数学卷·2018届河北省定州中学高二（承智班）上学期期末考试（2017-01）

数学卷·2018届河北省定州中学高二（承智班）上学期期末考试（2017-01）

河北定州中学 2016-2017 学年第一学期高 二数学承智班期末考试试题 一、选择题 1．设 ，函数 若 ，则 等于（ ） A．8 B．4 C．2 D．1 2．已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴非负半轴重合，终边在直线 上，则 的值为（ ） A． B． C． D． 3．已知集合 ， ，则集合 （ ） A． B． C． D． 4．在等比数列 中， ，则 （ ） A． B． C． D． 5．抛物线 的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 6．为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象上所有的点（ ） A.向左平移 个单位 B.向左平移 个单位 C.向右平移 个单位 D.向右平移 个单位 0a ≠ 2 2 4log ( ), 0, ( ) | |, 0. x x f x x ax x − <=  + ≥ [ ( 2)] 4f f − = ( )f a θ x 2y x= sin 2 4 πθ +   7 2 10 − 7 2 10 2 10 − 2 10 }032|{ 2 <−+= xxxM }2,1,0,1,2,3{ −−−=N =NM  }1,0,1,2{ −− }0,1,2,3{ −−− }0,1,2{ −− }1,2,3{ −−− { }na 7 11 4 146, 5a a a a= + = 20 10 a a = 2 3 3 2 2 3 3 2 或 3 2 2 3 − −或 28x y= − 1 ,032  −   ( )2,0− 1 ,032      ( )0, 2− sin(2 )3y x π= − sin2y x= 6 π 3 π 6 π 3 π 7．下表为某班 5 位同学身高 （单位：cm）与体重 （单位 kg）的数据， 身高 170 171 166 178 160 体重 75 80 70 85 65 若两个量间的回归直线方程为 ，则 的值为（ ） A．21 B．123.2 C． 121.04 D． 45.12 8．设圆的方程是 ，若 ，则原点与圆的位置关系 是（ ） A．原点在圆上 B．原点在圆外 C．原点在圆内 D．不确定 9．已知函数 在 内的值域是 ，则函数 的图像 大致是 （ ） 10．已知 x、y 满足约束条件 ,则 的最小值为（ ） A.-15 B.- 20 C.-25 D.-30 11．设 0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（ ） A．a＜b＜ ＜ B．a＜ ＜ ＜b C．a＜ ＜b＜ D． ＜a＜ ＜b 12．从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都 有，则不同的组队方案共有（ ） （A）70 种 （B）80 种 （C）100 种 （D）140 种 x y  1.16y x a= + a ( )22 2 2 2 1 0x y ax y a+ + + + − = 0 1a< < ( ) ( 0 1)xf x a a a= > ≠且 (0,2) 2(1, )a ( )y f x= 5 0 0 0 x y x y y + + ≥  − ≤  ≤ 2 4z x y= + 二、填空题 13．已知一个样本容量为 的样本数据的频率分布直方图如图所示，样本数据落在 [40,60） 内的频数为 . 14．设抛物线 （ 为参数， ）的焦点为 ，准线为 ，过抛物线上一点 作 的垂线，垂足为 ，设 ， 与 相交于点 ，若 ，且△ 的面积为 ，则 的值为 ． 15．（2015 秋•上海校级期中）已知非空集合 A、B 满足以下四个条件： ①A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；②A∩B=∅；③A 中的元素个数不是 A 中的元素；④B 中的 元素个数不是 B 中的元素． 若集合 A 含有 2 个元素，则满足条件的 A 有 个． 16． 若圆 与双曲线 C： 的渐近线相切, 双曲线 C 的渐近线方 程是 三、解答题 17．已知函数 ． （1）求 的定义域； （2）求 的值域． 18．如图所示的四边形 ABCD，已知 100 22 2 x pt y pt  =  = t 0p > F l A l B 7( ,0)2C p AF BC E | | 2 | |CF AF= ACE 3 2 p 2 2( 2) 1x y− + = 2 2 2 1( 0)x y aa − = > ( ) 2 1 2 log 2 8f x x x= − + + ( )f x ( )f x )3,2(),,()16( −−=== CDyxBCAB ，， （1）若 且 ，求函数 的值域； （2）若 且 ，求 的值及四边形 ABCD 的面积。 19．（2009•汕头一模）已知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面 BCD，∠ADB=60°， E、F 分别是 AC、AD 上的动点，且 =λ（0＜λ＜1）． （Ⅰ）求证：不论 λ 为何值，总有平面 BEF⊥平面 ABC； （Ⅱ）当 λ 为何值时，平面 BEF⊥平面 ACD？ 20．（1）已知关于 x 的二次函数 f（x）＝ax 2－4bx＋1．设集合 P＝{1,2,3}和 Q＝{－ 1,1,2,3,4}，分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b，求函数 y＝f（x）在区间[1，＋ ∞）上是增函数的概率； （2）在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为 a，b，求方程 + =1 表示焦点在 x 轴 上且离心率小于 的椭圆的概率 DABC // 12 <≤− x )(xfy = DABC // BDAC ⊥ yx, 参考答案 ADCCA CCBBA 11．B 12．A 13． 14． 15．5 16． 17．（1） ；（2） . （1）∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ 的定义域 ； （2）令 ，则 ， ∵ ，∴ ，∴ ，∵ 在 上是递减函数， ∴ ，∴ 的值域是 ． 18．（1） （2）16 （1）由条件，运用向量的坐标运算，可由 建立关于 的函数关系式。注意 的条件，可求出函数的值域； （2）由 且 ，结合（1）可建立关于 的方程，可求出，再分情况利 用对角线垂直的条件求出四边形 ABCD 的面积。 试题解析：（1） ， ， ， ，即函数 的值域为 15 6 3 3y x= ± ( )2,4− 1 2 log 3,  +∞   ( ) 2 1 2 log 2 8f x x x= − + + 2 2 8 0x x− + + > 2 2 8 0x x− + + > ( )( )2 2 8 4 2 0x x x x− − = − + < 2 4x− < < ( )f x ( )2,4− 2 2 8,t x x u t= − + + = 1 2 logy u= 2 2 8t x x= − + + ( ]0,9t ∈ ( ]0,3u ∈ 1 2 logy u= ( )0,+∞ 1 2 log 3,y  ∈ +∞   ( )f x 1 2 log 3,  +∞   ]1,2 1(− DABC // ,x y 12 <≤− x DABC // BDAC ⊥ ,x y )2,4( −+=++= yxCDBCABAD )2,4( yxDA −−−=∴ ),(// yxBCDABC =且 0)4()2( =−−−−∴ xyyx xyyx 2 102 −==+∴ 即 xxf 2 1)( −=∴ ]1,2 1(12 −∈∴<≤− yx又 )(xfy = ]1,2 1(− （2） 由 得  又 由（1）得  将联立得： 若 若 综上：四边形 ABCD 的面积为 16 19．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 时，平面 BEF⊥平面 ACD （Ⅰ）由 AB⊥平面 BCD⇒AB⊥CD，又 CD⊥BC⇒CD⊥平面 ABC，再利用条件可得不论 λ 为何 值，恒有 EF∥CD⇒EF⊂平面 BEF，就可得不论 λ 为何值恒有平面 BEF⊥平面 ABC． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面 BEF⊥平面 ACD⇒BE⊥平面 ACD⇒BE⊥AC．故只须让所求 λ 的值能证明 BE⊥AC 即可．在△ABC 中求出 λ 的值． 【解答】证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面 BCD，∴AB⊥CD， ∵CD⊥BC 且 AB∩BC=B，∴CD⊥平面 ABC． 又∵ ， ∴不论 λ 为何值，恒有 EF∥CD，∴EF⊥平面 ABC，EF⊂平面 BEF， ∴不论 λ 为何值恒有平面 BEF⊥平面 ABC． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又∵平面 BEF⊥平面 ACD， ∴BE⊥平面 ACD，∴BE⊥AC． ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°， ∴ ， ∴ ， 由 AB2=AE•AC 得 ，∴ ， 故当 时，平面 BEF⊥平面 ACD． )1,6(),3,2( ++=+=−−=+= yxBCABACyxCDBCBD BDAC ⊥ 0)3)(1()2)(6(0 =−++−+⇒=• yyxxBDAC DABC // 02 =+ yx    −= =    = −= 1 2 3 6 y x y x 或 16|BD||AC|2 1)0,8(),4,0(,3,6 =⋅=∴−===−= ABCDSBDACyx 四边形则 16|BD||AC|2 1)4,0(),0,8(,1,2 =⋅=∴−==−== ABCDSBDACyx 四边形则 20．（1） ；（2） ． （1）∵函数 f（x）＝ax2－4bx＋1 的图象的对称轴为直线 x＝ ，要使 f（x）＝ax2－4bx＋ 1 在区间[1，＋∞）上为增函数，当且仅当 a＞0 且 ≤1，即 2b≤a． 若 a＝1，则 b＝－1； 若 a＝2，则 b＝－1 或 1； 若 a＝3，则 b＝－1 或 1． ∴事件包含基本事件的个数是 1＋2＋2＝5． 而满足条件的数对（a，b）共有 3×5＝15 个 ∴所求事件的概率为 ＝ （2）方程 + =1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 的椭圆， 故 即 化简得 又 a∈[1，5]，b∈[2，4]，画出满足不等式组的平面区域， 如图阴影部分所示， 阴影部分的面积为 ，故所求的概率 P= = ．