专题12-1导函数解答题突破第一季-2019年领军高考数学（理）压轴题必刷题

专题12-1导函数解答题突破第一季-2019年领军高考数学（理）压轴题必刷题

专题12-1导函数解答题突破第一季 ‎1．已知函数 ‎（Ⅰ）若函数存在最小值，且最小值大于，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若存在实数，使得，求证：函数在区间上单调递增。‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)详见解析 ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）f′（x），‎ ‎①a≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，‎ ‎∴f（x）在（0，+∞）递增，故无最小值；‎ ‎②a＞0时，由f′（x）＞0，解得：x＞a，‎ 由f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，‎ 故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，‎ 此时f（x）有最小值，且f（x）min＝a（1﹣a﹣lna），‎ 令g（a）＝1﹣a﹣lna（a＞0），‎ 则g（a）在（0，+∞）递减，又g（1）＝0，‎ ‎∴0＜a＜1时，g（a）＞0，此时f（x）min＞0，‎ a≥1时，g（a）≤0，此时f（x）min≤0，‎ 故a的范围是（0，1）；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，要存在实数x1，x2，使得f（x1）＝f（x2），则a＞0，‎ ‎∵f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，‎ 不妨设0＜x1＜x2，则0＜x1＜a，‎ 令h（x）＝f（x）﹣f（2a﹣x），x∈（0，a），‎ 则h′（x），‎ ‎∴x∈（0，a）时，h′（x）＜0，‎ ‎∴h（x）在（0，a）递减，‎ ‎∵x1∈（0，a），∴h（x1）＞h（a）＝f（a）﹣f（a）＝0，‎ 即f（x1）﹣f（2a﹣x1）＞0，‎ ‎∴f（x1）＞f（2a﹣x1），‎ ‎∵f（x1）＝f（x2），‎ ‎∴f（x2）＞f（2a﹣x1），‎ ‎∵0＜x1＜a，∴2a﹣x1＞a，‎ ‎∵f（x）在（a，+∞）递增，‎ ‎∴x2＞2a﹣x1，∴a，‎ ‎∴函数f（x）在区间[，+∞）递增，‎ ‎∵x1≠x2，∴，‎ ‎∴函数f（x）在区间[，+∞）上单调递增．‎ ‎2．已知函数 ()．‎ ‎（1）若，，求函数的图像在处的切线方程；‎ ‎（2）若，求函数的单调区间；‎ ‎（3）若，已知函数在其定义域内有两个不同的零点，，且．不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1） ；（2）单调增区间为，单调减区间为；（3）.‎ ‎（3）当时，，，‎ ‎①当时，则在上恒成立，则单调递减，‎ 函数最多有一个零点，所以不符题意；‎ ‎②当时，令，解得，列表如下：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 由表可知，，‎ 因为函数有两个零点，所以，解得，‎ 此时，，所以存在，使得，‎ ‎，‎ 设，令，解得，‎ 列表可知，，所以，‎ 故存在，使得， ‎ 设，因为，所以，‎ 因为，解得，且，‎ 因为，所以，即，‎ 整理得，设，‎ 则，，‎ ‎①当时，在上恒成立，所以单调递增，‎ 所以，即在上单调递增， ‎ 所以存在正整数n，且n的最大值为2，满足题意.‎ ‎10．已知函数 ‎（1）讨论的极值点的个数；‎ ‎（2）若有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且求的最小值 ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）法一：由题意得，‎ 令，即。. ‎ ‎①当，即时，对任意恒成立，即对任意恒成立，此时没有极值点。‎ ‎②当，即或时。‎ 若，设方程的两个不同实根为，不妨设，‎ 则，‎ 故，‎ 当或时，；‎ 当时，，‎ 故是函数的两个极值点。‎ 若，设方程的两个不同实根为，‎ 则，故。‎ 当时，，故函数没有极值点。‎ 当时，函数没有极值点。‎ 法二：，‎ ‎。.‎ 故有两个极值点。. ‎ 综上所述，当时，没有极值点，‎ 当时，有两个极值点。‎ ‎（2）由题意知，，‎ 则易知为方程的两个根，且，‎ 所以 记，由且知，‎ 则，‎ 记，‎ 则，‎ 故在上单调递减。‎ 由知，‎ 从而，即，‎ 故，结合，解得，‎ 从而的最小值为，‎ 即的最小值为。‎