2019-2020学年江西省南昌市第二中学高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年江西省南昌市第二中学高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年江西省南昌市第二中学高二上学期期末数学（理）试题 一、单选题 ‎1．复数的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据复数虚部的概念，选出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 根据复数虚部值知识可知，复数的虚部为.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查复数虚部的概念，属于基础题.‎ ‎2．用反证法证明命题：“，若可被整除，那么中至少有一个能被整除．”时，假设的内容应该是（ ）‎ A．都不能被5整除 B．都能被5整除 C．不都能被5整除 D．能被5整除 ‎【答案】A ‎【解析】根据反证法的概念，即可得到命题的假设，解得求解.‎ ‎【详解】‎ 根据反证法的概念可得：用反证法证明命题：“，若可被整除，那么中至少有一个能被整除．”时，假设的内容应该是“都不能被5整除”，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了反证法的概念，其中解答中熟记反证法的基本概念，根据命题的否定，准确书写是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎3．函数的图象在点处的切线的倾斜角为（ ）‎ A．0 B． C．1 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：，令，则倾斜角为.‎ ‎【考点】导数的几何意义.‎ ‎4．下列命题中错误的是（ ）‎ A．若命题为真命题，命题为假命题，则命题“”为真命题 B．命题“若，则或”为真命题 C．命题“若函数的导函数满足，则是函数的极值点”的逆否命题是真命题 D．命题p：，则为 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】对四个选项逐一分析，由此确定错误选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，由于命题为真命题，命题为假命题，所以为真命题，所以命题“”为真命题，故A选项正确.‎ 对于B选项，原命题的逆否命题是“若且，则”为真命题，所以原命题为真命题，故B选项正确.‎ 对于C选项，由于导数等于零的点不一定是极值点，所以原命题为假命题，所以其逆否命题为假命题，所以C选项错误.‎ 对于D选项，根据特称命题的否定是全称命题的知识可知，D选项正确.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查含有逻辑连接词命题的真假性，考查互为逆否命题的命题的真假性，考查全称命题与特称命题的否定，属于基础题.‎ ‎5．直线的倾斜角的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】求得直线的斜率的取值范围，由此求得直线倾斜角的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 直线的斜率为，由于，所以，对应的倾斜角的取值范围是.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线的斜率和倾斜角，属于基础题.‎ ‎6．若，则“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】化简复数，根据在复平面内对应的点在第三象限求得的取值范围，由此判断出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 由于在复平面内对应的点在第三象限，所以，解得.所以“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“”的充要条件.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查复数的除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，考查充分、必要条件的判断.‎ ‎7．函数在区间上的最大值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】.‎ ‎8．若 ，则s1,s2,s3的大小关系为（ ）‎ A．s1＜s2＜s3 B．s2＜s1＜s3 C．s2＜s3＜s1 D．s3＜s2＜s1‎ ‎【答案】B ‎【解析】选B.‎ ‎【考点】此题主要考查定积分、比较大小，考查逻辑推理能力.‎ ‎9．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）‎ A．乙、丁可以知道自己的成绩 B．乙可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．丁可以知道四人的成绩 ‎【答案】A ‎【解析】根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，‎ 又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，‎ 又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，‎ 又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩.‎ 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.‎ ‎10．下列命题为真命题的个数是（ ）‎ ‎① ② ③ ‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】构造函数，利用导数研究的单调性，由此判断①②的真假性.构造函数，利用导数研究的单调性，由此判断③的真假性.‎ ‎【详解】‎ 构造函数,，所以在上递增，在上递减，所以，即，所以①正确，②错误.‎ 构造函数，，所以在上递增，在上递减，所以，即，即，，，，即，所以③正确.‎ 综上所述，正确的有个.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数比较大小，考查构造函数法，属于中档题.‎ ‎11．双曲线的左,右顶点分别是，是上任意一点（点异于），直线分别与直线交于，则的最小值是（ ）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出直线的方程，令求得两点的坐标，由此求得的表达式，由此求得的最小值.‎ ‎【详解】‎ 设，，则，.依题意，所以，，令代入直线的方程，得.所以，表示双曲线上的点与点连线的斜率.设过点，双曲线的切线方程为，代入并化简得，其判别式，解得.所以的最大值为 ‎，所以的最小值为，也即的最小值为.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查双曲线的几何性质，考查直线与直线的交点，考查直线与双曲线相切问题的求解，考查线段长度的最值的求法，属于中档题.‎ ‎12．若函数与函数的图象存在公切线，则正实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分别求出两个函数的导函数，设出切点，求得切线的斜率，进而求得切线方程，通过对比系数得出等量关系式，也即原命题的等价命题，结合导数求得正实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 的导函数，的导函数为.设切线与相切的切点为，与相切的切点为，所以切线方程为、，即、.所以，所以，由于，所以，即有解即可.令，，所以在上递增，在上递减，最大值为，而时，当时，，所以，所以.所以正实数的取值范围是.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查两条曲线公切线的问题的求解，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．已知函数，则等于____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求得的导函数，由此求得的值.‎ ‎【详解】‎ 函数 ‎，‎ 将代入，得 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查复合函数的导数的求法，属于基础题.‎ ‎14．__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将定积分分为两个积分的和，再分别求出定积分．由定积分的几何意义知 表示圆的面积的二分之一，问题得以解决 ‎【详解】‎ 由定积分的几何意义知表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的二分之一，即，‎ ‎∴‎ ‎【点睛】‎ 本题重点考查定积分的计算，考查定积分的几何意义， 求定积分有三种方法：定义法（不常用），利用微积分定理求定积分，和利用定积分的几何意义求定积分。‎ ‎15．已知点P（x，y）是抛物线y2＝4x上任意一点，Q是圆（x+2）2+（y﹣4）2＝1上任意一点，则|PQ|+x的最小值为_____．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】利用抛物线的定义得,以及圆上的点的到定点的距离的最小值为圆心到定点的距离减去半径即可转换题目中的条件分析.‎ ‎【详解】‎ 画出图像,设焦点为,由抛物线的定义有,故.‎ 又当且仅当共线且为与圆的交点时取最小值为 .故的最小值为.‎ 又当为线段与抛物线的交点时取最小值,‎ 此时 ‎【点睛】‎ ‎(1)与抛物线上的点有关的距离之和的最值问题一般转化为抛物线上的点到焦点的距离.‎ ‎(2)与圆上的点有关的距离之和的最值问题一般转化为圆心到定点的距离与半径的关系.‎ ‎16．已知函数.下列说法正确的是___________.‎ ‎①有且仅有一个极值点；‎ ‎②有零点；‎ ‎③若极小值点为 ，则；‎ ‎④若极小值点为，则.‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】利用导数的知识选四个说法逐一分析，由此确定正确说法的序号.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为，，，所以单调递增，而，所以存在唯一零点 ‎，使，即，（），两边取对数得（），且时，时，所以是的极小值点.，将（）和（）代入上式得，由于，所以在上递减，，所以，所以，也即没有零点.‎ 综上所述，①③正确.‎ 故答案为：①③‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数研究函数的零点、极值点、单调性，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．命题，命题方程表示焦点在 轴上的椭圆．‎ ‎（1）若“或 ”为假命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若“非 ”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或（2）或 ‎【解析】（1）先求得均为真命题时的取值范围，由此求得均为假命题时的取值范围.‎ ‎（2）由（1）求得“非 ”，根据“非 ”是“”的必要不充分条件列不等式，解不等式求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）关于命题，‎ 时，显然不成立，时成立，恒成立 ‎ 时，只需即可，解得：，故为真时：； ‎ 关于命题，解得：， ‎ 命题“或”为假命题，即均为假命题，则或；． ‎ ‎（2）非，所以或，即或.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据含有逻辑连接词命题真假性求参数的取值范围，考查根据必要不充分条件求参数的取值范围，考查椭圆的几何性质，属于基础题.‎ ‎18．在平面直角坐标系中，曲线为（为参数）.在以为原点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，射线与除极点外的一个交点为，设直线经过点，且倾斜角为，直线与曲线的两个交点为.‎ ‎（1）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）的普通方程是，的直角坐标方程是（2）‎ ‎【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系式消去参数，求得的参数方程，利用极坐标方程转化为直角坐标方程的公式，将的的极坐标方程，转化为直角坐标方程.‎ ‎（2）联立的方程和射线的方程，求得点坐标，进而求得直线的参数方程，代入椭圆方程，写出韦达定理，根据直线参数的几何意义，求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）的普通方程是. ‎ 由得，所以的直角坐标方程是 ‎（2）射线即联立与得或，不是极点，. ‎ 依题意，直线的参数方程可以表示为 （为参数），‎ 代入得,设点的参数是，则 ‎，‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查直线的参数方程，考查直线参数的几何意义，属于中档题.‎ ‎19．数列的前项和为，且满足．‎ ‎(Ⅰ)求，，，的值；‎ ‎(Ⅱ)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．‎ ‎【答案】（Ⅰ），，，；（Ⅱ）见证明 ‎【解析】(Ⅰ)分别取 代入计算，，，的值.‎ ‎(Ⅱ) 猜想，用数学归纳法证明.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）当时，∵，∴， ‎ 又，∴，‎ 同理，；‎ ‎（Ⅱ）猜想 ‎ 下面用数学归纳法证明这个结论.‎ ‎①当时，结论成立.‎ ‎②假设时结论成立，即，‎ 当时，，‎ ‎∴，∴‎ 即当时结论成立.‎ 由①②知对任意的正整数n都成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列和前项和的关系，猜测，数学归纳法，意在考查学生归纳推理能力.‎ ‎20．设函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，恒成立，求范围；‎ ‎（Ⅱ）方程有唯一实数解，求正数的值．‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】试题分析：1）求出函数的导数，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，从而求出k的范围即可；（2）lnx+x=0时，不合题意，当lnx+x≠0时，m= 有唯一解，此时x＞x0，记h（x）=，根据函数的单调性求出m的值即可．‎ 解析：‎ ‎（1）a=2时，f（x）=lnx﹣x2+x，‎ f（x）的定义域是（0，+∞），‎ f′（x）=﹣2x+1，‎ 令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，‎ 故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，‎ 故f（x）max=f（1）=0，‎ 若f（x）≤k恒成立，‎ 则k≥0；‎ ‎（2）方程mf（x）=（1﹣）x2有唯一实数解，‎ 即m（lnx+x）=x2有唯一实数解，‎ 当lnx+x=0时，显然不成立，设lnx+x=0的根为x0∈（，1）‎ 当lnx+x≠0时，m=有唯一解，此时x＞x0‎ 记h（x）=，‎ h′（x）=,‎ 当x∈（0，1）时，x（x﹣1）＜0，2xlnx＜0，h′（x）＜0，‎ 当x∈（1，+∞）时，x（x﹣1）＞0，2xlnx＞0，h'（x）＞0，‎ ‎∴h（x）在（x0，1）上递减，（1，+∞）上递增．‎ ‎∴h（x）min=h（1）=1，‎ 当x∈（x0，1）时，h（x）∈（1，+∞），‎ 当x∈（1，+∞）时，h（x）∈（1，+∞），‎ 要使m=有唯一解，应有m=h（1）=1，‎ ‎∴m=1．‎ ‎21．．‎ 在平面直角坐标系中，点为动点，已知点，，直线与的斜率之积为.‎ ‎（I）求动点轨迹的方程;‎ ‎（II）过点的直线交曲线于两点，设点关于轴的对称点为(不重合)，求证：直线过定点.‎ ‎【答案】（1）；（2）直线过定点.‎ ‎【解析】本试题主要是考查了椭圆方程的求解和直线与椭圆位置关系的运用．利用椭圆的几何性质，来表示得到a,b,c的值，从而解得方程，然后设出直线方程，联立方程组，借助于韦达定理，运用代数的方法来表示坐标，同时借助于题目中向量的关系式，得到坐标的关系，消去坐标，得参数的关系式，进而求解得到．‎ 解一：（1）由题知：…………2分 化简得：……………………………4分 ‎（2）设，:，‎ 代入整理得…………6分 ‎，，………………………………8分 的方程为 令，‎ 得………10分 直线过定点.………………12分 解二：设，:，‎ 代入整理得…………6分 ‎,，…………8分 的方程为 令，‎ 得……10分 直线过定点.…………12分 解三：由对称性可知，若过定点，则定点一定在轴上，‎ 设，:，‎ 代入整理得…………6分 ‎,，…………8分 设过定点，则，而 则 ‎…………10分 直线过定点.…………12分 ‎22．已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，证明：．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】（1）求出导函数，通过当时，时，判断导函数的符号，图象函数的单调性；（2）要证．只需证明，证明．设．利用导函数转化证明，再证：，设，则．利用函数的单调性转化证明即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由得.‎ 当即时，，所以在上单调递增．‎ 当即时，由得；由得，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增．‎ ‎（2）要证成立，‎ 只需证成立，即证.‎ 现证：.‎ 设．则，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增．‎ 所以.‎ 因为，所以，则，‎ 即，当且仅当，时取等号．‎ 再证：.‎ 设，则.‎ 所以在上单调递增，则，即.‎ 因为，所以．当且仅当时取等号，‎ 又与两个不等式的等号不能同时取到，‎ 即，‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的单调性与最值、导数的应用等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想、数形结合思想．考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养．‎