数学文卷·2019届广东省中山市高二上学期期末考试（2018-01）

数学文卷·2019届广东省中山市高二上学期期末考试（2018-01）

‎2017-2018学年广东省中山市高二（上）期末 数学试卷（文科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知命题p：∃x0∈R，log2（3+1）≤0，则￢p：（　　）‎ A．∃x0∈R，log2（3+1）＞0 B．∀x0∈R，log2（3x+1）≤0‎ C．∀x∈R，log2（3x+1）＞0 D．∀x∉R，log2（3x+1）＞0‎ ‎2．设a＜b＜0，则下列不等式中不正确的（　　）‎ A．＞ B．＞ C．|a|＞﹣b D．＞‎ ‎3．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足=，则A=（　　）‎ A． B． C． D．或 ‎4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿A向北偏东30°方向前进100m到达B处，在B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（　　）‎ A．50m B．100m C．120m D．150m ‎6．已知等差数列{an}前n项和为Sn，S4=40，Sn=210，Sn﹣4=130，则n=（　　）‎ A．12 B．14 C．16 D．18‎ ‎7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣2y的最小值为（　　）‎ A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2 D．3‎ ‎8．直线与曲线相切，则b的值为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C． D．1‎ ‎9．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．椭圆+=1上一点M到左焦点F1的距离为4，N是MF1的中点，则|ON|=（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．‎ ‎11．已知点P为双曲线（a＞0，b＞0）的右支上一点，F1、F2为双曲线的左、右焦点，使 （O为坐标原点），且||=||，则双曲线离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，在同一个坐标系中，an=f（n）及Sn=g（n）的部分图象如图所示，则（　　）‎ A．当n=4时，Sn取得最大值 B．当n=3时，Sn取得最大值 C．当n=4时，Sn取得最小值 D．当n=3时，Sn取得最小值 ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．抛物线y=8x2的准线方程为　 　．‎ ‎14．已知ax2+bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则不等式cx2+bx+a＜0的解集为　 　．‎ ‎15．已知x＞0，y＞0且+=1，则xy的最大值为　 　．‎ ‎16．定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的实数x，有f（x）＞f′（x），且f（x）+2017为奇函数，则不等式f（x）+2017ex＜0的解集是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共计70分）‎ ‎17．（10分）已知p：方程+=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；q：实数t满足不等式t2﹣（a﹣1）t﹣a＜0．‎ ‎（Ⅰ）若p为真命题，求实数t的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎18．（12分）设数列{an}的前n项积为Tn，且Tn=2﹣2an．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎19．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，‎ 且acosC+asinC﹣b﹣c=0．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若AD为BC边上的中线，cosB=，AD=，求△ABC的面积．‎ ‎20．（12分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x（万件）之间大体满足关系：‎ ‎．（注：次品率=次品数/生产量，如P=0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）．已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．‎ ‎（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；‎ ‎（2）当日产量x为多少时，可获得最大利润？‎ ‎21．（12分）在平面直角坐标系xOy，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点与上顶点分别为A，B，椭圆的离心率为，且过点（1，）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，若直线l与该椭圆交于P，Q两点，直线BQ，AP的斜率互为相反数，求证：直线l的斜率为定值．‎ ‎22．（12分）设函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1和x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k=2﹣a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ 中山市高二级2017—2018学年度第一学期期末统一考试 数学（文科）参考答案及评分标准 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B B C A B C B A B D A ‎13. 14. 15. 16. ‎ ‎17.解：（1）因为方程所表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，‎ ‎ 所以，解得，‎ ‎ 即实数的取值范围是 ； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎（2）因为是的充分不必要条件，‎ ‎ 所以是不等式的解集的真子集，‎ ‎ 因为的两根为，所以只需，‎ ‎ 即实数的取值范围 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ‎18．解：（1）因为，所以，即，所以 ‎ 又，所以，‎ ‎ 即，‎ ‎ 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列. ．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）由（1）知， ‎ ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ ‎ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎19.解：（1）∵，由正弦定理得：‎ ‎ ，即 ‎ ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ‎ 化简得：，∴．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎ 在中，，∴，得．．．．．．．．．6分 ‎ （2）在中，，得 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ‎ 则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ‎ 由正弦定理得 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ‎ 设，在中，由余弦定理得：‎ ‎ ，则 ‎ ，解得，‎ ‎ 即 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 ‎ 故 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎20. 解：（Ⅰ）当时，， ‎ ‎ 当时，，‎ ‎ ‎ ‎ 综上，日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系为：‎ ‎ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎（Ⅱ）由（1）知，当时，每天的盈利额为0‎ ‎ 当时，‎ 当且仅当时取等号 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 所以当时，，此时 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ‎ 当时，由 ‎ 知函数在上递增，‎ ‎ ，此时 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 综上，若，则当日产量为3万件时，可获得最大利润 ‎ 若，则当日产量为万件时，可获得最大利润．．．．．．．．．．．．．12分 ‎21．（1）由题意，离心率，所以，所以，‎ ‎ 故椭圆的方程为，将点代入，求得，‎ ‎ 所以椭圆的标准方程为； ……………5分 ‎ ‎ （2）①设直线的方程为，则由题意直线的方程为，‎ ‎ 由 ，得，‎ ‎ 所以点的坐标为， ……………………9分 ‎ ‎ 同理可求得点的坐标为． ……………………10分 ‎ ‎ 所以直线的斜率为．　 ……………12分 ‎22．解：（1）的定义域为，，‎ 令，其判别式 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ‎①当时，，故在上单调递增，‎ ‎②当时，的两根都小于0，在上，，‎ ‎ 故在上单调递增，‎ ‎③当时，的两根为，‎ 当时，；当时，；当时，，‎ 故分别在上单调递增，在上单调递减 ．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）由（1）知，．‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 又由（1）知，．于是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ‎ 若存在，使得．则．即，‎ ‎ 亦即（*） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ‎ 再由（1）知，函数在上单调递增，而，‎ ‎ 所以．这与（*）式矛盾，故不存在，使得 ‎ ‎ ．．．．．12分