高中数学 2_4_2第1课时课时同步练习 新人教A版选修2-1

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第2章 ‎2.4.2‎ 第1课时 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　 B．1‎ C．2 D．4‎ 解析：　圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心(3,0)到抛物线准线x＝－的距离为4，‎ ‎∴＝1，∴p＝2，故选C.‎ 答案：　C ‎2．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A、B的抛物线方程是(　　)‎ A．y2＝x　　　　　　　　 B．y2＝±x C．y2＝－x D．y2＝±x 解析：　当抛物线开口向右时，可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．‎ ‎∵A，∴＝p，即p＝.∴y2＝x.‎ 同理，当抛物线开口向左时，抛物线标准方程为y2＝－x.‎ 答案：　B ‎3．已知抛物线y2＝2px(p>0)，以抛物线上动点与焦点连线为直径的圆与y轴的位置关系是(　　)‎ A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定 解析：　‎ 如图，|PP2|＝|PP1|－|P1P2|‎ ‎＝(|MM1|＋|FF1|)－|P1P2|‎ ‎＝(|MM2|＋|M‎1M2‎|＋|FO|＋|OF1|)－P1P2‎ ‎＝(|MM2|＋|OF|)‎ ‎＝|MM1|＝|MF|，‎ ‎∴该圆与y轴相切．‎ 答案：　C ‎4．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为(　　)‎ A．y2＝±4x B．y2＝±8x C．y2＝4x D．y2＝8x 解析：　y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为.‎ 过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2，‎ 令x＝0，得y＝－.∴×·＝4，‎ ‎∴a2＝64，‎ ‎∴a＝±8，所以抛物线方程为y2＝±8x，故选B.‎ 答案：　B 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．抛物线的焦点与双曲线－＝1的焦点重合，则抛物线的准线方程是________．‎ 解析：　在双曲线－＝1中，a2＝16，b2＝9，‎ ‎∴c＝＝＝5，‎ ‎∴焦点坐标是F1(－5,0)，F2(5,0)．‎ 当抛物线焦点是F1(－5,0)时，＝5，‎ 准线方程是x＝5；‎ 当抛物线焦点是F2(5,0)时，＝5，‎ 准线方程是x＝－5，‎ 所以应填x＝－5或x＝5.‎ 答案：　x＝±5‎ ‎6．已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A、B满足＝3，则弦AB 的中点到准线的距离为________．‎ 解析：　如图，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，‎ 由题意设AB的方程为 y＝k(x－1)(k≠0)，‎ 由，‎ 消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，‎ ‎∴xA·xB＝1，‎ 又∵＝3，‎ ‎∴xA＋3xB＝4，‎ 解得xA＝3，xB＝，‎ ‎∴AB的中点M到准线的距离|MN|＝＝.‎ 答案：　 三、解答题(每小题10分，共20分)‎ ‎7．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若O·A＝－4，求点A的坐标．‎ 解析：　由y2＝4x，知F(1,0)．‎ ‎∵点A在y2＝4x上，‎ ‎∴不妨设A，‎ 则O＝，A＝.‎ 代入O·A＝－4中，‎ 得＋y(－y)＝－4，‎ 化简得y4＋12y2－64＝0.‎ ‎∴y2＝4或－16(舍去)，y＝±2.‎ ‎∴点A的坐标为(1,2)或(1，－2)．‎ ‎8．已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线，被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程．‎ 解析：　当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程是y2＝2px(p>0)，则焦点F，直线l为y＝x－.‎ 设直线l与抛物线的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A、B分别向抛物线的准线作垂线AA1、BB1，垂足分别为A1、B1.‎ 则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|‎ ‎＝＋＝x1＋x2＋p＝6，‎ ‎∴x1＋x2＝6－p.①‎ 由消去y，得2＝2px，‎ 即x2－3px＋＝0.‎ ‎∴x1＋x2＝3p，代入①式得：3p＝6－p，∴p＝.‎ ‎∴所求抛物线标准方程是y2＝3x.‎ 当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是：y2＝－3x.‎ 综上，抛物线方程为y2＝±3x.‎ 尖子生题库☆☆☆‎ ‎9．(10分)已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．‎ ‎(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；‎ ‎(2)求线段AB的长的最小值．‎ 解析：　由y2＝4x，得p＝2，‎ 其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ ‎(1)由抛物线的定义可知．‎ ‎|AF|＝x1＋，从而x1＝4－1＝3.‎ 代入y2＝4x，解得y1＝±2.‎ ‎∴点A的坐标为(3,2)或(3，－2)．‎ ‎(2)当直线l的斜率存在时，‎ 设直线l的方程为y＝k(x－1)．‎ 与抛物线方程联立，得，‎ 消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，‎ 因为直线与抛物线相交于A、B两点，‎ 则k≠0，并设其两根为x1，x2，‎ 则x1＋x2＝2＋.‎ 由抛物线的定义可知，‎ ‎|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋>4，‎ 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4.‎ 所以|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.‎