2018-2019学年江西省南康中学高二上学期第一次大考数学（理）试题 Word版

2018-2019学年江西省南康中学高二上学期第一次大考数学（理）试题 Word版

南康中学2018-2019学年度第一学期高二第一次大考 数学(理科)试卷 ‎ ‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1．若表示点,表示直线,表示平面,则下列叙述中正确的是( )‎ A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,,则 ‎2．已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图的面积为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则 ( )‎ A． B． ‎10 ‎ C． D．12‎ ‎4.下列结论中正确的是( )‎ A.若直线上有无数个点不在平面内，则//．‎ B．若直线与平面平行，则直线与平面内的任意一条直线都平行．‎ C．若直线与平面垂直，则直线与平面内的任意一条直线都垂直．‎ D．四边形确定一个平面．‎ ‎5．已知半径为1的动圆与定圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　)‎ A．‎ B．或 C．‎ D．或 ‎6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(　　)‎ A．60 B．30 ‎ C．20 D．10‎ ‎7．函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象( )‎ A． 向左平移个单位长度 B． 向右平移个单位长度 C． 向左平移个单位长度 D． 向右平移个单位长度 ‎8． 在正方体中，M和N分别为和的中点，那么直线 和所成的角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．如图,在中,,直线过点且垂直于,动点,当点P逐渐远离点A时,的大小( )‎ A．变大 B．变小 ‎ C．不变 D．有时变大有时变小 ‎10．如图，在四棱锥中，底面为正方形，且,其中分别是的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③面；④面，其中恒成立的为（ ）‎ A． ①③ B． ③④ C． ①④ D． ②③‎ ‎11．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，点是棱的中点，则过线段且平行于平面的截面的面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12. 在等腰直角中，为中点，为中点，为边上一个动点，沿翻折使，点在面上的投影为点，当点在上运动时，以下说法错误的是（ ）‎ A. 线段为定长 B. ‎ C. D. 点的轨迹是圆弧 二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．‎ ‎13．若在圆的直径上,则直线的方程是_______.‎ ‎14．已知中，角A、B、C的对边分别为且，则______．‎ ‎15．如图，在直三棱柱中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使，则线段B‎1F的长为_____．‎ ‎16．在直三棱柱中,底面为等腰直角三角形, , , 若、、别是棱、、的中点,则下列三个说法:‎ ‎； ②三棱锥的外接球的表面积为；‎ ‎③三棱锥的体积为；‎ 其中正确的说法有__________．(把所有正确命题的序号填在答题卡上)‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）．‎ ‎17、已知圆与直线相交于不同的两点，为坐标原点.‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，求实数的值.‎ ‎18、如图，四棱锥的底面为菱形，，，分别为和 的中点．‎ ‎（）求证：平面．‎ ‎（）求证：平面．‎ ‎19．记为各项为正数的等比数列的前项和，已知.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式;‎ ‎（Ⅱ）令，求的前项和.‎ ‎20．己知分别为三个内角的对边，且．‎ ‎(I)求角的大小；‎ ‎(II)若，且的面积为，求的值．‎ ‎21．如图，四棱锥中，为正三角形. 且.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若点到底面的距离为2，是线段上一点，且//平面，求四面体的体积. ‎ ‎22．如图1，在长方形中，为的中点，为线段 上一动点．现将沿折起，形成四棱锥.‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3‎ ‎（Ⅰ）若与重合，且 (如图2).证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）若不与重合，且平面平面 (如图3)，设，求的取值范围.‎ 南康中学2018-2019学年度第一学期高二第一次大考 数学(理科)参考答案 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）‎ D C C C D D D A D C A B C ‎10．A【解析】分析：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．‎ ‎（1）由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，进而得到SO⊥AC．可得AC⊥平面SBD．由已知E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，利用三角形的中位线可得EM∥BD，MN∥SD，于是平面EMN∥平面SBD，进而得到AC⊥平面EMN，AC⊥EP;（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，因此不可能EP∥BD；（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，可得EP∥平面SBD；（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，可用反证法证明：当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．‎ ‎11．【解析】在 取BC的中点M，连结，‎ 根据题意，结合线面面面平行的性质，得到满足条件的截面为等腰梯形，‎ 由正方体的棱长为1，可求得该梯形的上底为，下底为，高为，‎ 利用梯形的面积公式可求得，故选B.‎ ‎12.【解析】由于平面，所以，所以同理，由（1）可知点轨迹为圆弧，长度最小值为，最大值为，所以C选项错误. ‎ 二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．‎ ‎13．x-y-1=0 14．5 15. 16．①②③‎ ‎16.【解析】根据题意画出如图所示的直三棱柱：‎ 其中，底面为等腰直角三角形, , ， 、、别是棱、、的中点.对于①，取中点，连接， ‎ 交于点，连接.∵为中点， ， ∴四边形为正方形，则 在中， ， 分别为， 的中点，则∥，且.‎ ‎∵为的中点，且∥∴∥且 ‎∴四边形为平行四边形∴∥∴，故正确；‎ 对于②，易得，则.∵‎ ‎∴，即∵‎ ‎∴三棱锥的外接球的球心在线段的中点处，则外接球的半径为 ‎∴三棱锥的外接球的表面积为，故正确；‎ 对于③，易得， .‎ 在中， ， ， ，同理可得，则三棱锥为正四面体，其体积为，故正确；‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）．‎ ‎17、解析：（1）由 消去得，----------2分 由已知得，得，得实数的取值范围是；---5分 ‎（2）因为圆心到直线的距离为， ----7分 所以由已知得，解得.---10分 ‎18、【解析】解：‎ ‎（）证明：取中点为，‎ ‎∵在中，是中点，是中点，‎ ‎∴，且，------------------2分 又∵底面是菱形，‎ ‎∴，‎ ‎∵是中点，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴四边形是平行四边形，∴，--------------------------------4分 又平面，平面，‎ ‎∴平面．--------------------------------6分 ‎（）证明：设，则是中点，‎ ‎∵底面是菱形，‎ ‎∴，-------------------------8分 又∵，是中点，‎ ‎∴，-----------------------------10分 又，‎ ‎∴平面．----------------------------12分 ‎19、解析：（Ⅰ）=，，‎ ‎=或-4（舍去）------------------------3分 故,， ．-------------------------------6分 ‎（Ⅱ），-------------------9分 ‎ 故.-----------------------12分 ‎20．【解析】‎ ‎（Ⅰ）由正弦定理得，，∵，---------------2分 ‎∴，即．--------------------------------4分 ‎∵∴，∴∴．-------------------6分 ‎（Ⅱ）由：可得．∴，--------------------8分 ‎∵，‎ ‎∴由余弦定理得：，-----------10分 ‎∴.-----------------------------12分 ‎21．解析：（Ⅰ）证明：，且， ，又为正三角形，所以，又，，所以，-------------------2分 又，//，，--------------------------------4分 ‎，‎ 所以平面，--------------------------------5分 又因为平面，所以平面平面.---------------------------6分 ‎（Ⅱ）如图，连接，交于点，因为//，‎ 且，所以，--------------------7分 连接，因为//平面，所以//，则，---9分 由（Ⅰ）点到平面的距离为2，‎ 所以点到平面的距离为，----------10分 所以，‎ 即四面体的体积为.-----------------12分 ‎22．解析：（Ⅰ）由与重合，则有,--------------------------2分 因为，,所以 ‎,----------------------4分 ‎,所以平面. --------------------6分 ‎（Ⅱ） 如图，作于,作于，连接.‎ 由平面平面且可得平面,故,由可得平面,故在平面图形中，三点共线且.--------------------8分 设，由，故,-------------------10分 ‎，所以， .---------------------12分