2017-2018学年吉林省梅河口市第五中学高二下学期期末考试数学（理）试题-解析版

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绝密★启用前 吉林省梅河口市第五中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析:先化简复数z,再求z的虚部.‎ 详解：由题得=，故复数z的虚部为-1,‎ 故答案为：C.‎ 点睛：（1）本题主要考查复数的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和运算能力.(2) 复数的实部是a,虚部为b，不是bi.‎ ‎2．6本相同的数学书和3本相同的语文书分给9个人,每人1本,共有不同分法( )‎ A. C B. A C. . A D. A·A ‎【答案】A ‎【解析】先分语文书有 种，再分数学书有，故共有 =，故选A.‎ ‎3．某一批花生种子,如果每粒发芽的概率为,那么播下粒种子恰好有粒发芽的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】略 视频 ‎4．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点．因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点．以上推理中（ ）‎ A．小前提错误 B．大前提错误 ‎ C．推理形式错误 D．结论正确 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因导函数的零点不一定都是函数的极值点,故其大前提是错误的，所以应选B．‎ 考点：推理的形式及三段论．‎ ‎5．已知随机变量服从正态分布，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎.‎ 故选A.‎ ‎6．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于 A. 0.2 B. 0.8 C. 0.196 D. 0.804‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由题意可知发病的牛的头数为，所以；‎ 故选C．‎ 考点：二项分布的期望与方差．‎ ‎7．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在区间内有极小值（ ）‎ A. 2个 B. 1个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】B ‎【解析】分析：由于极小值点的左边是减函数，右边是增函数，所以导函数图像中，零点左边在x轴下方，右边在x轴上方，所以观察导函数图像中的极小值点只有一个.‎ 详解：由于极小值点的左边是减函数，右边是增函数，所以导函数图像中，零点左边在x轴下方，右边在x轴上方，所以观察导函数图像中的极小值点只有一个（原点左边的一个零点）.故答案为：B.‎ 点睛：（1）本题主要考查导数的图像和极值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 一般地，函数在点连续时，如果附近左侧>0，右侧<0，那么是极大值.一般地，函数在点连续时，如果附近左侧<0，右侧>0，那么是极小值.‎ ‎8．由曲线，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为 (　　)‎ A. B. 4 C. D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】解析：作出曲线，直线y＝x－2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由得交点A(4，2)．‎ 因此与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为：‎ ‎.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．‎ ‎9． 的值为（ ）‎ A. 0 B. 2 C. －1 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：求二项展开式系数和一般方法为赋值法，即分别令x=1与x=-1得，最后相乘得结果.‎ 详解：令，则，‎ 令，则，‎ 因此 ‎，选D.‎ 点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.‎ ‎10．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 （ ）‎ A. 210种 B. 420种 C. 630种 D. 840种 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：题目要求有男女教师九人选三个到3个班担任班主任是三个元素在九个位置排列，要求这3位班主任中男女教师都有，则选的都是男教师和选的都是女教师不合题意就，需要从总数中去掉．解：∵共有男女教师九人选三个到3个班担任班主任共有A93‎ 种结果，要求这3位班主任中男女教师都有，则选的都是男教师和选的都是女教师不合题意，选的都是男教师有A53种结果，选的都是女教师有A43种结果，∴满足条件的方案有A93-（A53+A43）=420，故选B．‎ 考点：排列与组合问题 点评：排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素，属于中档题 ‎11．.盒子里有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，‎ 试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有5+10=15种结果，‎ 满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有10种结果，‎ ‎∴根据等可能事件的概率得到P=故选D．‎ ‎12．已知函数， 的图象分别与直线交于两点，则的最小值为     ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意， ，其中， ，且，所以.‎ 令，则， 为增函数.‎ 令，得.‎ 所以.时， 时,‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 所以时, .‎ 故选B.‎ 点睛：本题的解题关键是将要求的量用一个变量来表示，进而利用函数导数得到函数的单调性求最值，本题中有以下几个难点：‎ ‎（1）多元问题一元化，本题中涉及的变量较多，设法将多个变量建立等量关系，进而得一元函数式；‎ ‎（2）含绝对值的最值问题，先研究绝对值内的式子的范围，最后再加绝对值处理.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知函数的图象在点处的切线方程是，则_________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】∵函数的图象在点处的切线方程是 ‎∴， ‎ ‎∴‎ 故答案为4‎ ‎14．已知的取值如下表所示：‎ x ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ y ‎ ‎2.2 ‎ ‎4.3 ‎ ‎4.8 ‎ ‎6.7 ‎ 从散点图分析， 与线性相关，且，则 ．‎ ‎【答案】2.6‎ ‎【解析】试题分析：根据表中数据得 又由回归方程知回归方程的斜率为0.95；‎ ‎∴截距a＝4.5−0.95×2＝2.6．‎ 考点：回归方程 ‎15．从推广到第个等式为________________________________________‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】∵， ， ‎ ‎， … 所以猜想： ， 故答案为.‎ 点睛： 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）；在该题中解题的步骤为，由，…，中找出各式运算量之间的关系，归纳其中的规律，并大胆猜想，给出答案.‎ ‎16．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件．再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件。则下列结论中正确的是 ．‎ ‎①P（B）=；②P（B|）=；③事件B与事件相互独立；④是两两互斥的事件；⑤P（B）的值不能确定，因为它与中究竟哪一个发生有关．‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】‎ 试题解析：：由题意可知是两两互斥的事件，所以，因此②正确；而 ‎，而 ‎，故①③不正确，是两两互斥的事件，由此可知④正确；所以正确的是②④．‎ 考点：相互独立事件，条件概率．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了相互独立事件，条件概率的求法等，解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握相互独立事件的概率公式，本题较为复杂，正确理解事件的内涵是解题的突破点．解答本题的关键是在理解题意的基础上判断出是两两互斥的事件，根据条件概率公式得到，，，从而求得，根据公式即可求得．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知是复数，与均为实数.‎ ‎（1）求复数；‎ ‎（2）复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)； （2）.‎ ‎【解析】分析：（1）利用复数的运算法则化简，由复数为实数的充要条件可得出，从而可得结果；（2）利用复数的运算法则可得，由几何意义列不等式可得结果.‎ 详解：（1）设（，），‎ ‎∴，由题意得， ‎ ‎∴，‎ 由题意得， ‎ ‎∴， ‎ ‎（2）∵，‎ 根据条件得， ‎ 解得，∴实数的取值范围为. ‎ 点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算以及复数的几何意义，属于中档题．解题时一定要注意和以及 运算的准确性，否则很容易出现错误.‎ ‎18．若展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列.‎ ‎（1）求的值及展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎（2）此展开式中是否有常数项，为什么？‎ ‎【答案】（1） 第四项为第五项为.‎ ‎（2）无常数项.‎ ‎【解析】分析: (1)先根据题意得到，解方程即得n=7. 二项式系数最大的项为第四项和第五项，求第四项和第五项的二项式系数即得解.(2)假设展开式中有常数项，求出r的值，如果r有正整数解，则有，否则就没有.‎ 详解：（1）由题意可得，解得.‎ 所以展开式有8项，所以第四项和第五项的二项式系数最大，‎ 第四项为 第五项为.‎ ‎（2）展开式的通项公式为，‎ 令，解得（舍去），故展开式无常数项.‎ 点睛：（1）本题主要考查二项式定理的二项式系数，考查特定项的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本运算能力.(2) 二项式通项公式： （）,其中叫二项式展开式第项的二项式系数，而二项式展开式第项的系数是字母幂前的常数.‎ ‎19．某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行统计（满分150分），其中120分（含120分）以上为优秀，绘制了如图所示的两个频率分布直方图：‎ ‎（1）根据以上两个直方图完成下面的列联表：‎ 性别 成绩 优秀 不优秀 总计 男生 女生 总计 ‎（2）根据（1）中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ 附：，其中.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）有 ‎【解析】分析: (1)根据已知的数据完成2×2列联表. (2)先计算，再判断有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系.‎ 详解：（1）‎ 性别 成绩 优秀 不优秀 总计 男生 ‎13‎ ‎10‎ ‎23‎ 女生 ‎7‎ ‎20‎ ‎27‎ 总计 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎（2）由（1）中表格的数据知，，‎ ‎∵ ，∴ 有95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系.‎ 点睛：本题主要考查2×2列联表和独立性检验，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎20．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．‎ ‎（1）求张同学至少取到1道乙类题的概率；‎ ‎（2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用表示张同学答对题的个数，求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎【解析】试题分析：（1） 设事件“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，利用对立事件的定义求出张同学所取的3道题至少有1道乙类题；（2）张同学答对题的个数为，由题意知所有的可能取值为．利用随机变量的定义及分布列即可求出期望值．‎ 试题解析：（1）设事件“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有 ‎“张同学所取的3道题都是甲类题”．因为，所以．‎ ‎（2）所有的可能取值为．‎ ‎；；‎ ‎；．‎ 所以的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以．‎ 考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．‎ 视频 ‎21．（题文）已知函数.‎ ‎（1）当时，求的极值；（2）当时，讨论的单调性；‎ ‎（3）若对任意的恒有成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）极小值，无极大值；（2）参考解析；（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）运用导数的值与函数的单调性之间的关系求解；（2）借助题设条件和导数的有关知识求解.‎ 试题解析:‎ ‎（1），令，得，‎ 当时，，函数的在定义域单调递减；‎ 当时，在区间，上单调递减，‎ 在区间上，单调递增；‎ 当时，在区间，上单调递减，‎ 在区间，上单调递增，‎ 故时，递减区间为，‎ 时，递减区间为，递增区间为，‎ 时，递减区间为，递增区间为 ‎（2）由（1）知当时，函数在区间单调递减；所以当时，，问题等价于：对任意的，恒有成立，即，因为，‎ ‎∴所以，实数的取值范围是 考点：导数在研究函数的单调性最值等方面的运用．‎ ‎【易错点晴】函数是高中数学的核心内容,也是高考必考的重要考点.运用导数这一工具研究函数的单调性和极值最值等问题是高考的基本题型.解答这类问题时,一定要先求导,再对求导后的导函数的解析式进行变形(因式分解或配方),其目的是搞清求导后所得到的导函数的值的符号,以便确定其单调性,这是解答这类问题容易忽视的.‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的方程为，直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）将的方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）为上一动点，求到直线的距离的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）最大值是和最小值是.‎ ‎【解析】分析：（1）利用极坐标公式化成直角坐标方程.(2)先求出直线的直角坐标方程为，再利用圆心到直线的距离求到直线的距离的最大值是和最小值是.‎ 详解：（1）因为曲线的方程为，则，‎ 所以的直角坐标方程为，即.‎ ‎（2）因为直线的参数方程为（为参数），‎ 所以直线的直角坐标方程为，‎ 因为圆心到直线的距离，‎ 则直线与圆相离，‎ 所以所求到直线的距离的最大值是和最小值是.‎ 点睛：(1)本题主要考查极坐标、参数方程和直角坐标的互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答第2问的关键是数形结合.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 ‎.‎ ‎（1）当时，求函数的最大值；‎ ‎（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）4（2）‎ ‎【解析】分析：（1）利用绝对值三角不等式求函数的最大值.(2)先求 ‎，再解不等式即得实数的取值范围.‎ 详解：（1）当时，，‎ 由，‎ 故，‎ 所以，当时，取得最大值，且为.‎ ‎（2）对任意恒成立，即为，‎ 即即有，‎ 即为或，‎ 所以的取值范围是.‎ 点睛：（1）本题主要考查绝对值三角不等式和不等式的恒成立，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 重要绝对值不等式：,使用这个不等式可以求绝对值函数的最值，先要确定是使用左边还是右边，如果两个绝对值中间是“-”号，就用左边，如果两个绝对值中间是“+”号，就使用右边.再确定中间的“±”号，不管是“+”还是“-”，总之要使中间是常数.‎