数学理卷·2017届甘肃省定西市通渭县高三上学期期末考试（2017

数学理卷·2017届甘肃省定西市通渭县高三上学期期末考试（2017

‎2016—2017学年度高三级第一学期期末试题（卷）‎ 数学（理科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在试卷的答题卡中）‎ ‎1.已知集合，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.复数在复平面上对应的点位于( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )‎ A.72 B.60 C.48 D.24 ‎ ‎4.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=( )【来源：全,品…中&高*考+网】‎ A.5 B. C.2 D.1‎ ‎5.设、是实数，则“”是“”的（ ）‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6.圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（ ）‎ A.1 B.2 C. D.2‎ ‎7. 右图中的三个直角三角形是一个体积为20几何体的三视图，则( ) A. B.5 C.6 D.3‎ ‎8.函数的图象是（ ）‎ ‎9.已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11．已知向量是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的正实数，的最小值是（ ）‎ A． B．2 C． D．4‎ ‎12．设函数在上的导函数为，且，下面的不等式在上恒成立的是( ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.‎ ‎13．的展开式中x7的系数为__________.(用数字作答)‎ ‎14．若满足则的最大值为__________‎ ‎15．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的，分别为14，20，则输出的＝______．‎ ‎16．在中，内角的对边分别为,已知,，则面积的最大值为 .‎ 三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知在递增等差数列中，，是和的等比中项．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若，为数列的前项和，是否存在实数，使得，对于任意的恒成立？若存在，请求实数的取值范围，若不存在，试说明理由．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．‎ ‎（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；‎ ‎（Ⅱ）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 在四棱锥中，平面平面，为等边三角形,‎ ‎,,,点是的中点．‎ ‎（I）求证:平面；‎ ‎（II）求二面角的余弦值；‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)当△AMN的面积为时，求k的值．‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的值.‎ 请考生在[22]、[23]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（II）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（I）当时，求不等式的解集；‎ ‎（II）设函数．当时，，求的取值范围．‎ ‎2017届第一学期期末考试 高三数学（理科）答案 一、选择题：（请将正确选项填在答题卡中.）‎ 题号【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D A B D C A B D B A A 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.‎ ‎13． －56 ; 14．___7___; 15． 2 ; 16．‎ 三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 解：(1)由为等差数列，设公差为，则，‎ ‎∵是和的等比中项，‎ ‎∴，即，‎ 解得（舍）或，∴．‎ ‎(2)存在．，‎ ‎∴的前项和，‎ ‎∴存在实数，使得对于任意的恒成立，‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，则 ‎ ‎ 所以选出的3名同学来自班级的概率为． ……………………………4分 ‎（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，则 ‎； ； ‎ ‎； ． ‎ 所以随机变量X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 随机变量X的数学期望 ‎． …………………………12分 ‎19. （本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明:取中点,连结.‎ ‎ 因为 为中点 ,‎ ‎ 所以 .‎ 因为.‎ 所以且.‎ 所以四边形为平行四边形,‎ ‎ 所以 .‎ 因为 ,‎ ‎ 平面,‎ ‎ 所以平面. …………………………..5分 ‎（Ⅱ） 取中点,连结 因为 ,‎ 所以.‎ 因为 平面平面,‎ 平面平面,‎ 平面,‎ 所以.‎ 取中点,连结,则 以为原点,如图建立空间直角坐标系,‎ 设则 ‎ ‎.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 平面的法向量,【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 设平面的法向量,‎ 由得 令，则.‎ ‎ .‎ ‎ 由图可知，二面角是锐二面角，‎ ‎ 所以二面角的余弦值为. …………………………..12分 ‎20. （本小题满分12分）‎ ‎【解】(1)由题意得解得b＝，‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，‎ 设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，‎ x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 所以|MN|＝＝＝，‎ 又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，‎ 所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝，‎ 由＝，化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ） 时 切线方程为：，即 4分 ‎（Ⅱ）由得 设，要在上恒成立，只需 ‎ 6分 当时，在上，，在递增；‎ 时，不可能； 8分 当时，令得 在上，，在递增；‎ 在上，，在递减；‎ ‎ 10分 只需 令， （*）‎ ‎，在（0,1）递减，在递增；‎ ‎，在上成立.（**）‎ 由（*）和（**）知，即 而在（0,1上递减，在上递增，‎ ‎， 12分 请考生在[22]、[23]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解析：（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为. ……5分 ‎（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，. ………………8分 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为. ………………10分 ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解析：（Ⅰ）当时，.‎ 解不等式，得，‎ 因此，的解集为. ………………5分 ‎（Ⅱ）当时，‎ ‎，‎ 当时等号成立，‎ 所以当时，等价于. ① ……7分 当时，①等价于，无解；‎ 当时，①等价于，解得，‎ 所以的取值范围是. ………………10分