全国大联考2020届高三2月联考理科数学答案
理科数学参考答案 第 1 页（共 6 页） 20·LK2·QG
秘密★网络公布前 [网络公布时间：2020 年 2 月 6 日 15:00]
全国大联考 2020 届高三 2 月联考
理科数学参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B B A D C C A B B B D
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．-8 14．2 5
15．126 16． 3
4
三、解答题：共 70 分．
17．解：（1）∵ a1+2，2a2，a3+1 成等差数列，
∴ 4a2=a1+2+a3+1= a1+a3+3，
即 4a1q=a1+a1q2+3，①
由 S3=4a2-1 可得 a1+a1q+a1q2=4a1q-1，即 a1-3a1q+a1q2+1=0，②
联立①②及 q>1 解得 a1=1，q=2，
∴ 12n
na −= ．（2）Tn= 0 1 2 1
1 2 3
2 2 2 2n
n
−+ + + + ，
1
2
Tn= 1 2 3 1
1 2 3 1
2 2 2 2 2nn
nn
−
−+ + + + + ，
两式作差得 1
2
Tn= 0 1 2 1
1 1 1 1
2 2 2 2 2nn
n
−+ + + + −
=
11 22 21 221 2
n
nn
nn− +− = −
−
，
于是 1
24 2n n
nT −
+=− ．
∵ n≥2 时， 1 1 2 1
214 4 02 2 2nn n n n
n n nTT− − − −
++− = − − + = ，
∴ {Tn}(n∈N*)单调递增．
而 T1=1<3，T2=2<3，T3=11
4
<3，T4=13
4
>3，
∴ 当 n=1，2，3 时，Tn<3．
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18．解：（1） ，∴ ．
（2）由直方图可知，“喵儿”的得分 情况如下：
0 60 80 100
①在本次的三组测试中，“喵儿”得 80 分为事件 A，则“喵儿”可能第一组得 80 分，
或者第二组得 80 分，或者第三组得 80 分，
则 ；
② ，
，
，
分布列如下：
0 60 80 100
数学期望 ．
19．（ 1）证明：如图，连接 AC，易知 AC∩BD=O．
∵ 侧面 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD．
又由题知 EO⊥面 ABCD，AC 面 ABCD，
∴ EO⊥AC，
而 EO∩BD=O，且 EO，BD 面 BED，
∴ AC⊥面 BED．
∴ AC⊥ED．
∵ CF//ED，
∴ AC⊥CF．
（2）解：由（1）知 AO⊥BO，OE⊥AO，OE⊥BO，于是以 O 为坐标原点，OA，
OB，OE 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图．设 AB=AE=2．
∵ 在菱形 ABCD 中，∠BAD=60º，
∴ AO= 3 ，BO=1．
在 Rt△EAO 中，EO= 22EA AO− =1．
( )0.01 0.01 0.05 10 1a + + + = 0.03a =
p 0.1 0.3 0.5 0.1
( ) 0.5 0.1 0.5 0.1 0.1 0.5 0.555PA= + + =
( )0 0.1 0.1 0.1 0.001P = = =
( )60 0.3 0.1 0.3 0.1 0.1 0.3 0.333P = = + + =
( )100 1 0.001 0.333 0.555 0.111P = = − − − =
p 0.001 0.333 0.555 0.111
( ) 0 0.001 60 0.333 80 0.555 100 0.111 75.48E = + + + =
A B
C D
E F
O
z
x y
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于是 O(0，0，0)，A( 3 ，0，0)，B(0，1，0)，E(0，0，1)，C(- ，0，0)，
∴ AB =(- ，1，0)， BE =(0，-1，1)， BC =(- ，-1，0)．又由 EF AB= ， 可解得
F(- ，1，1)，于是 BF =(- ，0，1)．
设平面 BCE 的法向量为 n1=(x1，y1，z1)，
则由 n1• =0，n1• =0 得
11
11
0
30
yz
xy
− + =− − =
，
，
令 y1=1，则 x1= 3
3− ， z1=1，即 n1=( ，1，1)．
同理可得平面 BCF 的法向量 n2=( 3
3
，-1，1)．
∴ cos
= 12
12
nn
nn= 1
7
故二面角 E-BC-F 的平面角的余弦值为 1
7
．
20．解：（1）设椭圆的半焦距为 c，由题意有 A(-a，0)，B(0，b)，
于是 3
2
c
a = ，且 1
22
b = ，
结合 a2=b2+c2，解得 a=2，b=1，
∴ 椭圆 E 的方程为
2
2 14
x y+=．
（2）设 11()M x y， ， 22()N x y， ，
由已知联立方程
2
2
2
2
14
mx my
x y
=+
+=
，
，
消去 x，得
4
2 2 3( 4) 4 04
mm y m y+ + + − = ，
由 0 可得 424 16 0mm− − ，解得 m2< 2 2 5+ ．
且
34
1 2 1 222
16
4 4( 4)
mmy y y ymm
−−+ = =++
， ，
由题意得△MF1F2，△NF1F2 的重心 1 1 2 2( ) ( )3 3 3 3
x y x yGH， ， ， ，
∵ 原点 O 在以 GH 为直径的圆内，
∴ 0OG OH，即 1 2 1 2 09
x x y y+ ．
∵
34
2
1 2 1 2 1 2 1 2( 1) ( )24
mmx x y y m y y y y+ = + + + +
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4 3 3 4
2
22
16( 1) ( ) 0244( 4) 4
m m m mm
mm
−−= + + +
++
，
整理得
42
2
16 16 0
4( 4)
mm
m
−−
+
， 即 m4-16m2-16=0，
变形为 22(5 4)( 4) 0mm+ − ， 即 m2<4，满足 m2<2+2 5 ，
故-20 时，原函数可化为 ( ) (1 ) 2lnf x a x x= − + ，则
22() axf x axx
− = − = ，
当 a≤0 时， ()fx >0，故 ()fx在(0 )+， 上单调递增，
由于 (1)=0f ，所以当 1x 时， ( ) (1) 0f x f=，不合题意．
当 0a 时，
2()
()
ax afx x
−−
= ，
∴ 当 20 x a 时， ( ) 0fx ；当 2x a 时， ( ) 0fx ，
所以 ()fx在 2(0 )a
， 上单调递增， ()fx在 2()a +， 上单调递减，
即 max
2( ) ( )f x f a= 2 2ln2 2lnaa= − + − ．
所以要使 ≤0 在 (0 )+， 时恒成立，则只需 max()fx ≤0，
亦即 2 2ln2 2lnaa− + − ≤0．
令 ( ) 2 2ln 2 2lna a a = − + − ，则 22( ) 1 aa aa − = − = ，
∴ 当 02a时， ( ) 0a ；当 2a 时， ( ) 0a ，
即 ()a 在(0 2)， 上单调递减，在(2 )+， 上单调递增．
又 (2) 0 = ，所以满足条件的 a 只有 2，即 2a = ．
（2）由（1）知 a=2， ( ) 2 2 2lnf x x x= − + ，
∴ ()() f x axg x x xa
+= −
2 2 ln ( 2)2
x x x xx
+=−
，
于是 2
2( 2ln 4)() ( 2)
xxgx x
−− = −
．
令 ( ) 2ln 4s x x x= − − ，则 22( ) 1 xsx xx
− = − = ，
由于 2x ，所以 ( ) 0sx ，即 ()sx在 (2 )+， 上单调递增；
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又 (8) 0s ， (9) 0s ，
∴ 0 (8 9)x， ，使得 0( ) 0sx = ，即 002ln 4xx=−，
且当 02 xx 时， ( ) 0sx ；当 0xx 时， ( ) 0sx ，
即 ()gx在 0(2 )x， 上单调递减；在 0()x +， 上单调递增，
∴ min 0( ) ( )g x g x= 0 0 0
0
2 2 ln
2
x x x
x
+= −
2
00
0
0
2
2
xxxx
−==− ．
即 0mx= ，
∴ 0( ) ( )f m f x= 0 0 02 2 2ln 2 ( 11 10)x x x= − + = − − − −， ，
即 11 ( ) 10fm− − ．
22．解：（1）∵ C 的直角坐标方程为 x2+y2=4，
∴ 点 Q(x0，y0)满足 x2+y2=4(y≥0)．
设 M(x，y)，则 002
22
xyxy+==， ，即 x0=2x-2，y0=2y，
∴ (2x-2)2+(2y)2=4(y≥0)，
整理得 C1 的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(y≥0)．
（2）直线 l 过点 A(-1，0)，
所以直线 l 的参数方程为
1 cos
sin
xt
yt
= − +
=
，
， (θ 为参数，θ 为倾斜角， [0 )6
， )
代入 C1： 2 4 cos 3 0tt− + = ，
则 12
12
4cos
3
tt
tt
+=
=
，
，
∴
12
12
2cos 3 22 (]. . 3 3 3
tt
AD
AM AN t t
+
= = ， ．
23．解：（1）∵ |x+3|-|x-1|=|x+3|-|1-x|≤|(x+3)+(1-x)|=4，
∴ a2-3a≥4，
解得 a≥4，或 a≤-1（舍去）．
∴ a 的最小值为 4．
（2）∵ ab
ba
+ -( ab+ )=
a a b b a b b a
ab
+ − −
=
( ) ( )a a b b a b
ab
− − −
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=
( )( )a b a b
ab
−−
=
2( ) ( )a b a b
ab
−+≥0
∴ ab
ba
+ ≥( ab+ )．
