数学理卷·2018届福建省三明市第一中学高三上学期第一次月考（2017

数学理卷·2018届福建省三明市第一中学高三上学期第一次月考（2017

三明一中2017-2018学年第一学期第一次月考考试 高三理科数学试卷 ‎（考试时间：120分钟 满分：150分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上．‎ ‎1．已集合，，则（　 ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知，则（　 ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎3．函数在处的切线方程为（　 ）.‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4． “”是“”的（　 ）.‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．已知函数，则一定包含零点的区间是（　 ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知函数，下列说法正确的是（　 ）.‎ A．关于直线对称 B．关于点对称 ‎ C．是定义在上的奇函数 D．最小正周期为 ‎7．下列函数中，图象的一部分如右图所示的是( ).‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎8．已知，则（　 ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知，，则的最小值为（　 ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在中，分别为角的对边，若，则的形状为（　 ）.‎ A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 ‎11．设满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的值为（ ）.‎ ‎ A． B． C． D．或 ‎ ‎12．已知对任意的，大于零恒成立，若，则的最大值为（　 ）.‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案写在答题卷相应位置上．‎ ‎13． ．‎ ‎14．已知，则 ．‎ ‎15．已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围为 ．‎ ‎16．在某海滨城市附近海面上有一台风，据监测，当前台风中心位于城市（如图）的东偏南方向的海面处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为，并且以的速度不断增大，‎ 问该城市受台风侵袭的时间共 小时. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知均为锐角，且.‎ ‎（Ⅰ）分别求及的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期及对称轴方程；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，求在上的单调递减区间.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）当时，关于的方程有解，求的取值范围.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在中，,,为边上一点. ‎ ‎（Ⅰ）,，求的长；‎ ‎（Ⅱ）若，求的周长的最大值.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求证；‎ ‎（Ⅱ）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围;‎ ‎（III）若，证明.‎ 注意：请考生在22、23题两题中任选一道题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴轴为正半轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系，直线经过,倾斜角.‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）设与曲线相交于两点，求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，‎ ‎（Ⅰ）若，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若的解集为，且，求的最小值.‎ 三明一中2017-2018学年（上）第一次月考高三理科数学试卷参考答案 一、 选择题：每小题5分，共60分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B D B C A B A D B C C 二、 填空题：每小题5分，共20分.‎ ‎ 13. 14. 15._________; 16.______. ‎ 三、解答题：第17题10分，第18-22题，每题12分.‎ ‎ 17.解：（Ⅰ）因为，所以， ‎ 又因为，所以， ………2分 ‎ ………3分 所以，‎ 得，. ………8分 ‎（Ⅱ）因为为锐角，所以. ………9分 ‎ ………10分 ‎. ………12分 ‎18.解： 解：（Ⅰ）‎ ‎ ………3分 所以函数的最小正周期为， ………4分 令,得函数的对称轴方程为. …6分 ‎（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为， ‎ 所以, ………9分 令，所以,‎ 又，所以在上的的单调递减区间为. ………12分 ‎19.解： ,‎ ‎（Ⅰ）当时，，即， ‎ 所以，又，所以，即. ………4分 所以原不等式解集为. ………5分 ‎（Ⅱ）,即，‎ 所以， ………7分 设，， ………9分 当时是增函数，所以， ‎ 所以，即.‎ 的取值范围为. ………12分 ‎20.解： （Ⅰ）因为，‎ 所以,所以.‎ 又因为,所以. ………3分 在中，由余弦定理得,‎ 所以，‎ 所以. ………6分 ‎（Ⅱ）法一：因为，，所以是正三角形. ………7分 在中，根据正弦定理得,‎ 所以,, ………8分 所以的周长为 ‎, ………10分 因为，所以,‎ 所以当即时，的周长最大，最大为. ………12分 法二：因为，，所以是正三角形. ………7分 所以在在中，设，，,‎ 由余弦定理得, ………9分 即，即，‎ 又因为，所以，‎ 所以，即，当且仅当时等号成立， ………11分 所以的周长为，‎ 即当时，的周长最大，最大为. ………12分 ‎21.解： （Ⅰ）当时，，. ……………1分 当时，，单调递减，当时，，单调递增.2分 所以，即. ……………3分 ‎（Ⅱ），，， ‎ ①当即时，因为，所以，所以在上是增函数.‎ 又，所以，所以在上是增函数.‎ 所以，即恒成立. ……5分 ②当即时,令，，‎ 当，，所以是减函数，，‎ 所以在是减函数.所以，与恒成立矛盾，舍去.‎ 综合①②可知，实数的取值范围. ……………7分 ‎（III）由（2）得，当时，，‎ 当时，,‎ 所以要证，只需证, ‎ 只需证 . ……………8分 设（）， ‎ ‎， ……………9分 ‎，所以在上是增函数，‎ 所以，所以在上是增函数，‎ 所以，即成立.‎ 所以当，成立. ……………12分 ‎22.解：（Ⅰ）因为曲线的极坐标方程是，‎ 即， ……………1分 由可得， ‎ 即，即曲线的直角坐标方程. …3分 直线的参数方程为（为参数）. ……………5分 ‎（Ⅱ）将的参数方程代入曲线的直线坐标方程，整理得. ………6分 ‎ ,则，， ……………8分 所以. ……………10分 ‎23.解：（Ⅰ）因为，‎ 所以，所以，‎ 所以的取值范围为; ……………5分 ‎（Ⅱ）因为，所以，所以，即， ……6分 所以，所以，‎ 当且仅当即时等号成立. ……………9分 所以的最小值为. ……………10分