2020版高考数学大一轮复习（讲义·理·新人教A版）第八章 平面解析几何 第5节 椭圆 第1课时椭圆及简单几何性质

2020版高考数学大一轮复习（讲义·理·新人教A版）第八章 平面解析几何 第5节 椭圆 第1课时椭圆及简单几何性质

第5节　椭　圆 考试要求　1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.‎ 知 识 梳 理 ‎1.椭圆的定义 在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.‎ 其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：‎ ‎(1)若a＞c，则集合P为椭圆；‎ ‎(2)若a＝c，则集合P为线段；‎ ‎(3)若a＜c，则集合P为空集.‎ ‎2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0)‎ ＋＝1(a>b>0)‎ 图形 性质范围 ‎－a≤x≤a ‎－b≤y≤b ‎－b≤x≤b ‎－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，‎ B1(0，－b)，B2(0，b)‎ A1(0，－a)，A2(0，a)，‎ B1(－b，0)，B2(b，0)‎ 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 ‎|F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0，1)‎ a，b，c的关系 c2＝a2－b2‎ ‎[微点提醒]‎ 点P(x0，y0)和椭圆的位置关系 ‎(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1；‎ ‎(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1；‎ ‎(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.‎ 基 础 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(　　)‎ ‎(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(　　)‎ ‎(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.(　　)‎ ‎(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同.(　　)‎ 解析　(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.‎ ‎(2)因为e＝＝＝，所以e越大，则越小，椭圆就越扁.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2.(选修2－1P49T1改编)若F1(3，0)，F2(－3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是________.‎ 解析　因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1.‎ 答案　＋＝1‎ ‎3.(选修2－1P49A6改编)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________.‎ 解析　设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，‎ 所以c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0)，‎ 由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，‎ 把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，‎ 又x＞0，所以x＝，‎ ‎∴P点坐标为(，1)或(，－1).‎ 答案　(，1)或(，－1)‎ ‎4.(2018·张家口调研)椭圆＋＝1的焦点坐标为(　　)‎ A.(±3，0) B.(0，±3) C.(±9，0) D.(0，±9)‎ 解析　根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c2＝a2－b2＝25－16＝9，∴c＝3，故焦点坐标为(0，±3).‎ 答案　B ‎5.(2018·全国Ⅰ卷)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　不妨设a>0.因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以焦点在x轴上，且c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝.‎ 答案　C ‎6.(2018·武汉模拟)曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的(　　)‎ A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 解析　曲线＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为.曲线＋＝1(k<9)表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为2，短轴长为2，焦距为8，离心率为.对照选项，知D正确.‎ 答案　D 第1课时　椭圆及简单几何性质 考点一　椭圆的定义及其应用 ‎【例1】 (1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是(　　)‎ A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 ‎(2)(2018·德阳模拟)设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为(　　)‎ A.24 B.12 C.8 D.6‎ 解析　(1)连接QA.由已知得|QA|＝|QP|.‎ 所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.‎ 又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.‎ ‎(2)∵P为椭圆C：＋＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，‎ ‎∴|PF1|＝6，|PF2|＝8，‎ 又∵|F1F2|＝2c＝2＝10，‎ ‎∴易知△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24，‎ ‎∵△PF1F2的重心为点G，∴S△PF1F2＝3S△GPF1，‎ ‎∴△GPF1的面积为8.‎ 答案　(1)A　(2)C 规律方法　(1)椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.‎ ‎(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.‎ ‎【训练1】 (1)(2018·福建四校联考)已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)‎ A.2 B.6 C.4 D.2‎ ‎(2)(2018·衡水中学调研)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________.‎ 解析　(1)由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4.‎ ‎(2)由椭圆的方程可知F2(3，0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|，∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|＝＝5，2a＝10，∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5.‎ 答案　(1)C　(2)－5‎ 考点二　椭圆的标准方程 ‎【例2】 (1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)‎ A.－＝1 B.＋＝1‎ C.－＝1 D.＋＝1‎ ‎(2)(一题多解)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，则椭圆的标准方程为________________.‎ 解析　(1)设圆M的半径为r，‎ 则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，‎ 所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，‎ 且2a＝16，2c＝8，‎ 所以a＝8，c＝4，b＝＝＝＝4，‎ 故所求的轨迹方程为＋＝1.‎ ‎(2)法一　当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1 (a>b>0).‎ ‎∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，‎ ‎∴　解得 ‎∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；‎ 当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1 (a>b>0).‎ ‎∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，‎ ‎∴　解得 与a>b矛盾，故舍去.‎ 综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.‎ 法二　设椭圆方程为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n).‎ ‎∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，‎ ‎∴　解得 综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.‎ 答案　(1)D　(2)＋y2＝1‎ 规律方法　根据条件求椭圆方程的主要方法有：‎ ‎(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.‎ ‎(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.‎ ‎【训练2】 (1)(2018·济南模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎(2)(2018·榆林模拟)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为(　　)‎ A.＋y2＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 解析　(1)椭圆长轴长为6，即2a＝6，得a＝3，‎ ‎∵两焦点恰好将长轴三等分，‎ ‎∴2c＝×2a＝2，得c＝1，‎ 因此，b2＝a2－c2＝9－1＝8，‎ 所以此椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)由题意，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，将A(c，y1)代入椭圆方程得＋＝1，由此求得y＝，所以|AB|＝3＝，又c＝1，a2－b2＝c2，可解得a＝2，b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ 答案　(1)B　(2)C 考点三　椭圆的几何性质　多维探究 角度1　椭圆的长轴、短轴、焦距 ‎【例3－1】 (2018·泉州质检)已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于(　　)‎ A.8 B.7 C.6 D.5‎ 解析　因为椭圆＋＝1的长轴在x轴上，所以解得6b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示，‎ 设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，‎ ‎∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.‎ ‎∵|OF2|＝c，过P作PE垂直x轴于点E，则∠PF2E＝60°，所以|F2E|＝c，|PE|＝c，即点P(2c，c).∵点P在过点A，且斜率为的直线上，‎ ‎∴＝，解得＝，∴e＝.‎ 答案　D 角度3　与椭圆性质有关的最值或范围问题 ‎【例3－3】 (2017·全国Ⅰ卷)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)‎ A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，]∪[9，＋∞)‎ C.(0，1]∪[4，＋∞) D.(0，]∪[4，＋∞)‎ 解析　①当焦点在x轴上，依题意得 ‎03，且≥tan＝，∴m≥9，‎ 综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞).‎ 答案　A 规律方法　1.求椭圆离心率的方法 ‎(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.‎ ‎(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.‎ ‎2.在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围、离心率的范围等不等关系.‎ ‎【训练3】 (1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(　　)‎ A.1 B. C.2 D.2 ‎(2)(2019·豫南九校联考)已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　(1)设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，‎ 依题意知，当三角形的高为b时面积最大，‎ 所以×2cb＝1，bc＝1，‎ 而2a＝2≥2＝2(当且仅当b＝c＝1时取等号).即长轴长2a的最小值为2.‎ ‎(2)不妨设椭圆方程为＋＝1(a>1)，‎ 与直线l的方程联立 消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，‎ 由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，‎ 解得a≥，‎ 所以e＝＝≤，‎ 所以e的最大值为.‎ 答案　(1)D　(2)A ‎[思维升华]‎ ‎1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.‎ ‎2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小.‎ ‎2.在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根.‎ ‎3.椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值等于(　　)‎ A.5 B.3 C.5或3 D.8‎ 解析　由题意知椭圆焦距为2，即c＝1，又满足关系式a2－b2＝c2＝1，故当a2＝4时，m＝b2＝3；当b2＝4时，m＝a2＝5.‎ 答案　C ‎2.(2019·聊城模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的方程为(　　)‎ A.＋y2＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 解析　由题意可得＝，4a＝12，解得a＝3，c＝2，则b＝＝，‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ 答案　D ‎3.已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝2经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F和上顶点B，则椭圆C的离心率为(　　)‎ A. B. C.2 D. 解析　由题意得，椭圆的右焦点F为(c，0)，上顶点B为(0，b).因为圆(x－1)2＋(y－1)2＝2经过右焦点F和上顶点B，所以解得b＝c＝2，则a2＝b2＋c2＝8，解得a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝＝.‎ 答案　D ‎4.(2019·湖北重点中学联考)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为(　　)‎ A. B.1 C. D. 解析　不妨设A点在B点上方，由题意知：F2(1，0)，将F2的横坐标代入椭圆方程＋＝1中，可得A点纵坐标为，故|AB|＝3，所以由S＝Cr得内切圆半径r＝＝＝(其中S为△ABF1的面积，C为△ABF1的周长).‎ 答案　D ‎5.已知椭圆＋＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是(　　)‎ A. B.2 C.2 D. 解析　由椭圆的方程可知a＝2，c＝，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3，|PF2|＝1.又|F1F2|＝2c＝2，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即△PF1F2为直角三角形，且∠PF2F1为直角，‎ 所以S△PF1F2＝|F1F2||PF2|＝×2×1＝.‎ 答案　A 二、填空题 ‎6.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－2)且a＝2b，则椭圆的标准方程为________.‎ 解析　∵c＝2，a2＝4b2，∴a2－b2＝3b2＝c2＝12，‎ b2＝4，a2＝16.又焦点在y轴上，‎ ‎∴标准方程为＋＝1.‎ 答案　＋＝1‎ ‎7.设F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB的面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为______________.‎ 解析　∵△F2AB是面积为4的等边三角形，‎ ‎∴AB⊥x轴，∴A，B两点的横坐标为－c，代入椭圆方程，可求得|F1A|＝|F1B|＝.‎ 又|F1F2|＝2c，∠F1F2A＝30°，‎ ‎∴＝×2c.①‎ 又S△F2AB＝×2c×＝4，②‎ a2＝b2＋c2，③‎ 由①②③解得a2＝9，b2＝6，c2＝3，‎ ‎∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ 答案　＋＝1‎ ‎8.(2019·昆明诊断)椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是________.‎ 解析　记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.‎ 则m＝|PF1|·|PF2|≤＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，等号成立，即m取得最大值25.∴点P的坐标为(－3，0)或(3，0).‎ 答案　(－3，0)或(3，0)‎ 三、解答题 ‎9.已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3).若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程.‎ 解　设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).‎ 设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0).‎ ‎∵F1A⊥F2A，∴·＝0，‎ 而＝(－4＋c，3)，＝(－4－c，3)，‎ ‎∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，‎ ‎∴c2＝25，即c＝5.‎ ‎∴F1(－5，0)，F2(5，0).‎ ‎∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋ ‎＝＋＝4.‎ ‎∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.‎ ‎∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎10.已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.‎ ‎(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；‎ ‎(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程.‎ 解　(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.‎ 所以a＝c，椭圆的离心率为e＝＝.‎ ‎(2)由题知A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝，设B(x，y).‎ 由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，‎ 解得x＝，y＝－，即B.‎ 将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，‎ 即a2＝3c2.①‎ 又由·＝(－c，－b)·＝，‎ 得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②‎ 由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.‎ 所以椭圆的方程为＋＝1.‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎11.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若·＝0，则椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　由题意知，M(－a，0)，N(0，b)，F(c，0)，∴＝(－a，－b)，＝(c，－b).∵·＝0，∴－ac＋b2＝0，即b2＝ac.又b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac.∴e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝(舍).∴椭圆的离心率为.‎ 答案　D ‎12.(2019·湖南湘东五校联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60°<∠PF1F2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)‎ A.(，1) B.(，)‎ C. D. 解析　由题意可得，|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2|·|PF1|cos ∠PF1F2‎ ‎＝4c2＋4c2－2·2c·2c·cos ∠PF1F2，即|PF2|＝2c·，‎ 所以a＝＝c＋c·，又60°<∠PF1F2<120°，‎ ‎∴－1)上两点A，B满足＝2，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大.‎ 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2，‎ 得即x1＝－2x2，y1＝3－2y2.因为点A，B在椭圆上，所以得y2＝m＋，所以x＝m－(3－2y2)2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.‎ 答案　5‎ ‎14.(2019·石家庄月考)已知点M(，)在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，且椭圆的离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)，求△PAB的面积.‎ 解　(1)由已知得解得 故椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0).‎ 由消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，‎ 由根与系数的关系得x1＋x2＝－m，x1x2＝，‎ 由Δ＝36m2－16(3m2－12)>0得m2<16，‎ 则x0＝＝－m，y0＝x0＋m＝m，‎ 即D.‎ 因为AB是等腰△PAB的底边，所以PD⊥AB，‎ 即PD的斜率k＝＝－1，解得m＝2，满足m2<16.‎ 此时x1＋x2＝－3，x1x2＝0，‎ 则|AB|＝|x1－x2|＝·＝3，‎ 又点P到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝，‎ 所以△PAB的面积为S＝|AB|·d＝.‎ 新高考创新预测 ‎15.(多填题)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，其关于直线y＝bx的对称点Q在椭圆上，则离心率e＝________，S△FOQ＝________.‎ 解析　设点Q(x，y)，则由点Q与椭圆的右焦点F(1，0)关于直线y＝bx对称得 解得代入椭圆C的方程得＋＝1，结合a2＝b2＋1解得 则椭圆的离心率e＝＝，S△FOQ＝|OF|·＝×1×＝.‎ 答案