2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题11 排列组合、二项式定理（讲）（解析版）

2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题11 排列组合、二项式定理（讲）（解析版）

专题11 排列组合 二项式定理 ‎1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】(1+2x2 )(1+x)4的展开式中x3的系数为 A．12 B．16 C．20 D．24‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得x3的系数为，故选A．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．‎ ‎2．【2019年高考浙江卷理数】在二项式的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由题意，的通项为，当时，可得常数项为；若展开式的系数为有理数，则，有共5个项．故答案为：，．‎ ‎【名师点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确．‎ ‎3．(2016年全国II)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A．24 B．18 C．12 D．9‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知有6种走法，有3种走法，由乘法计数原理知，共有 种走法．‎ ‎4、【2017新课标Ⅱ】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有种． 故选D．‎ ‎5．【2018全国卷Ⅲ】的展开式中的系数为 A．10 B．20 C．40 D．80‎ ‎【答案】C ‎【解析】，由，得，所以的系数为．‎ ‎6．【2017新课标Ⅰ】展开式中的系数为 A．15 B．20 C．30 D．35‎ ‎【答案】C ‎【解析】展开式中含的项为，故前系数为30，选C．‎ 一、考向分析： ‎ 排列组合 两个计数原理的应用 排列数及其性质的应用 组合数及其性质的应用 二项式定理 求展开式中的特定项或系数 二项式系数性质的应用 二项展开式的应用 二、考向讲解 考查内容 ‎ 解 题 技 巧 ‎ 两个计 数原理 ‎1、利用分类加法计数原理解题时2个注意点 ‎(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏。‎ ‎(2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复。‎ ‎2、一类元素允许重复选取的计数问题，可以采用分步乘法计数原理来解决，关键是明确要完成的一件事是什么。也就是说，用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据。‎ ‎3、(1)注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步。在分步时可能又用到分类加法计数原理。②注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化。‎ ‎(2)解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成。‎ 排列与组 合问题 ‎1．排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”。取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合。‎ ‎2．排列、组合问题的求解方法与技巧 ‎①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题要先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题倍缩法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团”排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难则反，等价转化。‎ ‎3、求解排列应用问题的5种主要方法 直接法：把符合条件的排列数直接列式计算 优先法：优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法：对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中 间接法：正难则反、等价转化的方法。‎ ‎4．解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)。对于排列组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列。‎ ‎5．定序问题可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列。‎ ‎6．不同元素的分配问题，往往是先分组再分配。在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的差异。其次对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”。‎ 二项式定理 ‎1．所谓二项展开式的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项。求解时，先准确写出通项Tr＋1＝Can－rbr，再把系数与字母分离出来(注意符号)，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式来求解即可。‎ ‎2．多项展开式问题一般是转化为二项展开式问题解决。‎ ‎3、赋值法研究二项式的系数和问题 ‎“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可。‎ ‎4．整除问题的解题思路 利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断。‎ ‎5．求近似值的基本方法 利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx。‎ ‎6．二项式定理中，通项公式Tk＋1＝Can－kbk是展开式的第k＋1项，不是第k项。‎ ‎7．(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在Tk＋1＝Can－kbk中，C是该项的二项式系数，该项的系数还与a，b有关。‎ ‎(2)二项式系数的最值和增减性与指数n的奇偶性有关。当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值。‎ 考查两个计数原理：‎ ‎【例1】用0，1，…，9十个数学，可以组成有重复数字的三位数的个数为 A．243 B．252 C．261 D．279‎ ‎【答案】B ‎【解析】能够组成三位数的个数是9×10×10=900，能够组成无重复数字的三位数的个数是9×9×8 =648．故能够组成有重复数字的三位数的个数为．‎ ‎【例2】‎ 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用()‎ A．288种 B．264种 C．240种 D．168种 ‎【答案】B ‎【解析】B，D，E，F用四种颜色，则有种涂色方法；B，D，E，F用三种颜色，则有种涂色方法；B，D，E，F用两种颜色，则有种涂色方法；所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法．‎ 考查排列组合问题：‎ ‎【例1】现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A．152 B．126 C．90 D．54‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于五个人从事四项工作，而每项工作至少一人，那么每项工作至多两人，因为甲、乙不会开车，所以只能先安排司机，分两类：(1)先从丙、丁、戊三人中任选一人开车；再从其余四人中任选两人作为一个元素同其他两人从事其他三项工作，共有种．(2)先从丙、丁、戊三人中任选两人开车：其余三人从事其他三项工作，共有种．所以，不同安排方案的种数是=126(种)．‎ ‎【例2】给个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：‎ 由此推断，当时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种，(结果用数值表示)‎ ‎【答案】21 43‎ ‎【解析】时，黑色正方形互不相邻的着色方案种数分别为2，3，5，8，由此可看出后一个总是前2项之和，故时应为5+8=13，时应为8+13=21；时，所有的着色方案种数为种，∴至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有种．‎ ‎【例3】有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为(　　)‎ A．150　 B．180　 C．200　 D．280‎ ‎【答案】A ‎【解析】第1步：将5名学生分成3组，有两种情况，第一类：按3,1,1分组，有C种分法；第2类：按2,2,1分组，有种分法，由分类加法计数原理得，共有C＋＝25种不同的分组方式；第2步：分配到3个班去，有A种分法，由分步乘法计数原理得，共有A＝25×6＝150(种)不同的分配方法。故选A。‎ 考查二项式定理：‎ ‎【例1】已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为的展开式中的第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式的展开式中奇数项的二项式系数和为．‎ ‎【例2】二项式的展开式中的系数为15，则 A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】 C ‎【解析】由，知，‎ ‎∴，解得或(舍去)，故选C．‎ ‎【例3】在的展开式中，记项的系数为，则 ‎=‎ A．45 B．60 C．120 D． 210‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知，，，，因此 ‎．‎ ‎【例4】已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝(　　)‎ A．－5　 B．5　 C．90　 D．180‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为(1＋x)10＝[2－(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，所以a8＝C·22＝180。‎ ‎【例5】设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝(　　)‎ A．0　 B．1　C．11　 D．12‎ ‎【答案】D ‎【解析】512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C·522 012－C·522 011＋…＋C×52·(－1)2 011＋C·(－1)2 012＋a，因为C·522 012－C·522 011＋…＋C×52·(－1)2 011能被13整除，且512 012＋a能被13整除，所以C·(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除，且0≤a<13，因此a的值为12。故选D。‎ 排列问题常用方法：‎ ‎【例1】6名同学排成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有________种不同站法．‎ ‎【答案】480‎ ‎【解析】法一：(位置分析法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，‎ 分为两步：第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有A种站法；‎ 第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上，有A种站法．‎ 由分步乘法计数原理可知，共有AA＝480(种)不同的站法．‎ 法二：(元素分析法)先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边)，再安排其他5人的位置，‎ 分为两步：第1步，将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A种站法；‎ 第2步，余下5人站在剩下的5个位置上，有A种站法．‎ 由分步乘法计数原理可知，共有AA＝480(种)不同的站法．‎ 法三：(间接法)6人无限制条件排队有A种站法，甲站在最左边或最右边时6人排队有2A种站法，因此符合条件的不同站法共有A－2A＝480(种)．‎ 求解排列问题的常用方法：‎ ‎(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算．‎ ‎(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置．‎ ‎(3)捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列．‎ ‎(4)插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．‎ ‎(5)分排问题直排处理的方法．‎ ‎(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法．‎ ‎(7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列．‎ 组合问题常用方法：‎ ‎【例】某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为(　　)‎ A．85　　　　　　 B．86 C．91 D．90‎ ‎【答案】B ‎【解析】法一：(直接法)由题意，可分三类考虑：‎ 第1类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为CC＋CC＋C＝31；‎ 第2类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为CC＋CC＋C＝34；‎ 第3类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为C＋CC＋C＝21.‎ 所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86.‎ 法二：(间接法)从5名男生和4名女生中任意选出4人，男、女生都有的选法有C－C－C＝120(种)；男、女生都有，且男生甲与女生乙都没有入选的方法有C－C ‎＝34(种)．所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为120－34＝86.‎ 分配问题常用方法：‎ ‎【例】按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？‎ ‎(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；‎ ‎(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；‎ ‎(3)平均分成三份，每份2本；‎ ‎(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本； ‎ ‎(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；‎ ‎(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；‎ ‎(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．‎ ‎【解析】(1)无序不均匀分组问题：‎ 先选1本，有C种选法；再从余下的5本中选2本，有C种选法；最后余下3本全选，有C种选法．故共有CCC＝60(种)．‎ ‎(2)有序不均匀分组问题：‎ 由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题的基础上，还应考虑再分配，共有CCCA＝360(种)．‎ ‎(3)无序均匀分组问题：‎ 先分三步，则应是CCC种方法，但是这里出现了重复．不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则CCC种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共有A种情况，而这A种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有＝15(种)．‎ ‎(4)有序均匀分组问题：在(3)的基础上再分配给3个人，共有分配方式·A＝CCC＝90(种)．‎ ‎(5)无序部分均匀分组问题：共有＝15(种)．‎ ‎(6)有序部分均匀分组问题：在(5)的基础上再分配给3个人，共有分配方式·A＝90(种)．‎ ‎(7)直接分配问题，甲选1本有C种方法，乙从余下5本中选1本有C种方法，余下4本留给两种C种方法，共有C·CC＝30(种)．‎ 解决分组分配问题的策略：‎ ‎(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(‎ n为均分的组数)、避免重复计数．‎ ‎(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．‎ ‎(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．‎ 二项式定理中的赋值法 ‎【例】若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋)4，① 令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋)4.②‎ 故(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a2＋a4＋a1＋a3)(a0＋a2＋a4－a1－a3)＝(2＋)4×(－2＋)4＝(3－4)4＝1.‎ 小结：赋值法是求展开式中的系数与系数和的常用方法，注意所赋的值要有利于问题的解决，可以取一个或几个值，常赋的值为0，±1.一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.‎