2017-2018学年河北省阜城中学高二上学期第五次月考数学（文）试题 解析版

2017-2018学年河北省阜城中学高二上学期第五次月考数学（文）试题 解析版

‎2017-2018学年河北省阜城中学高二上学期第五次月考数学（文）试题 解析版 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知命题，.命题若，则，下列命题为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎ 命题：若，则是真命题，所以是真命题，故选A.‎ ‎2. 设命题函数为奇函数；命题，，则下列命题为假命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为是奇函数，所以命题真，则命题假；又因为时，恒有，所以命题假；因此依据复合命题的真假的判定法则可知是假命题，应选答案C。‎ ‎3. 设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】 由，所以，‎ ‎ ，‎ ‎ 则，‎ ‎ 可得 “”是“”的充分不必要条件，故选A．‎ ‎4. 已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】，，充分性成立，若“”则，必要性成立，所以“”是“”的充分必要条件，故选C.‎ ‎【方法点睛】本题通过等差数列前 项和的基本量运算，主要考查充分条件与必要条件，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.‎ ‎5. 椭圆的一个焦点为，为椭圆上一点，且，是线段的中点，则（为坐标原点）为（ ）‎ A. 3 B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】 因为椭圆的实轴长为，则，‎ ‎ 由椭圆的定义可知,‎ ‎ 而是的中位线，所以，故选C．‎ ‎ ‎ ‎6. 椭圆上的一点关于原点的对称点为，为它的右焦点，若，则的面积是（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由椭圆方程知，因为,O是AB的中点，所以AO=BO=OF=,设A,则且，解得，所以三角形的面积是，故选B．‎ ‎7. 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 设过点的直线与椭圆相交于两点，‎ ‎ 由中点坐标公式可得，‎ 则，两式相减得，‎ 所以，所以直线的斜率，‎ 所以直线的方程为，整理得，故选A．‎ ‎8. 已知点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）‎ A. 6 B. 8 C. 10 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】 由双曲线可知，双曲线的两个焦点坐标分别为，且,‎ ‎ 而这两点正好是两圆和的圆心，‎ ‎ 两圆和的半径分别是，‎ ‎ 所以，‎ 所以的最大值为，故选C．‎ ‎9. 若点到点的距离比它到直线的距离小于1，则点的轨迹方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 因为点到点的距离比它到直线的距离少1，‎ ‎ 所以将直线右移1个单位，得到直线，即，‎ ‎ 可得点到直线的距离等于它到点的距离，‎ ‎ 根据抛物线的定义，可得点的估计是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，‎ ‎ 设抛物线方程为，可得，得，‎ ‎ 所以抛物线的方程为，即为点的轨迹方程，故选C．‎ ‎10. 已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点作轴的垂线，交椭圆于两点.若等边的周长为，则椭圆的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由题意可得等边的边长为，则，‎ ‎ 由椭圆的定义可得，即，‎ ‎ 由，即有，则，‎ ‎ 则椭圆的方程为，故选A．‎ ‎11. 一个椭圆中心在原点，焦点在轴上，是椭圆上一点，且成等差数列，则椭圆方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 因为成等差数列，是椭圆上的一点，‎ 所以，所以，‎ 设椭圆的方程为，则，‎ 解得，故椭圆的方程为，故选A．‎ ‎ 点睛：本题考查了椭圆的标准方程的求解及其几何性质的应用，对于求椭圆的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据的关系，求出的值，同时解答中注意椭圆定义的应用，其中利用待定系数求解圆锥曲线的方程是常见的一种求解轨迹方程的重要方法．‎ ‎12. 设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，且到两焦点的距离之差为2，则是（ ）‎ A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 斜三角形 D. 钝角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】 由椭圆的方程，可得，所以，‎ 则，‎ 由椭圆的定义得，又到两焦点的距离之差为，‎ 不妨设，则，解得，‎ 又，所以，‎ 所以是直角三角形，故选A．‎ ‎ 点睛：本题主要考查了椭圆定义及标准方程的应用，三角形形状的判断问题，解答的关键在于运用椭圆的定义列出方程组，得到三角形三边的长度，即可确定三角形的形状．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 设两个命题，关于的不等式（且）的解集是；函数的定义域为.如果为真命题，为假命题，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】或a≥1‎ ‎【解析】 由题意得，命题为真命题可解得，‎ 命题中，函数的定义域为，当时不成立，则，解得，‎ ‎ 因为位真命题，为假命题，额命题和必然一真一假，‎ ‎ 所以或，解得或，‎ ‎ 所以实数的取值范围是或．‎ ‎14. 若椭圆两焦点为，，点在椭圆上，且的面积的最大值为12，则此椭圆的方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 设点的坐标为，则，‎ 显然取最大时，三角形面积最大，因为点在椭圆上，所以在轴上，此时最大，‎ ‎ 所以点的坐标为，所以，因为，所以，‎ ‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎15. 已知圆及点，为圆周上一点，的垂直平分线交直线于点，则动点的轨迹方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由的垂直平分线交直线于点，得，圆的半径为，‎ ‎ 所以，故点的轨迹是以为焦点的双曲线，‎ ‎ 所以由题意的，所以，‎ ‎ 焦点在轴上，故所求方程为．‎ ‎16. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】1＜k＜2‎ ‎【解析】试题分析：由题意可得 考点：椭圆的标准方程 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知，且，设函数在上单调递减，函数在上为增函数，为假，为真，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎ 由函数在上单调递减，值，则；由在上为增函数，知，则，由为假，为真，则中一真一假，分类讨论，即可求解实数的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎∵函数y=cx在R上单调递减，∴0＜c＜1．‎ 即p：0＜c＜1，‎ ‎∵c＞0且c≠1，∴￢p：c＞1．‎ 又∵f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，∴c≤．‎ 即q：0＜c≤，‎ ‎∵c＞0且c≠1，∴￢q：c＞且c≠1．‎ 又∵“P∧Q”为假，“P∨Q”为真，‎ ‎∴p真q假，或p假q真．‎ ‎①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩{c|c＞，且c≠1}={c|＜c＜1}．‎ ‎②当p假，q真时，{c|c＞1}∩{c|0＜c≤}=∅．‎ 综上所述，实数c的取值范围是{c|＜c＜1}．‎ ‎18. 已知函数（且）是定义在实数集上的奇函数，且 ‎（1）试求不等式的解集；‎ ‎（2）当且时，设命题实数满足，命题函数在上单调递减；若“且”为假命题，“或”为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）求出的值，根据函数的单调问题转化为，求出不等式的解集即可；‎ ‎（2）分别求出为真时的的取值范围，通过讨论的真假，得到关于的不等式组，接触即可．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）因为∵f（x）是定义在R上的奇函数，‎ ‎∴f（0）=0，∴k﹣1=0，∴k=1，‎ 当k=1时f（﹣x）=a﹣x﹣ax=﹣f（x），‎ 满足∵f（x）是定义在R上的奇函数，‎ 又∵f（1）＞0，∴，又a＞0故a＞1，‎ 易知f（x）在R上单调递增，原不等式化为：，‎ 所以，即，解得x＜；‎ ‎∴不等式的解集为或．‎ ‎（Ⅱ）若p为真，由（Ⅰ）得b＞或0＜b＜，‎ 若q为真，则0＜b＜1；‎ 依题意得，p、p一真一假，‎ ‎（1）当p真q假，则；‎ ‎（2）当p假q真，则；‎ 综上，b的取值范围是．‎ ‎19. 已知椭圆的两个焦点是，，且椭圆经过点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若过左焦点且倾斜角为45°的直线与椭圆交于两点，求线段的长.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可得椭圆的焦点在轴上，设椭圆的方程为，由题意可得，求得，即可得到所求椭圆的方程；‎ ‎（2）求出直线的方程，代入椭圆的方程，设，运用韦达定理，由弦长公式计算即可得到所求的值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知得，椭圆C的焦点在x轴上，‎ 可设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），‎ 是椭圆短轴的一个顶点，可得，‎ 由题意可得c=2，即有a==3，‎ 则椭圆C的标准方程为；‎ ‎（2）由已知得，直线l斜率k=tan45°=1，而F1（﹣2，0），‎ 所以直线l方程为：y=x+2，‎ 代入方程，得5x2+9（x+2）2=45，即14x2+36x﹣9=0，‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，‎ 则 ‎=．‎ ‎20. 已知抛物线的标准方程是.‎ ‎（1）求它的焦点坐标和准线方程；‎ ‎（2）直线过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为，求的长度.‎ ‎【答案】(1)焦点为，准线方程：；(2)12.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）抛物线的标准方程为，焦点在轴上，开口向右，，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程；‎ ‎（2）现根据题意给出直线的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，∴=‎ ‎∴焦点为F（，0），准线方程：x=﹣，‎ ‎（2）∵直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，‎ ‎∴直线L的方程为y=x﹣，‎ 代入抛物线y2=6x化简得x2﹣9x+=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=9，‎ 所以|AB|=x1+x2+p=9+3=12．‎ 故所求的弦长为12．‎ 点睛：本题考查了直线与怕西安的位置关系中的弦长公式的应用，本题的解答中根据直线过抛物线的焦点，根据抛物线的定义，抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．同时如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．‎ ‎21. 已知双曲线的实轴长为，一个焦点的坐标为.‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）若斜率为2的直线交双曲线交于两点，且，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1)；(2)或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据待定系数法求双曲线方程，知道，‎ ‎；（2）设直线方程，与双曲线方程联立，得到韦达定理，根据弦长公式，求出直线方程.‎ 试题解析：（1）由，得，又，‎ ‎∴，‎ ‎∴双曲线的方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为，，‎ 由，得，‎ ‎∴，得，‎ ‎∴弦长，解得，‎ ‎∴直线的方程为或.‎ 考点：1.双曲线的定义；2.弦长公式.‎ ‎【方法点睛】主要考察了双曲线的基本问题，属于基础题型，尤其对于第二问，根据弦长公式求直线方程时，设直线方程，根据弦长公式，或是，这样根据直线方程与圆锥曲线方程联立，可以求参数.‎ ‎22. 已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为.‎ ‎（1）若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，求直线的方程；‎ ‎（2）若直线与抛物线交于两点，求的面积.‎ ‎【答案】(1)x=0或y=1或y=x+1；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎ （1）求出，分类讨论，直线与抛物线方程联立，即可求解直线的方程；‎ ‎（2）直线与抛物线联立，利用韦达定理，根据的面积，即可求解的面积．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F（1，0），抛物线E：x2=2py的焦点为M，‎ ‎∴p=2，M（0，1）‎ 斜率不存在时，x=0，满足题意；‎ 斜率存在时，设方程为y=kx+1，代入y2=4x，可得k2x2+（2k﹣4）x+1=0，‎ k=0时，x=，满足题意，方程为y=1；‎ k≠0时，△=（2k﹣4）2﹣4k2=0，∴k=1，方程为y=x+1，‎ 综上，直线l的方程为x=0或y=1或y=x+1；‎ ‎（2）直线MF的方程为y=﹣x+1，代入y2=4x，可得y2+4y﹣4=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4，‎ ‎∴△OAB的面积S=|OF||y1﹣y2|==2．‎ 点睛：本题考查直线方程，考查了直线与抛物线的位置关系，直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证或说明中点在曲线内部．‎ ‎ ‎ ‎ ‎