2018-2019学年内蒙古赤峰市高一下学期期末联考数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年内蒙古赤峰市高一下学期期末联考数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年内蒙古赤峰市高一下学期期末联考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若集合，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据交集定义计算．‎ ‎【详解】‎ 由题意．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集运算，属于基础题．‎ ‎2．下列函数中，既是偶函数又在上是单调递减的是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】可先确定奇偶性，再确定单调性．‎ ‎【详解】‎ 由题意A、B、C三个函数都是偶函数，D不是偶函数也不是奇函数，排除D，‎ A中在上不单调，C中在是递增，只有B中函数在上递减．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性与单调性，解题时可分别确定函数的这两个性质．‎ ‎3．函数在的图像大致为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由解析式研究函数的性质奇偶性、特殊函数值的正负，可选择正确的图象．‎ ‎【详解】‎ 易知函数（）是偶函数，图象关于轴对称，可排除BD，‎ 时，，可排除A．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是由解析式分析函数的性质，如单调性、奇偶性、函数的极值、最值、特殊值、函数的值的正负等等．‎ ‎4．已知向量，则下列结论正确的是 A． B． C．与垂直 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】可按各选择支计算．‎ ‎【详解】‎ 由题意，，A错；‎ ‎，B错；，∴，C正确；‎ ‎∵不存在实数，使得，∴不正确，D错，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的数量积、向量的平行，向量的模以及向量的垂直等知识，属于基础题．‎ ‎5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的个数为 ‎①若，，则 ‎②若，则 ‎③若，则 ‎④若，则 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据面面垂直的定义判断①③错误，由面面平行的性质判断②错误，由线面垂直性质、面面垂直的判定定理判定④正确．‎ ‎【详解】‎ 如图正方体，‎ 平面是平面，平面是平面，但两直线与不垂直，①错；‎ 平面是平面，平面是平面，但两直线与不平行，②错；‎ 直线是直线，直线是直线，满足，但平面与平面不垂直，③错；‎ 由得，∵，过作平面与平面交于直线，则，于是，∴，④正确．‎ ‎∴只有一个命题正确．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系．对一个命题不正确，可只举一例说明即可．对正确的命题一般需要证明．‎ ‎6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯 A．81盏 B．112盏 C．162盏 D．243盏 ‎【答案】D ‎【解析】从塔顶到塔底每层灯盏数可构成一个公比为3的等比数列，其和为363．由等比数列的知识可得．‎ ‎【详解】‎ 从塔顶到塔底每层灯盏数依次记为，此数列是等比数列，公比为3，5项的和为363，则，，∴．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的应用，解题关键是根据实际意义构造一个等比数列，把问题转化为等比数列的问题．‎ ‎7．已知，则满足的关系式是 A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 ‎【答案】B ‎【解析】根据对数函数的性质判断．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，∴，又，∴，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数函数的性质，掌握对数函数的单调性是解题关键．‎ ‎8．已知函数，则有 A．的图像关于直线对称 B．的图像关于点对称 C．的最小正周期为 D．在区间内单调递减 ‎【答案】B ‎【解析】把函数化简后再判断．‎ ‎【详解】‎ ‎，由正切函数的性质知，A、C、D都错误，只有B正确．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二倍角公式和正切函数的性质．三角函数的性质问题，一般要把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后结合相应的三角函数得出结论．‎ ‎9．在边长为2的菱形中，，是的中点，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】选取向量为基底，用基底表示，然后计算．‎ ‎【详解】‎ 由题意，，‎ ‎．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的数量积，平面向量的线性运算，解题关键是选取基底，把向量用基底表示．‎ ‎10．在正四棱柱，，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】作出两异面直线所成的角，然后由余弦定理求解．‎ ‎【详解】‎ 在正四棱柱中，则异面直线与所成角为或其补角，在中，，，．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成的角，解题关键是根据定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形求之．‎ ‎11．已知点均在球上，，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为 A． B． C．32 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设是的外心，则三棱锥体积最大时，平面，球心在上．由此可计算球半径．‎ ‎【详解】‎ 如图，设是的外心，则三棱锥体积最大时，平面，球心 在上．‎ ‎∵，∴，即，‎ ‎∴．‎ 又，∴，．‎ ‎∵平面，∴，设球半径为，‎ 则由得，解得，‎ ‎∴球体积为．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查球的体积，关键是确定球心位置求出球的半径．‎ ‎12．已知圆，设平面区域，若圆心,且圆与轴相切，则的最大值为 （ ）‎ A．5 B．29 C．37 D．49‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：作出可行域如图，‎ 圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝1的圆心为，半径的圆，因为圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，可得，所以所以要使a2＋b2取得的最大值，只需取得最大值，由图像可知当圆心C位于B点时，取得最大值，B点的坐标为，即时是最大值.‎ ‎【考点】线性规划综合问题.‎ 二、填空题 ‎13．若存在实数，使不等式成立，则的取值范围是_______________.‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】不等式转化为，由于存在，使不等式成立，因此只要求得的最小值即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意存在，使得不等式成立，‎ 当时，，其最小值为，‎ ‎∴．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式能成立问题，解题关键是把问题转化为求函数的最值．不等式能成立与不等式恒成立问题的转化区别：‎ 在定义域上，不等式恒成立，则，不等式能成立，则，不等式恒成立，则，不等式能成立，则．转化时要注意是求最大值还是求最小值．‎ ‎14．若点为圆的弦的中点，则弦所在的直线的方程为___________.‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】利用垂径定理，即圆心与弦中点连线垂直于弦．‎ ‎【详解】‎ 圆标准方程为，圆心为，，‎ ‎∵是中点，∴，即，‎ ‎∴的方程为，即．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查垂径定理．圆中弦问题，常常要用垂径定理，如弦长（其中为圆心到弦所在直线的距离）．‎ ‎15．已知，则___________.‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】把已知式平方可求得，从而得，再由平方关系可求得．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，即,‎ ‎∴.‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数关系，考查正弦的二倍角公式，在用平方关系求值时要注意结果可能有正负，因此要判断是否只取一个值．‎ ‎16．设函数的最小值为，则的取值范围是___________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】确定函数的单调性，由单调性确定最小值．‎ ‎【详解】‎ 由题意在上是增函数，在上是减函数，又，‎ ‎∴，，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的单调性．由单调性确定最小值，‎ 三、解答题 ‎17．设等差数列中，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若等比数列满足，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）求出公差，由公式得通项公式；‎ ‎（2）由（1）求出，计算公比，再由等比数列前项和公式得和．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在等差数列中，，故设的公差为，‎ 则，即，所以，‎ 所以.‎ ‎（2）设数列的公比为，则，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列与等比数列的基本量法．求出数列的首项和公差（或公比），则数列的通项公式与前项和随之而定．‎ ‎18．已知函数，且.‎ ‎（1）求常数及的最大值；‎ ‎（2）当时，求的单调递增区间.‎ ‎【答案】（1），（2）递增区间为.‎ ‎【解析】（1）由二倍角公式降幂，再由求出，然后由两角和的余弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合余弦函数单调性可得最大值；‎ ‎（2）由（1）结合余弦函数性质可得增区间．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），由得，，即.‎ ‎∴，当时，‎ 即时，.‎ ‎（2）由，得 ‎，又，所以，‎ 所以递增区间为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二倍角公式，考查两角和的余弦公式，考查余弦函数的性质．三角函数问题一般都要由三角恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数或余弦函数性质求解．‎ ‎19．在中，角对应的边分别是，且.‎ ‎（1）求的周长；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由余弦定理求得，从而得周长；‎ ‎（2）由余弦定理求得，由平方关系得，同理得，然后由两角差的余弦公式得结论．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）在中，，由余弦定理，得 ‎，即，‎ ‎∴的周长为 ‎（2）由，得，‎ 由，得，于是 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理和两角差的余弦公式，考查同角间的三角函数关系式，属于基础题．‎ ‎20．已知圆经过点，且圆心在直线：上.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线与圆交于两点，问在直线上是否存在定点 ‎，使得恒成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）在直线上存在定点，使得恒成立，详见解析 ‎【解析】（1）求出弦中垂线方程，由中垂线和直线相交得圆心坐标，再求出圆半径，从而得圆标准方程；‎ ‎（2）直线斜率存在时，设方程为，代入圆的方程，得的一元二次方程，同时设交点为由韦达定理得，假设定点存在，设其为，由求得，再验证所作直线斜率不存在时，点也满足题意．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）的中点为，∴的垂直平分线的斜率为，‎ ‎∴的垂直平分线的方程为，∴的垂直平分线与直线交点为圆心，则 ‎，解得，‎ 又．‎ ‎∴ 圆的方程为.‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则过点的直线方程为，故 由，整理得，‎ 设，‎ 设，则，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即 ‎，‎ 当斜率不存在时，成立，‎ ‎∴在直线上存在定点，使得恒成立 ‎【点睛】‎ 本题考查求圆的标准方程，考查与圆有关的定点问题．求圆的标准方程可先求出圆心坐标和圆的半径，然后得标准方程，注意圆心一定在弦的中垂线上．定点问题，通常用设而不求思想，即设直线方程与圆方程联立消元后得一元二次方程，设直线与圆的交点坐标为，由韦达定理得，然后设定点坐标如本题，再由条件求出，若不能求出说明定点不存在，如能求出值，注意验证直线斜率不存在时，此定点也满足题意．‎ ‎21．如图，在三棱柱中，是边长为4的正三角形，侧面是矩形，分别是线段的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若平面平面，，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】（1）取中点为，连接，由中位线定理证得，即证得平行四边形，于是有，这样就证得线面平行；‎ ‎（2）由等体积法变换后可计算．‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）取中点为，连接，‎ 是平行四边形，‎ 平面，平面，∴平面 解：（2）是线段中点，则 ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行的判定，考查棱锥的体积．线面平行的证明关键是找到线线平行，而棱锥的体积常常用等积变换，转化顶点与底．‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）判断函数奇偶性；‎ ‎（2）讨论函数的单调性；‎ ‎（3）比较与的大小.‎ ‎【答案】（1）是偶函数（2）见解析（3）‎ ‎【解析】（1）由奇偶函数的定义判断；‎ ‎（2）由单调性的定义证明；‎ ‎（3）由于函数为偶函数，因此只要比较与的大小，因此先确定与的大小，这就得到分类标准．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）是偶函数 ‎（2）当时，是增函数；当时，是减函数；先证明当时，是增函数 证明：任取，且，则 ‎，且，‎ ‎，即：当时，是增函数 ‎∵是偶函数，∴当时，是减函数.‎ ‎（3）要比较与的大小，∵是偶函数，∴只要比较与大小即可.‎ 当时，即时，∵当时，是增函数，‎ ‎∴‎ 当时，即当时，∵当时，是增函数，‎ ‎∴‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶性与单调性的定义是解题基础．‎