专题3-1+导数概念及其运算（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版）

专题3-1+导数概念及其运算（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版）

‎【考纲解读】‎ 内 容 要 求 备注 A　　‎ B　　‎ C　　‎ 导数及其应用　　‎ 导数的概念　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 导数的几何意义　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 导数的运算　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎【直击考点】‎ 题组一　常识题 ‎1．[教材改编] 某斜抛物体抛出后相对于水平面的高度h与抛出后的时间t的函数关系是h(t)＝－t2＋6t＋10，则在3≤t≤4这段时间内的平均速度为________m/s.‎ ‎【解析】 平均速度为＝＝－1(m/s)．‎ ‎2．[教材改编] 已知函数f(x)＝5－3x＋2x2，且f′(a)＝－1，则a＝________．‎ ‎【解析】 由题意可知，f′(x)＝－3＋4x，所以f′(a)＝－3＋4a＝－1，解得a＝.‎ ‎3．[教材改编] 曲线y＝2x3－3x＋5在点(2，15)处的切线的斜率为________．‎ ‎【解析】 因为y′＝6x2－3，所以在点(2，9)处切线的斜率k＝6×22－3＝21.‎ 题组二　常错题 ‎4．若函数f(x)＝4x3＋a2＋a，则f′(x)＝__________．‎ ‎【解析】 f′(x)＝(4x3＋a2＋a)′＝12x2.本题易出现一种求导错解：f′(x)＝12x2＋2a＋1，没弄清函数中的变量是x，而a只是一个字母常量，其导数为0.‎ ‎5．函数y＝的导函数为____________．‎ ‎【解析】 y′＝＝.本题易出现用错商的求导法则的情况．‎ 题组三　常考题 ‎6． 已知函数f(x)＝ax3－x＋2的图像在点(1，f(1))处的切线过点(2，6)，则 a＝________．‎ ‎7． 函数y＝在其极值点处的切线方程为________________．‎ ‎【解析】 y′＝，令y′＝0，得x＝1，此时y＝e，即极值点为(1，e)，函数在该点处的切线斜率为零，故切线方程为y＝e.‎ ‎【知识清单】‎ 1． 导数的运算 ‎1．基本初等函数的导数公式 ‎(sin x)′＝cosx，(cos x)′＝－sinx，(ax)′＝axlna，(ex)′＝ex，(logax)＝1xln ‎ a，(ln x)′＝1x.‎ ‎2．导数的运算法则 ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；‎ ‎(2)[f(x)•g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；‎ ‎(3)f(x)g(x)′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0)．‎ ‎ 3．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′•ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．‎ 考点2 导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．‎ ‎【考点深度剖析】‎ ‎ ‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 导数的运算 ‎【1-1】求下列函数的导数．‎ ‎(1)y＝x2sin x；(2)y＝；(3)y＝ln(2x－5)．‎ ‎【答案】(1) 2xsin x＋x2cos x. (2) .(3) .‎ ‎【1-2】已知f1(x)＝sin x＋cos x，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2 014＝________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，‎ f3(x)＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x，‎ f4(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝sin x＋cos x，‎ 以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)，‎ 又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，‎ ‎∴f1＋f2＋…＋f2 014＝503f1＋f2＋f3＋f4＋f1＋f2＝0.‎ ‎【思想方法】‎ 1． 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．‎ 2． 复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．‎ ‎【温馨提醒】区别“积的导数”与“复合函数的导数”的差异 考点2 导数的几何意义 【2-1】 已知函数f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，a＝f′，f′(x)是f(x)的导函数，则过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线方程为________.‎ ‎【答案】3x－y－2＝0.‎ ‎【2-2】已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f(x)图像的切点为(1，f(1))，则m等于________.‎ ‎【答案】－2‎ ‎【解析】∵f′(x)＝，‎ ‎∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，‎ 又f(1)＝0，‎ ‎∴切线l的方程为y＝x－1.‎ g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图像的切点为(x0，y0)，‎ 则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0，‎ 于是解得m＝－2 ‎ ‎【思想方法】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：‎ ‎(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；‎ ‎(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；‎ ‎(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝求解．‎ ‎【温馨提醒】在解决曲线的切线问题时要注意辨别是求“曲线上某点(一定在曲线上)处的切线方程”，还是求“过某点(可能在曲线上、也可能不在曲线上)的切线方程，前者只有一条，而后者包括了前者，后者可能不止一条 ‎【易错试题常警惕】‎ ‎1、知曲线的切线求参数问题，一定要注意所给的点是否是切点．‎ 如：若存在过点的直线与曲线和都相切，则 ．‎ ‎【分析】设过点的直线与曲线相切于点，所以切线方程为，即，又在切线上，所以，解得或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得．综上可得，或．‎ ‎【易错点】在解题中，未对的位置进行判断，误认为是切点．‎ ‎2、函数的求导问题，一定要先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．‎ 如：若，则 ．‎ ‎【分析】，所以．‎ ‎【易错点】容易出现的错误．‎ ‎ ‎