2020届高考理科数学全优二轮复习训练：专题5 第1讲　等差数列、等比数列

2020届高考理科数学全优二轮复习训练：专题5 第1讲　等差数列、等比数列

专题复习检测 A卷 ‎1．(2018年天津南开区三模)若数列{an}中，a1＝3，an＋an－1＝4(n≥2)，则a2 018＝(　　)‎ A．3　 B．1　　‎ C．－3　 D．4‎ ‎【答案】B ‎2．设数列{an}，{bn}都是等差数列且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于(　　)‎ A．0　 B．37　　‎ C．100　 D．－37‎ ‎【答案】C ‎3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为(　　)‎ A．　　　　 B．－　　‎ C．　 D．－ ‎【答案】C ‎4．(2019年陕西西安模拟)公差不为零的等差数列{an}中，a7＝2a5，则数列{an}中与4a5的值相等的是(　　)‎ A．a8　 B．a9　　　‎ C．a10　 D．a11‎ ‎【答案】D ‎【解析】设等差数列{an}的公差为d，∵a7＝2a5，∴a1＋6d＝2(a1＋4d)，则a1＝－2d.∴an＝a1＋(n－1)d＝(n－3)d，则4a5＝4(a1＋4d)＝4(－2d＋4d)＝8d＝a11.故选D．‎ ‎5．(2018年安徽合肥二模)中国古代数学有着很多令人惊叹的成就，北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术，即：将木桶一层层堆放成坛状，最上一层长有a个，宽有b个，共计ab个木桶，每一层长宽各比上一层多一个，共堆放n层，设最底层长有c个，宽有d个，则共计有木桶个．假设最上层有长2宽1共2个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放15层，则木桶的个数为(　　)‎ A．1 260　 B．1 360　　‎ C．1 430　 D．1 530‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意可知a＝2，b＝1，n＝15，则c＝2＋14＝16，d＝1＋14＝15，代入题中所给的公式，可计算出木桶的个数为＝1 360.‎ ‎6．等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝________.‎ ‎【答案】－ ‎【解析】由＝，a1＝－1，知公比q≠1，＝－.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列且公比为q5，故q5＝－，q＝－.‎ ‎7．(2019年湖南怀化一模)已知f(x)＝(x－4)3＋x－1，{an}是公差不为0的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝27，则f(a5)的值为________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】∵f(x)＝(x－4)3＋x－1，∴f(x)－3＝(x－4)3＋x－4＝g(x－4)．令x－4＝t，可得g(t)＝t3＋t为奇函数且单调递增．{an}是公差不为0的等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5.∵f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝27，∴g(a1)＋g(a2)＋…＋g(a9)＝0，∴g(a5)＝0，则f(a5)＝g(a5)＋3＝3.‎ ‎8．(2018年福建福州模拟)设等差数列{an}的公差d≠0，且a2＝－d.若ak是a6与ak＋6的等比中项，则k＝________.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】∵ak是a6与ak＋6的等比中项，‎ ‎∴a＝a6ak＋6.又等差数列{an}的公差d≠0，且a2＝－d，‎ ‎∴[a2＋(k－2)d]2＝(a2＋4d)[a2＋(k＋4)d]，化简得(k－3)2＝3(k＋3)，解得k＝9或k＝0(舍去)．‎ ‎9．在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.‎ ‎(1)求an；‎ ‎(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎【解析】(1)设{an}的公比为q，依题意得 解得因此an＝3n－1.‎ ‎(2)因为bn＝log3an＝n－1，‎ 所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝.‎ ‎10．(2019年广西河池模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)判断{an}是否为等差数列．‎ ‎【解析】(1)∵Sn＝－2n2＋n＋2，‎ ‎∴当n≥2时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1.‎ ‎∴an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n＋3.‎ 又a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，‎ ‎∴数列{an}的通项公式是an＝ ‎(2)由(1)知，当n≥2时，an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4，‎ 但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，‎ ‎∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列．‎ B卷 ‎11．(2019年江西南昌模拟)在各项均为正数的等比数列{an}中，(a1＋a3)(a5＋a7)＝4a，则下列结论中正确的是(　　)‎ A．数列{an}是递增数列 B．数列{an}是递减数列 C．数列{an}是常数列 D．数列{an}有可能是递增数列也有可能是递减数列 ‎【答案】C ‎【解析】各项均为正数的等比数列{an}中，因为(a1＋a3)(a5＋a7)＝4a成立，即a1a5＋a1a7＋a3a5＋a3a7＝4a成立．利用等比数列的定义和性质化简可得a＋a＋a＋a＝4a，进一步化简得a＋a＝2a.设公比为q，则得aq4＋aq8＝2aq6，化简可得1＋q4＝2q2，即(q2－1)2＝0，所以q2＝1，故q＝1(由于各项均为正数的等比数列，故q＝－1舍去)．故此等比数列是常数列．故选C．‎ ‎12．(2019年辽宁沈阳一模)已知数列{an}的首项a1＝m，其前n项和为Sn，且满足Sn＋Sn＋1＝3n2＋2n，若对任意n∈N*，an－，所以m的取值范围是.‎ ‎13．(2018年上海)给定无穷数列{an}，若无穷数列{bn}满足：对任意n∈N*，都有|bn－an|≤1，则称{bn}与{an}“接近”．‎ ‎(1)设{an}是首项为1，公比为的等比数列，bn＝an＋1＋1，n∈N*，判断数列{bn}是否与{an}接近，并说明理由；‎ ‎(2)设数列{an}的前四项为a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝8，{bn}是一个与{an}接近的数列，记集合M＝{x|x＝bi，i＝1,2,3,4}，求M中元素的个数m；‎ ‎(3)已知{an}是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，且在b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．‎ ‎【答案】【解析】(1)数列{bn}与{an}接近，理由如下：‎ ‎∵{an}是首项为1，公比为的等比数列，‎ ‎∴an＝，bn＝an＋1＋1＝＋1.‎ ‎∴|bn－an|＝＝1－＜1，n∈N*.‎ ‎∴数列{bn}与{an}接近．‎ ‎(2)∵{bn}与{an}接近，∴an－1≤bn≤an＋1.‎ ‎∵a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝8，∴b1∈[0,2]，b2∈[1,3]，b3∈[3,5]，b4∈[7,9]．‎ 可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b3与b4不相等，‎ 集合M＝{x|x＝bi，i＝1,2,3,4}，M中元素的个数m＝3或4.‎ ‎(3)依题意，得an＝a1＋(n－1)d.‎ ‎①若d＞0，取bn＝an，得bn＋1－bn＝an＋1－an＝d＞0，‎ 则b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中有200个正数，符合题意；‎ ‎②若d＝0，取bn＝an－，则|bn－an|＝＝≤1，n∈N*，得bn＋1－bn＝－＞0，‎ 则b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中有200个正数，符合题意；‎ ‎③若－2＜d＜0，可令b2n－1＝a2n－1－1，b2n＝a2n＋1，‎ 则b2n－b2n－1＝a2n＋1－(a2n－1－1)＝2＋d＞0，‎ 则b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中至少有100个正数，符合题意；‎ ‎④若d≤－2，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，‎ 即an－1≤bn≤an＋1，an＋1－1≤bn＋1≤an＋1＋1，‎ 得bn＋1－bn≤an＋1＋1－(an－1)＝2＋d≤0，‎ b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中无正数，不符合题意．‎ 综上，d的取值范围是(－2，＋∞)．‎