2019年长沙四校高考模拟卷（一）理科数学(解析版)

2019年长沙四校高考模拟卷（一）理科数学(解析版)

2019 年长沙四校高考模拟卷（一） 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知复数 z 满足(1 i) i ( )Rz a a    ，且复数 z 的实部和虚部互为相反数，则实数 a 的值为（ ） A．0 B．1 C． 1 D．2 1．答案：A 解析：设 i ( )Rz b b b   ，则(1 i) (1 i)( i) 2 i iz b b b a        ，所以 10, 2a b  ． 2．如图，已知集合 2 1 1{ | 1 0}, 14 2 ≤ ≤ x A x x B x              ，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A．[0,1) B．( 1,0] C．( 1,0) D．[1,2] A B 2．答案：C 解析： 2 0 2 1 1 1 1 1{ | 1 0} ( 1,1), 1 [0,2]4 2 2 2 2 ≤ ≤ ≤ ≤ x x A x x B x x                                             ， 所以 [0,1)A B  ，图中阴影部分表示 A B 在 A 中的补集，即( 1,0) ． 3．小凯利用上下班时间跑步健身，随身佩戴的手环记录了近 11 周的跑步里程（单位：km）的数据，绘制 了下面的折线图． 根据折线图，下列结论正确的是（ ） A．剔除第 8 周数据，跑步里程逐周增加 B．周跑步里程的极差为 20km C．周跑步里程的平均数低于第 7 周对应的里程数 D．周跑步里程的中位数为第 6 周对应的里程数 3．答案：C 解析：剔除第 8 周数据，周跑步里程逐周有增有减，A 错；周跑步里程的极差比 20 km 小，B 错； 周跑步里程的中位数为第 5 周对应的里程数，D 错； 第 7 周对应的里程数为 15 km，观察数据，知周跑步里程的平均数比 15km 小，C 正确． 4．已知函数 2log 1 , 0 4 ( ) , 42 ≤x x f x x x       ，则使不等式 1( ) 4f x f      成立的 x 的取值范围是（ ） A． 10, 4      B． 1 ,364      C． 1 ,164      D． 1 , 44      4．答案：B 解析： 2 1 1log 1 34 4f        ，当 32 x  时， 36x  ．又 ( )f x 在 (0, 2) 上是减函数，在(2, ) 上是增 函数，所以使 1( ) 4f x f      成立的 x 的取值范围是 1 ,364      ． 4 3 2 1 1 2 4 6 8 10 12O 5．如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A．14 2 2 2 5  B．16 2 2 2 5  C．14 4 2 D．16 2 5 5．答案：A 解析：由三视图可知该几何体由一个长方体和一个三棱锥组合而成，其表面积为 1 1 12 2 4 2 1 2 2 2 2 2 2 2 5 14 2 2 2 52 2 2                 ． 6．已知曲线 1 2: 2 2 sin cos , : sin 2 cos 2C y x x C y x x   ，则下面结论正确的是（ ） A．把曲线 1C 向右平移 8  个单位长度，得到曲线 2C B．把曲线 1C 向左平移 4  个单位长度，得到曲线 2C C．把曲线 2C 向左平移 4  个单位长度，得到曲线 1C D．把曲线 2C 向右平移 8  个单位长度，得到曲线 1C 6．答案：D 解析：曲线 1 : 2 2 sin cos 2 sin 2C y x x x  ， 曲线 2 : sin 2 cos 2 2 sin 2 2 sin 24 8C y x x x x                ，所以把曲线 2C 向右平移 8  个单位长 度，得到曲线 1C （或把曲线 1C 向左平移 8  个单位长度，得到曲线 2C ） 7．某校高三年级为了解学情和教情，在该年级 6 个班中选 10 名学生参加座谈会，要求每班至少派 1 名学 生参加，其中高三（1）班至少派 2 名学生参加，则不同的选派方式有（ ） A．72 种 B．60 种 C．50 种 D．56 种 7．答案：D 解析：首先需满足高三（1）班选 2 名学生，其余班级各选 1 名学生，然后只需分配剩下的 3 个名额，这 3 个名额可以分到一个班，有 1 6C 种分法，也可以分到两个班，其中一个班 1 名，1 个班 2 名，有 2 6A 种方法， 还可以分到三个班，每班 1 名，有 3 6C 种分法．因此不同的选派方式有 1 2 3 6 6 6 56C A C   （种）． 解法二：隔板法：十个名额，排成一列，产生 9 个空隙，为保证高三（1）班至少有 2 名学生参加，第一 个空隙不能插入隔板，在剩余的 8 个空隙中插入 5 块隔板，分成 6 组，共有 5 8 56C  种方法． 8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A．2 B． 1 C． 1 2 D． 2 8．答案：B 解析： 1n  时， 1 1(2) 1 2 2a f    ； 2n  时， 1 1 2 12a f         ； 3n  时， ( 1) 1 1 2a f     ； 4n  时， 1 1(2) 1 2 2a f    ．……，则 a 的取值呈周期为 3 的方式出现，由循环语句，知当 8n  时， 1a   ，当 9n  时跳出循环，执行输出，此时 1a   ． 9．在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，平面 过点 A ，且 1AC  ，  平面 1ABCD l ，平面  过点 1A ， 且 1AC  ，   平面 1 1 2AA D D l ，则直线 1 2,l l 所成角的余弦值为（ ） A． 3 3 B． 2 2 C． 3 2 D． 1 2 9．答案：D 解析：如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，易得 1AC  平面 1A BD ，因为 1AC  ，所以平面 1 //A BD  ， 又  平面 1ABCD l ，平面 1A BD  平面 ABCD BD ，所以 1 //l BD ， 易得 1AC  平面 1 1AB D ，因为 1AC  ，所以平面 1 1 //AB D  ，又   平面 1 1 2AA D D l ，平面 1 1AB D  平面 1 1 1AA D D AD ，所以 2 1//l AD ， 所以 1l 与 2l 所成的角就是 BD 与 1AD 所成的角，又 1 1//AD BC ，所以 1DBC 就是 1l 与 2l 所成的角． 因为 1DBC△ 是正三角形，所以 1 1 160 , cos 2DBC DBC     ，故选 D． 开始 2a  1( ) 1 , 1f x nx   n<9? ( )a f a 1n n  输出a 结束 是 否 A B CD D1 A1 B1 C1 10．已知点 1 2,F F 分别是双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b    的左右焦点，在双曲线的右支上存在一点 P ，使 2 1 1 2, ,PF PF F F 成等比数列，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A．[2 5, )  B．[4, ) C．[4,2 5] D．[2 3, )  10．答案：A 解析：令 1 2,PF m PF n  ，则由 2 1 1 2, ,PF PF F F 成等比数列，得 2 1 2m n F F ，又 2m n a  ， 1 2 2F F c ，所以 2 2( 2 )m m a c  ，即 2 2 4 0m mc ac   ，则 24 16c ac   ，且 2 4m c c ac   ． 根据 0  ，得 4e  ．由 m c a≥ ，得 2 2 24 , 4c ac a c ac a ≥ ≥ ， 2 4 1 0e e  ≥ ，所以 2 5e ≥ ． 11．在等腰三角形 ABC 中， 2, 90AB ACB   ，点 P 是 ABC△ 所在平面内一点，且满足 2 2BP  ， 若 AP AB AC      ，则  的最小值是（ ） A．1 B． 1 4 C．2 D． 1 2 11．答案：D 解析：以C 为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则 ( 2,0), (0, 2)A B ，点 P 在以 (0, 2)B 为 圆心，半径为 2 2 的圆上，故可设 2 2cos , 2 sin2 2P       ，由 AP AB AC      ， 得 2 2cos 2, sin 2 ( 2, 2) ( 2,0) ( 2 2 , 2 )2 2                   ， 所以 22 2 cos 22      ， 1 1 31 cos ,2 2 2           ，所以  的最小值是 1 2 ． B AC P 12．在 ABC△ 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，若 ,A B 是锐角，且 sin sina A b B c  ，则 ABC△ 一定是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 12．答案：B 解析：由 sin sin sina A b B C  及正弦定理可得 2 2sin sin sinA B C  ． 在 ABC△ 中，根 据 A B C    ，得 ( )C A B   ，所 以 sin sin( )C A B  ，于 是 原 式 化 为 2 2sin sin sin cos cos sinA B A B A B   ，即sin (sin cos ) sin (cos sin )A A B B A B   ．（*） 若 2A B   ，由 ,A B 是锐角，知 02 2A B     ，所以sin sin cos2A B B      ， cos cos sin2A B B      ，即sin cos 0, cos sin 0A B A B    ，又sin 0, sin 0A B  ， 所以（*）不成立． 若 2A B   ，由 ,A B 是锐角，知0 2 2A B     ，所以sin sin cos2A B B      ， cos cos sin2A B B      ，即sin cos 0, cos sin 0A B A B    ，又sin 0, sin 0A B  ， 所以（*）不成立． 若 2A B   ，则 2A B  ，sin sin cos2A B B      ， cos cos sin2A B B      ， 所以（*）成立．此时 ( ) 2C A B     ，所以 ABC△ 一定是直角三角形． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上． 13．已知随机变量 X 服从正态分布 2(2, )N  ，若 ( 3) 0.8P X   ，则 ( 1)≤P X  ． 13．答案：0.2 解析： ( 1) ( 3) 1 ( 3) 1 0.8 0.2P X P X P X      ≤ ≥ ． 14．过点 (1,0)F 作直线交抛物线 2 4y x 于 ,A B 两点，交直线 1x   于点C ，且 3 2AF BC   ，则线段 AB 的长为 ． 14．答案：16 3 解析：如图，不妨设点 A 在 x 轴上方，显然点 (1,0)F 是抛物线 2 4y x 的焦点，直线 1x   是抛物线 2 4y x 的准线，过点 ,A B 作准线 1x   的垂线，垂足分别为 1 1,A B ，设准线 1x   交 x 轴于点 1F ， 则 1 2FF  ．设 , ,AF m BF n BC t   ，则 1 1,AA m BB n  ，于是 3 2 2 m t n t n t n t m t m n          ，解得 8 3 4 4 3 t m n         ， 所以 16 3AB m n   ． 解法二：如图，不妨设点 A 在 x 轴上方，显然点 (1,0)F 是抛物线 2 4y x 的焦点，直线 1x   是抛物线 2 4y x 的准线，过点 ,A B 作准线 1x   的垂线，垂足分别为 1 1,A B ，设 AFx   ， 则 1 1 2 2 2 2, ,1 cos 1 cos cos cos cos BBAF BB BF BC           ， 由 3 2AF BC   ，得 2 2 3 2 1 cos 2 cos cos     ，整理得 22cos 5cos 3 0    ， 即 2 1 2 4 16(2cos 1)(cos 3) 0, cos , 60 , 32 sin 3 4 pAB               ． 15．若实数 ,x y 满足约束条件 2 0 4 12 15 0 1 0 ≤ ≤ ≥ x y x y x y        ，则 2 24 2z x x y    的最小值是 ． 15．答案： 19 16 解析：作出可行域如图所示，其中 3 3,2 4A     ， 2 2 2 24 2 ( 2) 2z x x y x y        的几何意义为可行 域内的点( , )x y 到点 (2,0)P 的距离的平方减去 2．过点 P 作直线 2 0x y  的垂线，垂足为 D ， 则 8 4,5 5D     ，由于 3 8 2 5 ，所以点 8 4,5 5D     不在可行域内，故点 A 到点 P 的距离最小， 于是 2 2 min 3 3 192 22 4 16z                ． D P C B A O 1 0x y   4 12 15 0x y   2 0x y  16．若定义域为 R 的奇函数 ( )f x 满足 (2 ) ( )f x f x  ，且当0 1≤ ≤x 时， ( )f x x ，则函数 ( ) ( )xg x e f x 在区间[ 1,5] 上的最小值为 ． 16．答案： 3e 解析：根据 ( )f x 为奇函数，且当 0 1x≤ ≤ 时， ( )f x x ，得 1 1x ≤ ≤ 时， ( )f x x ． 由 (2 ) ( )f x f x  ，得 ( )f x 的图象关于直线 1x  对称，所以当1 3x ≤ 时， ( ) 2f x x  ． ( )f x 既关于(0,0) 对称，又关于直线 1x  对称，所以是双对称函数，从而是周期函数，周期为 4， 所以当3 5x ≤ 时， 1 4 1x   ≤ ，从而 ( ) ( 4) 4f x f x x    ． 于是当 1 1x ≤ ≤ 时， ( ) , ( ) ( 1) , ( )x xg x xe g x x e g x   在[ 1,1] 上是增函数， 1 ( )g x ee ≤ ≤ ； 当1 3x ≤ 时， ( ) (2 ) , ( ) (1 ) , ( )x xg x x e g x x e g x    在(1,3] 上是减函数， 3 ( )e g x ≤ ≤e ． 当3 5x ≤ 时， ( ) ( 4) , ( ) ( 3) , ( )x xg x x e g x x e g x    在(3,5]上是增函数， 3 5( )e g x e  ≤ ． 综上， ( )g x 在区间[ 1,5] 上的最小值为 3(3)g e  ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分） 已知 nS 是等比数列{ }na 的前 n 项和， 3 3 1 3,2 2a S  ． （1）求数列{ }na 的公比； （2）对于数列{ }nS 中任意连续的三项，按照某种顺序排列，是否成等差数列？ 17．解析：（1）设等比数列{ }na 的公比为 ( 0)q q  ，由 3 1 2a  ， 得 3 3 1 22 2 1 1,2 2 a aa aq q q q    ．………………………………………………………………………3 分 所以 2 3 1 2 3 2 1 1 1 31 , 2 1 0, (2 1)( 1) 02 2S a a a q q q qq q                  ， 解得 1q  或 1 2q   ．……………………………………………………………………………………6 分 （2）当 1q  时， 1 1 2 1 2 1 1 1 1, , ( 1), ( 2), 22 2 2 2n n n n n na S n S n S n S S S           ， 即 1 2, ,n n nS S S  成等差数列． 所以当 1q  时，数列{ }nS 中任意连续的三项 1 2, ,n n nS S S  成等差数列．…………………………8 分 当 1 2q   时， 1 12 1 2 4 12, 11 3 21 2 n n na S                       ， 同理 1 2 1 2 4 1 4 11 , 13 2 3 2 n n n nS S                                ，…………………………………………10 分 所以 1 1 4 1 4 1 4 1 1 1 4 1 11 1 2 23 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 n n n n n n nS S                                                                         2 2 4 1 4 1 12 2 2 23 2 3 2 2 n n nS                              ．所以 2 12 n n nS S S   ，即 2 1, ,n n nS S S  成等差数列， 所以当 1 2q   时，数列{ }nS 中任意连续三项 1 2, ,n n nS S S  ，按照顺序 2 1, ,n n nS S S  排列，成等差数列． 18．（本小题满分 12 分） 一微商店对某种产品的日销售量（单位：件）进行为期一个月的数据统计分析，并得到日销售量的频率分 布直方图如图所示（每组包含最小值，不包含最大值）．假设用频率分布直方图中所得的频率估计相应事 件发生的概率． （1）求在连续 4 天的销售中，恰有连续 2 天的日销售量不低于 25 件的概率； （2）若该微商店某天的销售量不低于 27 件，则上级商企当天会给该微商店送 100 元的礼金，设 X 表示该 微商店一年内得到礼金的次数，求 X 的数学期望以及一年内得到的礼金数（一年按 365 天计算）． 18．解析：（1）设事件 A：日销售量不低于 25 件，则 ( ) (0.04 0.02) 5 0.3P A     ，………………2 分 设事件 B：在连续 4 天的销售中，恰有连续 2 天的日销售量不低于 25 件， 则 2 2( ) 3 0.3 0.7 0.1323P B     ．………………………………………………………………………5 分 （2）设事件 C：日销售量不低于 27 件， 则 ( ) 0.04 (30 27) 0.02 5 0.12 0.1 0.22P C         ．……………………………………7 分 因为 (365, 0.22)X B～ ，所以 ( ) 365 0.22 80.3E X    ，……………………………………10 分 一年内得到的礼金数为80.3 100 8030  （元）．…………………………………………………12 分 19．（本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 A BCD 中， BCD△ 是边长为 4 的正三角形，E 为 BC 的中点，平面 ADE  平面 BCD ， 二面角 A BC D  的余弦值为 7 7 ，三棱锥 A BCD 的体积为 4 6 ． （1）求证：平面 ADE  平面 ABC ； （2）求二面角C AD B  的余弦值． A B C D E 19．解析：（1）因为 BCD△ 是正三角形，BC 的中点为 E ，所以 BC DE ．又平面 ADE  平面 BCD ， 平面 ADE  平面 BCD DE ， BC  平面 BCD ，所以 BC  平面 ADE ， 又 BC  平面 ABC ，所以平面 ADE  平面 ABC ．……………………………………………………4 分 （2）由（1）知 ,BC AE BC DE  ，所以 AED 是二面角 A BC D  的平面角， 即 7 42cos , sin , tan 67 7AED AED AED      ．……………………………………………5 分 过点 A 作 AO DE 于点O ， BC  平面 ADE ， AO  平面 ADE ，所以 AO BC ， 又因为 DE BC E ，所以 AO  平面 BCD ， 23 4 4 34BCDS   △ ， 1 1 4 3 4 63 3A BCD BCDV S AO AO      △ ，所以 3 2AO  ． 所以 3tan AOEO AED  ，又 2 3DE  ，所以 3OD  ， 解法一：以O 为坐标原点，OE 所在直线为 x 轴，OA 所在直线为 z 轴，过点O 与 BC 平行的直线为 y 轴， 建立如图所示空间直角坐标系，则 ( 3, 2,0), ( 3, 2,0), ( 3,0,0), (0,0,3 2)B C D A  ． 所以 ( 3,0,3 2), (2 3, 2,0), (2 3, 2,0)DA DC DB       ． 设平面 ACD 的法向量为 ( , , )m a b c  ，则 3 3 2 0 2 3 2 0 m DA a c m DC a b              ，可取 ( 6, 3 2, 1)m     ， 设平面 ABD 的法向量为 ( , , )n x y z ，则 3 3 2 0 2 3 2 0 n DA x z n DB x y              ，可取 ( 6,3 2, 1)n    ……10 分 由图易知二面角C AD B  为锐二面角，设其大小为 ， 则 11cos 25 m n m n          ．故二面角C AD B  的余弦值为 11 25 ．……………………………………12 分 A B C D E O x y z A B D E O F C 解法二：易求得 21AE AD  ， 5AB AC  ，又 4BD CD  ， AD 为公共边， 所以 ABD ACD△ ≌△ ．过点C 作CF AD 于 F ，连接 BF ，则 BF AD ，所以 BFC 是二面角 C AD B  的平面角．………………………………………………………………………………9 分 在 ACD△ 中，由余弦定理得 25 16 21 1cos 40 2ACD     ，所以 60ACD   ． 由 1 1sin 602 2AC CD AD CF      ，得 1 3 15 4 212 2 2 CF      ，得 10 7 7CF  ， 所以 10 7 7BF  ．…………………………………………………………………………………………10 分 在 BCF△ 中， 10 74, 7BC CF BF   ，由余弦定理得 100 100 16 117 7cos 100 252 7 BFC       ． 故二面角C AD B  的余弦值为 11 25 ．……………………………………………………………………12 分 20．（本小题满分 12 分） 如图，已知点 (1,0)N ，点 ,E F 均在圆 2 2( 1) 16x y   上，且 0EF EN    ，过点 N 作 MF 的平行线分 别交 ,ME EF 于点 ,P Q ． （1）求点 P 的轨迹方程； （2）设点 P 的轨迹为曲线C ，过点 M 作斜率为 1k 的直线 1l 交曲线C 于 ,A B 两点，过点 N 作斜率为 2k 的 直线 2l 交曲线C 于 ,G H 两点，且 1 2 1k k  ，求证： 1 1 AB GH 是定值． OM N E F P Q x y 20．解析：（1）由 //NP MF ，得 MFE NQE   ．由 ME MF ，得 MFE MEQ   ， 所以 NQE MEQ   ，由 0EF EN    ，知 90QEN  ，所以 PNE PEN   ，即 PN PE ， 所以 4PM PN PM PE ME     ，且 2 4MN   ， 所以点 P 的轨迹是以 ,M N 为焦点的椭圆．…………………………………………………………………3 分 这里 2 4, 2 2a c  ，所以 22, 1, 3a c b   ，故点 P 的轨迹方程为 2 2 14 3 x y  ．………………5 分 （2）设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，由题意得直线 1 1: ( 1)l y k x  ，代入 2 23 4 12 0x y   ，得 2 2 2 2 1 1 1(4 3) 8 4 12 0k x k x k     ，所以 2 2 1 1 1 2 1 22 2 1 1 8 4 12,4 3 4 3 k kx x x xk k      ，……………………7 分 所以 2 2 12 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 12 1 12(1 )1 ( ) 4 1 4 3 4 3 k kAB k x x x x k k k            ． 同理， 2 2 2 2 12(1 ) 4 3 kGH k   ．…………………………………………………………………………10 分 因为 1 2 1k k  ，所以 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 4 3 4 3 (4 3)(1 ) (4 3)(1 )1 1 1 12(1 ) 12(1 ) 12 (1 )(1 ) k k k k k k AB GH k k k k               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4 3 4 3 4 3 4 3 7 7 141 1 7 12 1 12 2 12 k k k k k k k k k k k k k k k k                  ．为定值．……12 分 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) ln( 1) 2 ( )Rf x x a x x a     ． （1）讨论 ( )f x 的单调性； （2）若对任意的 1 0x   ，都有 ( ) ( 2)f x a x  ，求 a 的取值范围． 21．解析：（1）由题意知， ( )f x 的定义域是( 1, )  ， 22 2( ) 2 21 1 a x af x x x x        ．……1 分 当 2a≥ 时， ( ) 0f x ≥ ，所以 ( )f x 在 ( 1, )  上单调递增．…………………………………………2 分 当 2a  时，方程 22 2 0x a   的两根分别为 1 2 1 21 , 1 ,2 2 a ax x x x      ， 若 0 2a  ，则 1 12 a    ，令 ( ) 0f x  ，得 1 1 2 ax     或 1 2 ax   ， 令 ( ) 0f x  ，得 1 12 2 a ax     ；……………………………………………………4 分 若 0a ≤ ，则 1 1 12 2 a a    ≤ ， 令 ( ) 0f x  ，得 1 2 ax   ，令 ( ) 0f x  ，得 1 1 2 ax    ．……………………………………5 分 综上，当 2a≥ 时， ( )f x 在( 1, )  上单调递增； 当 0 2a  时， ( )f x 在 1, 1 , 1 ,2 2 a a                 上单调递增，在 1 , 12 2 a a       上单调递减； 当 0a ≤ 时， ( )f x 在 1, 1 2 a      上单调递减，在 1 ,2 a      上单调递增．……………………6 分 （2）令 2( ) ( ) ( 2) ln( 1)g x f x a x x a x ax       ，因为对任意的 1 0x   ， ( ) ( 2)f x a x  恒成 立，所以对任意的 1 0x   ， ( ) 0g x  恒成立．………………………………………………7 分 2 2 12 (2 ) 2 ( 1) 2( ) 2 1 1 1 1 ax xa x a x x x axg x x ax x x x                   ，…………………………8 分 当 2a≥ 时，2 0a ≤ ，又 1 0x   ，所以(2 ) 0a x ≥ ，所以 ( ) 0, ( )g x g x  在 ( 1,0) 上是增函数， ( ) (0) 0g x g  ，符合题意．………………………………………………………………………………9 分 当 0a ≤ 时，因为 1 0x   ，所以 0, 2 ( 1) 0ax x x  ≤ ，于是 2 ( 1)( ) 01 x x axg x x     ， ( )g x 在 ( 1,0) 上是减函数， ( ) (0) 0g x g  ，不符合题意．…………………………………………10 分 当 0 2a  时， 0 1 12 a   ，令 2 1 2( ) 01 ax x g x x        ，得 1 0, ( )2 a x g x    在 1,02 a    上 是减函数，所以当 1 02 a x   时， ( ) (0) 0g x g  ，不符合题意．…………………………11 分 综上， a 的取值范围是[2, ) ．………………………………………………………………………12 分 （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修 4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分） 在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 3 1 2 2x t y m t       （t 为参数）．以坐标原点为极点， x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 4sin 6       ． （1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与圆C 相切，求 m 的值． 22．解析：（1）直线l 的普通方程为 2 3 0x y m    ，………………………………2 分 由 4sin 6       ，得 2cos 2 3 sin    ，即 2 2 cos 2 3 sin      ， 由 2 2 2 , cos , sinx y x y        ，得 2 2 2 2 3x y x y   ， 所以圆C 的直角坐标方程为 2 2( 1) ( 3) 4x y    ．………………………………………………5 分 （2）因为直线l 与圆C 相切，所以圆心到直线的距离 2 3 3 2 5 m d      ，所以 2 2 5m  ， 所以 2 2 5m    ，所以 m 的值为 2 2 5  ．……………………………………………………10 分 23．【选修 4—5：不等式选讲】（本小题满分 10 分） 已知函数 ( ) 1f x ax  ． （1）当 1a  时，解不等式 ( ) 2 1≤f x x  ； （2）若 (1) , (2)≤ ≤f M f M ，求证： 1 3 ≥M ． 23．解析：（1）当 1a  时，不等式 ( ) 2 1≤f x x  即 1 2 1x x ≤ ， 当 1x≥ 时， 1 2 1, 2x x x  ≤ ≥ ，所以 1x≥ ； 当 1x  时，1 2 1, 0x x x ≤ ≥ ，所以0 1x ≤ ． 因此，所求不等式的解集为[0, ) ．………………………………………………………………5 分 （2）由 (1) , (2)≤ ≤f M f M ，得 1 , 1 2a M a M ≤ ≤ ， 3 3 2 1 1 2 2 2 1 2 (2 2 ) (1 2 ) 1M M M a a a a a a            ≥ ≥ ， 当且仅当 1 , 1 2 , (2 2 )(1 2 ) 0M a M a a a      ≤ ，即 2 3a  时，等号成立，故 1 3M ≥ ．（10 分）