2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题24 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用（讲）（解析版）

2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题24 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用（讲）（解析版）

专题24 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用 圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择或者填空题，一个解答题．选择或者填空题有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系．要求学生有较强的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生比较头疼的题目.分析原因，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以及运算能力不足造成，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.‎ ‎1. 圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是高考考查圆锥曲线的一个重要命题点，在历年的高考试题中曾多次出现．需熟练掌握．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【例】【山东省德州市2020届高三第二次练习数学试题】已知双曲线的左、右焦点分别为， ，离心率为， 为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】双曲线的左、右焦点分别为， ，离心率为， ，可得， ，① ‎ ‎，② 由①②得， 的周长为，故选C.‎ ‎【例】【河南省郑州市2020届高三上期末】过抛物线()的焦点作斜率大于的直线 交抛物线于， 两点(在的上方)，且与准线交于点，若，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分别过作准线的垂线，垂足分别为，设，则， ，故选A.‎ ‎【例】已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】在中，设，则，‎ 又由椭圆定义可知则离心率，故选D.‎ ‎2 圆锥曲线的简单几何性质是圆锥曲线的重点内容，主要考查椭圆与双曲线的离心率的求解、双曲线的渐近线方程的求解，难度中档．　　‎ ‎【例】已知椭圆(a＞b＞0)的离心率为，则 A．a2=2b2 B．3a2=4b2‎ C．a=2b D．3a=4b ‎【答案】B ‎【解析】椭圆的离心率，化简得，故选B.‎ ‎【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识､基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.‎ ‎【例】【河北省唐山市2020届高三上期末】双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，则，．‎ ‎【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．‎ ‎【例】已知是抛物线上一点， 是抛物线的焦点，若， 是抛物线的准线与轴的交点，则( )‎ A. 45° B. 30° C. 15° D. 60°‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以 ，所以 ,选A.‎ ‎【例】已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得 ‎∴，，又OA与OB都是渐近线，‎ 得又，‎ ‎∴又渐近线OB的斜率为，∴该双曲线的离心率为．‎ ‎【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题．解答本题时，通过向量关系得到和，从而可以得到，再结合双曲线的渐近线可得进而得到从而由可求离心率.‎ ‎3 轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相融合，着重考查分析问题、解决问题的能力，对逻辑思维能力、运算能力也有一定的要求．　‎ ‎【例】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设双曲线的右焦点坐标为(c>0)，则，由可得： ，‎ 不妨设： ，双曲线的一条渐近线方程为： ，据此可得： ‎ ‎， ，则，则，‎ 双曲线的离心率： ，据此可得： ，则双曲线的方程为.‎ ‎【例】已知抛物线的准线为与圆相交所得弦长为，则__ _．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】抛物线y＝ax2(a＞0)的准线ly，双曲线的两条渐近线分别为y，y，可得xA，xB，则|AB|4，则a．‎ ‎【例】设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若(为原点)，且，求直线的方程．‎ ‎【答案】(1)；(2)或．‎ ‎【解析】(1)设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，．‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎(2)由题意，设．设直线的斜率为，又，‎ 则直线的方程为，与椭圆方程联立整理得，‎ 可得，代入得，进而直线的斜率．‎ 在中，令，得．由题意得，所以直线的斜率为．‎ 由，得，化简得，从而．‎ 所以，直线的方程为或．‎ ‎【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．‎ 4 在高考中，直线与圆锥曲线的位置关系是热点，通常围绕弦长、面积、定点(定值)，范围问题来展开，其中设而不求的思想是处理相交问题的最基本方法，试题难度较大．‎ ‎【例】【2020届广西防城港市高中毕业班模拟】已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线右支于两点，若是等腰三角形， .则的周长为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】双曲线的焦点在轴上，则；设，由双曲线的定义可知： ，由题意可得： ，据此可得： ，又，由正弦定理有： ，则，即： ，解得： ，则△ABF1的周长为： ‎ ‎.‎ ‎【例】【福建省泉州市2020届高三上期末】已知是椭圆的右焦点，过原点的直线与交于，两点，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】椭圆C：的a=2，b=，c=1，可取左焦点为F'，连接MF'，NF'，可得四边形MFNF'为平行四边形，即有|MF|+|NF|=|MF|+|MF'|=2a=4，设|MF|=x，x∈[1，3]，则|NF|=4-x，则=可令f(x)=, 可得f(x)在[1，]递减，(，3]递增，可得f(x)的最小值为f()=,f(1)=,f(3)=即f(x)的最大值为,则的取值范围是.‎ ‎【例】【广东省广州市2019届高三第一学期调研考试(一模) 】已知动圆过定点，且与定直线相切．‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎(2)过点的任一条直线与轨迹交于不同的两点，试探究在轴上是否存在定点(异于点)，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】(1) ，(2)见解析 ‎【解析】(1)解法1：依题意动圆圆心到定点的距离与到定直线的距离相等， 由抛物线的定义，可得动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 其中．‎ 动圆圆心的轨迹的方程为．‎ 解法2：设动圆圆心 ，依题意：. 化简得：，即为动圆圆心的轨迹的方程 ‎(2)解：假设存在点满足题设条件．由可知，直线与的斜率互为 相反数，即 ①，直线的斜率必存在且不为，设, ‎ 由得，由,得或．‎ 设，则．‎ 由①式得 ,‎ ‎,即．‎ 消去，得， ,‎ ‎ , 存在点使得．‎ ‎【例】【2020届安徽省马鞍山市高三月考】已知椭圆经过点，离心率为，过原点作两条直线，直线交椭圆于，直线交椭圆于，且.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)若直线的斜率分别为，求证： 为定值.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】(1)由题意知， 且，解得， ，椭圆的方程为；‎ ‎(2)由对称性可知，四边形是平行四边形，设， ，则， ，由，得，‎ ‎，所以，‎ ‎，故为定值2.‎ ‎【反思提升】圆锥曲线问题，往往利用 的关系或曲线的定义，确定圆锥曲线方程是基础，通过联立直线方程与圆锥曲线方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题“出奇”之处在于有较浓的“几何味”，研究几何图形的面积等.这类题目能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力、数学的应用意识等.因此，在复习中，一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法，在抓住通性通法的同时，要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧．二要熟悉圆锥曲线的几何性质，重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想，向量与导数的方法来解决问题的能力.最后要注意运算能力的培养.‎