2019-2020学年山西省太原市实验中学高二12月月考数学（文）试题

2019-2020学年山西省太原市实验中学高二12月月考数学（文）试题

山西省太原市实验中学2019-2020学年高二12月月考文数试题 一．选择题（每题4分，共10小题）‎ ‎1．命题“∃x0∈R，”的否定形式是（　　）‎ A．∃x0∈R， B．∃x0∈R， C．∀x∈R，x2＝1 D．∀x∈R，x2≠1‎ ‎2．如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（　　）‎ A．p、q均为真命题 B．p、q均为假命题 ‎ C．p、q中至少有一个为真命题 ‎ D．p、q中至多有一个为真命题 ‎3．已知直线x﹣y﹣＝0经过椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点和顶点，则椭圆C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．“方程＝1表示的曲线为椭圆”是“2＜m＜6”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．椭圆＝1的离心率为，则k的值为（　　）‎ A．﹣21 B．21 C．﹣或21 D．或21‎ ‎6．设命题P：∀n∈N，n2≤2n，则￢P为（　　）‎ A．∃n∈N，n2≤2n B．∀n∈N，n2＞2n C．∃n∈N，n2＞2n D．∃n∈N，n2＝2n ‎7．已知经过椭圆＝1的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF1B的周长为（　　）‎ A．10 B．20 C．30 D．40‎ ‎8．命题p：∀x∈R，x2+1＞0，命题q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1.5，则下列命题中真命题是（　　）‎ A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∨q D．p∧（￢q）‎ ‎9．“m＝2”是“椭圆+y2＝1离心率为”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎10．有下列四个命题：‎ ‎①“若x+y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；‎ ‎②“全等三角形的面积相等”的否命题；‎ ‎③“若q≤1，则x2+2x+q＝0有实根”的逆否命题；‎ ‎④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题；‎ 其中真命题为（　　）‎ A．①② B．②③ C．①③ D．③④‎ 二．填空题（每题3分，共4小题）‎ ‎11．已知P是椭圆＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，当∠F1PF2＝时，则△PF1F2的面积为　 　．‎ ‎12．直线l1：ax+2y﹣10＝0与直线l2：2x+（a+3）y+5＝0平行的充要条件是　 　．‎ ‎13．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，若直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是　 　．‎ ‎14．已知平面α截球O的球面所得圆的面积为π，O到α的距离为3，则球O的表面积为　 　．‎ 三．解答题（共5小题）‎ ‎15．（8分）已知:,:直线与直线平行,求证: 是的充要条件.‎ ‎16．（8分）已知以点C为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），且圆心在直线x+3y﹣15＝0上．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．‎ ‎17．（8分）设命题p：实数x满足x2﹣3ax+2a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．‎ ‎（1）若a＝3且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎18．（10分）已知椭圆经过两点（0，1），．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l：x﹣y﹣1＝0交椭圆E于两个不同的点A，B，O是坐标原点，求△AOB的面积S．‎ ‎19．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．‎ 求证：（1）A1B1∥平面DEC1；‎ ‎（2）BE⊥C1E．‎ 文数 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．命题“∃x0∈R，”的否定形式是（　　）‎ A．∃x0∈R， B．∃x0∈R， ‎ C．∀x∈R，x2＝1 D．∀x∈R，x2≠1‎ ‎【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，”的否定形式是：∀x∈R，x2≠1．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．‎ ‎2．如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（　　）‎ A．p、q均为真命题 ‎ B．p、q均为假命题 ‎ C．p、q中至少有一个为真命题 ‎ D．p、q中至多有一个为真命题 ‎【分析】¬（p或q）为假命题 既p或q是真命题，由复合命题的真假值来判断．‎ ‎【解答】解：¬（p或q）为假命题，‎ 则p或q为真命题 所以p，q至少有一个为真命题．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查复合命题的真假，是基础题．‎ ‎3．已知直线x﹣y﹣＝0经过椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点和顶点，则椭圆C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】求出直线与x，y轴的交点，得到椭圆的焦点和顶点，然后求解椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：直线x﹣y﹣＝0经过椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点和顶点，‎ 可得椭圆的一个焦点坐标（，0），一个顶点坐标（0，﹣1），‎ 所以c＝，b＝1，则a＝，‎ 所以e＝＝．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎4．“方程＝1表示的曲线为椭圆”是“2＜m＜6”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】先求“方程＝1表示的曲线为椭圆”的充要条件，为“m∈（2，4）∪（4，6）”，‎ 再由集合A＝（2，4）∪（4，6），集合B＝（2，6）的包含关系得解．‎ ‎【解答】解：“方程＝1表示的曲线为椭圆”的充要条件为，‎ 解得：m∈（2，4）∪（4，6），‎ 设集合A＝（2，4）∪（4，6），集合B＝（2，6），‎ 因为A⊊B，‎ 所以“方程＝1表示的曲线为椭圆”是“2＜m＜6”的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的性质及充分、必要条件，及集合的包含关系，属简单题．‎ ‎5．椭圆＝1的离心率为，则k的值为（　　）‎ A．﹣21 B．21 C．﹣或21 D．或21‎ ‎【分析】依题意，需对椭圆的焦点在x轴与在y轴分类讨论，从而可求得k的值．‎ ‎【解答】解：若a2＝9，b2＝4+k，则c＝，‎ 由＝，即＝得k＝﹣；‎ 若a2＝4+k，b2＝9，则c＝，‎ 由＝，即＝，解得k＝21．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，对椭圆的焦点在x轴，y轴分类讨论是关键，考查推理运算能力，属于中档题．‎ ‎6．设命题P：∀n∈N，n2≤2n，则￢P为（　　）‎ A．∃n∈N，n2≤2n B．∀n∈N，n2＞2n C．∃n∈N，n2＞2n D．∃n∈N，n2＝2n ‎【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：∀n∈N，n2≤2n，则￢P为：∃n∈N，n2＞2n．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．‎ ‎7．已知经过椭圆＝1的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF1B的周长为（　　）‎ A．10 B．20 C．30 D．40‎ ‎【分析】△AF1B为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出△AF1B的周长．‎ ‎【解答】解：∵F1，F2为椭圆+＝1的两个焦点，‎ ‎∴|AF1|+|AF2|＝10，|BF1|+|BF2|＝10，‎ ‎∴△AF1B的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝10+10＝20．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了椭圆的定义的应用，做题时要善于发现规律，进行转化．‎ ‎8．命题p：∀x∈R，x2+1＞0，命题q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1.5，则下列命题中真命题是（　　）‎ A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∨q D．p∧（￢q）‎ ‎【分析】由于命题p：∀x∈R，x2+1＞0，为真命题，而命题q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1.5为假命题再根据复合命题的真假判定，一一验证选项即可得正确结果．‎ ‎【解答】解：命题p：由于对已知∀x∈R，x2≥0，则x2+1≥1＞0，‎ 则命题p：∀x∈R，x2+1＞0，为真命题，￢p为假命题；‎ 命题q：由于对∀θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1，‎ 则命题q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1.5为假命题，￢q为真命题．‎ 则p∧q、￢p∧q、￢p∨q为假命题，p∧（￢q）为真命题．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，‎ 再根据真值表进行判断．复合命题的真值表：‎ ‎ p q p∧q p∨q ‎￢p ‎ 真 真 ‎ 真 ‎ 真 ‎ 假 ‎ 真 假 ‎ 假 ‎ 真 ‎ 假 ‎ 假 真 ‎ 假 ‎ 真 ‎ 真 ‎ 假 假 ‎ 假 ‎ 假 ‎ 真 ‎9．“m＝2”是“椭圆+y2＝1离心率为”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【分析】椭圆+y2＝1离心率为，可得：m＞1时，＝，或0＜m＜1时，＝，解得m即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：椭圆+y2＝1离心率为，可得：m＞1时，＝，或0＜m＜1时，＝，‎ 解得m＝2或．‎ ‎∴“m＝2”是“椭圆+y2＝1离心率为”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎10．有下列四个命题：‎ ‎①“若x+y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；‎ ‎②“全等三角形的面积相等”的否命题；‎ ‎③“若q≤1，则x2+2x+q＝0有实根”的逆否命题；‎ ‎④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题；‎ 其中真命题为（　　）‎ A．①② B．②③ C．①③ D．③④‎ ‎【分析】利用四种命题关系写出四个命题，然后判断真假即可．‎ ‎【解答】解：①“若x+y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题：“若x，y互为相反数，则x+y＝0”逆命题正确； ‎ ‎②“全等三角形的面积相等”的否命题：“不全等三角形的面积不相等”，三角形的命题公式可知只有三角形的底边与高的乘积相等命题相等，所以否命题不正确；‎ ‎③“若q≤1，则x2+2x+q＝0有实根”的逆否命题：“x2+2x+q＝0没有实根，则q＞1”，因为x2+2x+q＝0没有实根，所以4﹣4q＜0可得q＞1，所以逆否命题正确； ‎ ‎④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题：两个角是锐角的三角形是直角三角形，显然不正确．‎ 正确命题有①③．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查四种命题的关系，命题的真假的判断，基本知识的考查．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎11．已知P是椭圆＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，当∠F1PF2＝时，则△PF1F2的面积为　　．‎ ‎【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义及余弦定理求得|PF1||PF2|的值，代入三角形面积公式得答案．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 由椭圆+y2＝1，得a＝2，b＝1，‎ 则2a＝4，，‎ ‎∴|PF1|+|PF2|＝2a＝4，‎ 由余弦定理可得：，‎ ‎∴，‎ 即．‎ ‎∴△F1PF2的面积S＝|PF1||PF2|sin60°＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义的应用，是中档题，‎ ‎12．直线l1：ax+2y﹣10＝0与直线l2：2x+（a+3）y+5＝0平行的充要条件是　1　．‎ ‎【解答】解：∵直线l1：ax+2y﹣10＝0与直线l2：2x+（a+3）y+5＝0平行，‎ ‎∴，‎ 解得a＝1，‎ ‎13．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，若直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是　　．‎ ‎【分析】由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2＝1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2＝1与直线y＝kx﹣2有公共点即可．‎ ‎【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，整理得：（x﹣4）2+y2＝1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；‎ 又直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，‎ ‎∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2＝4与直线y＝kx﹣2有公共点即可．‎ 设圆心C（4，0）到直线y＝kx﹣2的距离为d，‎ 则d＝≤2，即3k2﹣4k≤0，‎ ‎∴0≤k≤．‎ ‎∴k的最大值是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2＝4与直线y＝kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎14．已知平面α截球O的球面所得圆的面积为π，O到α的距离为3，则球O的表面积为　40π　．‎ ‎【分析】根据球心到平面的距离结合球的截面圆性质，利用勾股定理算出球半径R的值，再根据球的表面积公式，可得球的表面积．‎ ‎【解答】解：∵平面α截球O的球面所得圆的面积为π，则圆的半径为1，‎ 该平面与球心的距离d＝3，‎ ‎∴球半径R＝．‎ ‎∴球的表面积S＝4πR2＝40π．‎ 故答案为：40π．‎ ‎【点评】本题考查球的表面积的求法，着重考查了球的截面圆性质，属于基础题．‎ 三．解答题（共5小题）‎ ‎15．答案：当时, ,,‎ 所以,即由“”能推出“”.‎ 当时,若,则,‎ ‎,所以,无解.‎ 当时,即由“”能推出“”.‎ 综上所述, ,所以是的充要条件.‎ ‎16．已知以点C为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），且圆心在直线x+3y﹣15＝0上．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）依题意，所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x+3y﹣‎ ‎15＝0的交点，求出圆心与半径，即可求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）求出|AB|，圆心到AB的距离d，求出P到AB距离的最大值d+r，即可求△PAB的面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）依题意，所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x+3y﹣15＝0的交点，‎ ‎∵AB中点为（1，2）斜率为1，‎ ‎∴AB垂直平分线方程为y﹣2＝（x﹣1）即y＝﹣x+3…（2分）‎ 联立，解得，即圆心（﹣3，6），‎ 半径…（6分）‎ ‎∴所求圆方程为（x+3）2+（y﹣6）2＝40…（7分）‎ ‎（Ⅱ），…（8分）‎ 圆心到AB的距离为…（9分）‎ ‎∵P到AB距离的最大值为…（11分）‎ ‎∴△PAB面积的最大值为…（12分）‎ ‎【点评】本题考查圆的方程，考查三角形面积的计算，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎17．设命题p：实数x满足x2﹣3ax+2a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．‎ ‎（1）若a＝3且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）若a＝3，求出p，q的等价条件，结合p∧q为真，得到p，q同时为真，建立不等式组即可求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若￢p是￢q的必要不充分条件，转化为p是q的充分不必要条件，建立不等式组关系 进行求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）当a＝3时，由x2﹣9x+18＜0得3＜x＜6，即p：3＜x＜6，‎ 由．得得2＜x≤6，即q：2＜x≤6，‎ 又p∧q为真，所以p真且q真，由得3＜x＜6．‎ 所以实数x的取值范围为（3，6）．‎ ‎（2）因为￢p是￢q的必要不充分条件，所以p是q的充分不必要条件，‎ 由x2﹣3ax+2a2＜0得a＜x＜2a，‎ 则，解得2≤a≤3．‎ 经检验，实数a的取值范围为[2，3]．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义转化为不等式关系是解决本题的关键．‎ ‎18．已知椭圆经过两点（0，1），．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l：x﹣y﹣1＝0交椭圆E于两个不同的点A，B，O是坐标原点，求△AOB的面积S．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据题意，将两个点的坐标代入椭圆的方程，可得，解可得a、b的值，即可得椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）记A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，5y2+2y﹣3＝0，解可得y的值，即可得直线l与x轴交点的坐标，结合三角形面积公式计算可得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆经过两点（0，1），．‎ 则有，解得：a＝2，b＝1‎ 即椭圆E的方程为+y2＝1．‎ ‎（Ⅱ）记A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为x＝y+1．‎ 由消去x得5y2+2y﹣3＝0，‎ 所以 设直线l与x轴交于点P（1，0）‎ S＝|OP||y1﹣y2|‎ S＝．‎ ‎【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的标准方程，关键是求出椭圆的标准方程．‎ ‎19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．‎ 求证：（1）A1B1∥平面DEC1；‎ ‎（2）BE⊥C1E．‎ ‎【分析】（1）推导出DE∥AB，AB∥A1B1，从而DE∥A1B1，由此能证明A1B1∥平面DEC1．‎ ‎（2）推导出BE⊥AA1，BE⊥AC，从而BE⊥平面ACC1A1，由此能证明BE⊥C1E．‎ ‎【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，‎ ‎∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，‎ ‎∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，‎ ‎∴A1B1∥平面DEC1．‎ 解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．‎ ‎∴BE⊥AA1，BE⊥AC，‎ 又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，‎ ‎∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．‎ ‎【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．‎