. (1)写出 T（t）的函数解析式； (2)求 10~12 时（包含 10 时和 12 时）的最高温度 12．一种塑料包装罐如右图所示，下部为一个圆柱形， x≤1 x＞1 A B C x x x r 上部为一个半球形，球的半径与圆柱底面半径相同， 由于机器每次注塑量已定（即已确定罐体表面积. 怎样的尺寸能使其容积最大？ 参考答案 1． y =3x2+2ax 当 x=0 或－ 3 2 a 时值为 0 若 xO=0，则－ 3 4 a=0, a =0 若 xO=－ a, 则（－ a）3+a（－ a）2－ a=0, a=0 或  3 ∴a=0 或  3. 2．记 x=3+△x，则 3x lim  3x )x(f3x2   = 0x lim  x )x3(f3)x3(2    =   x x2)3(f)x3(f3    =－3 f (3)+2=8. 3． y =3x2－6ax+2b 由已知      1b2a31 0b2a63 解得        2 1b 3 1a 此时 =3x2－2x－1 令 ＞0. 得 x＞1 或＜－ 3 1 . ∴f(x)在(－∞，－ ］及［1，+∞）单调增，在［－ ，1］单调递减. 4． =3－3x2 过曲线上一点(xO，3xO－xO 3)的切线方程为 y=(3－3xO 2)(x－xO)+ 3xO－xO 3. 切线应过 P（2，2）点，故有 2=(3－3xO 2)(2－xO)+ 3xO－xO 3. 即 xO 3－3xO 2+2=0 有三个根 1, 1± 3 . 故应有 3 条切线. 5． C1=12x3 C2=12x2 设公共点横坐标为 xO 则应有 12xO 3=12xO 2. xO=0 或 1. 曲线 C2 上对应 的点为(0，0)或（1，4） 亦应在曲线 C1 上， 故 a=0 或+1. 6．f(x)= 23 )x3)(3x2(  与函数 g(x)=(2x－3)(3－x)2 有相同的单调性， g(x)= 3x2 －15x2+36x － 27 =6(x2－5x+6) 令 g(x)＞0 得 x＞3 或 x＜2. ∴f(x)在(－∞， 2 及［3，+∞ ) 单调递增，在［2，3］单调递减. 7．BC=1, AC= . 盒底三角形两直角边长分别为 1－x－xcot30O=1－( +1)x －x－xcot15O= －(3+ )x V=    x)13(13x)13(1x2 1  =  xx)13(2x)324(2 3 23  x∈(0， 2 13  ) V  =  1x)13(4x)32(62 3 2  . 令 =0， 得 x= 2 13  (舍去)或 6 13  . 在（0， 6 13  ）. ＞0. 在( ， ). ＜0. 故当 x= 时 V 取得极大值，又 x →0 或 x→ 时，V→0 ∴当 x= 时，V 最大. 8．t 秒注水量 V=nt= 3 2 2 2 xh3 rx)h rx(3 1   (x 为水面高度). 即 x= 3 1 2 23 tr nh3  . 对 t 求导. tx = 232 23 t 1 3 1 r nh3  = 2 3 2 23 t 1 v9 nh  即为所求. 9． f  (x)=3ax2+2bx+c. (x)=0 的两个根为±1. 故 b=0, c=－3a. 从而 f(x)=ax3－3ax+d 又由已知 －2a=a－3a+d. ∴d=0 . ∴f(x)=ax3－3ax 为奇函数 . 10．即证 2x3－3x2+1＞0 . 作函数 f(x)=2x3－3x2+1 . f  (x)=6x2－6x . 当 x=1 时， (x)=0 . 且 x∈(0，1)时 (x)＜0，当 x＞1 时， (x)＞0. ∴f(1)为极小值，且在［1， +∞ ) 上单调递增. ∴f(1)=2－3+1=0. ∴当 x＞1 时, f(x)＞0 即 2x＞3－ 2x 1 (x＞1). 11．(1)T(x)=3at2+2by+c. t=－4 与 t=4 时值相同， 故 t=0 为其对称轴，b=0 . 又由已知       dca)1(T58 d)0(T60 dc4a64)4(T8 算得 d=60. a=1. c=－3 . ∴T(t)=x3－3x+60 . (2)此时 3t3)t(F 2  当 t=±1 时值为 0, 且在［－2，－1)及（1，2］值为正，在（－1，1） 值为负，知 T(t)在 t=－1 时取极大值 62，（ t=1 时取极小值） 故 11 时温度最高为 62OC. 12．设圆柱的底半径为 r，高为 h，则表面积 S= 222 r3rh2r2rrh2   故 V= 3 2 32 r3 2 2 r)r3s(r3 2hr   = 3r6 5r2 s  V= 2r2 5 2 s  当 5 sr  时 =0 且在（0， 5 s ）时 ＞0. 而 r＞ 时， ＜0， 故当 r= 5 s 时 V 有极大值，也是最大值，为 5 s 3 s . 六、附录 例 1． f (x)=3x2+2ax+b f(x)=0 的两根为 3，－1 由韦达定理        33 b 2a3 2 ∴      9b 3a . 又 7=f(－1)=－1+(－3)+(－9)(－1)+c ∴c=2 . 极小值：f(3)=33+(－3)·32+(－9)·3+2=－25 . f(x)=－x3－3x2－9x+2 . 例 2．记底面半径为 rcm，高为 hcm，由已知，= hr 2 =50. ∴表面积 S= r 100r2rh2r2 22   s = 2r 100r4  ，令 s  =0 ， 得 r=  253 . 且 在 )25,0( 3  为负，而当为 r＞ 为正. 故当 r = 时，S 有最小值 30 53 （cm2） 例 3．记 u=xy, 则有 x2－2x+4 2 2 x u =0. 记 u2=f(x)= 4 x 2 x 43  . ∵－4y2=(x2－2x)＜0 ∴x∈(0,2) )x(f  = 32 xx2 3  ， 当 x= 2 3 时， =0，且在(0, )上 ＞0, 在（ ，2）上 ＜ 0，∴f(x)在 x= 时取极大值 64 27)2 3(4 1)2 3(2 1 43  . 相应地 y= 4 )2 3(2 32 2  = 4 3 ∴当 x= 时，u 有最大值 38 3 4 3 2 3  . 例 4． (x)=f［f(x)］+  f(x)=x4+(2+ )x2+2+  (x)=4x3+2(2+ )x 令(x)＞0，此时如 ≥－2 解为 x＞0, 原函数 (x)在( －∞，0］单调减［0，+∞］单调增，与已 知条件矛盾，故知 ＜－2，此时 (x)＞0 的解集为(－ 2 2  ，0)∪( 2 2  ，+∞) 故 (x)在 － ∞，－ ＝及［0， ］单调递减，而在［－ ，0］及［ ，+∞ ) 单 调递增与已知要求比较，知－ =－ 2 2 =－3. 例 5．若 f(x)在 x=1 处可导，则 0x lim  x )1(f)x1(f    = x 1)x1(f    应存在，但由 f(x)解析式知， 上 述 极 限 不 存 在 （ 0x lim  x 1)x1(f    = 0x lim  x 12 x2    = 2 1 ，而 0x lim  x 1)x1(f    = 0x lim  1x 12 1)x1(2 1 2     ，不相等） ∴f(x)在 x=1 处不可导.