数学理卷·2018届宁夏银川市育才中学高三上学期第三次月考试题（解析版）

数学理卷·2018届宁夏银川市育才中学高三上学期第三次月考试题（解析版）

宁夏育才中学2018届高三月考3‎ 数学试题（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，是方程的解，‎ 则，解得 ‎，集合 故选 ‎2. 复数（是虚数单位）的虚部是（ ）‎ A. 2 B. -1 C. 1 D. -2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 复数的虚部是 故选 ‎3. 已知向量，，则“”是“与共线”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】当时，，则与共线，‎ 当与共线时，，，‎ ‎“”是“与共线”的充分不必要条件 故选 ‎4. 已知无穷等差数列的公差，的前项和为，若，则下列结论中正确的是（ ）‎ A. 是递增数列 B. 是递减数列 C. 有最小值 D. 有最大值 ‎【答案】C ‎【解析】，‎ 则是递增数列，‎ 但应是先减后增数列，‎ 故错误，‎ 应有最小值，故正确 故选 ‎5. 已知实数满足不等式组若的最大值为1，则正数的值为（ ）‎ A. B. 1 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 作出不等式组对应的平面区域如图所示，是可行域内的点与定点连线的斜率，由图可见，点与点的连线的斜率最大，由，解得时，取最大值，解得，故选D.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查可行域、含参数的约束条件，属于中档题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.‎ ‎6. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第一天走的路程为（ ）‎ A. 192里 B. 96里 C. 63里 D. 6里 ‎【答案】A ‎【解析】设第一天走了里，则是以为首项，以为公比的等比数列，‎ 根据题意得：‎ 解得 故选 ‎7. 已知关于的不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，原式成立；‎ 当时， ， 解得 综上所述，‎ 故选 ‎8. 已知函数的周期为，若将其图象沿轴向右平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则实数的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由函数的最小正周期为，所以，将其图象向右平移个单位可得，根据其关于原点对称，可得，所以实数的最小值为，故选D.‎ 考点：正弦函数图象的变换及其性质.‎ ‎9. 在中，角所对的边长分别为，已知，，，则（ ）‎ A. 30° B. 45° C. 45°或135° D. 60°‎ ‎【答案】B ‎【解析】在中，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 则 由，得 故选 点睛：已知等式左边通分并利用同角三角函数间的基本关系化简，右边利用正弦定理化简，整理后求出，进而求出， 由正弦定理求出，又因为，即可确定出的度数。‎ ‎10. 已知函数，则的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎ 即为偶函数，故排除 当时，，故排除 故选 ‎11. 在数列中，，，若数列满足：，则数列的前10项的和等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 数列是以为首项为公差的等差数列，‎ 故选 点睛：由已知条件化简求得数列是等差数列，即可求出的通项公式，继而求出的通项公式，然后利用裂项求和法求得结果，注意对条件的转化 ‎12. 已知数列的前项和为，且，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 即 对任意都成立，‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 归纳得：‎ 故选 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 命题“，”的否定是__________.‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】命题“，”是一个全称命题，‎ 命题的否定是，‎ ‎14. 在等比数列中，已知，，则__________.‎ ‎【答案】128‎ ‎【解析】‎ ‎15. 若关于的不等式的解集为，则实数__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得 令一根为，一根为 ‎16. 将正整数6分解成两个正整数的乘积有两种形式，其中是这两种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为6的最佳分解形式.当（且）是正整数的最佳分解形式时，我们定义函数，例如.数列的前10项和__________.‎ ‎【答案】31‎ ‎【解析】由题意得：‎ 依此类推 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知函数 .‎ ‎（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；‎ ‎（2）若角为三角形的一个内角，且函数的图象经过点，求角的大小.‎ ‎【答案】(1)，单调递增区间为；(2).‎ ‎【解析】试题分析:由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 ‎，由周期公式可求函数最小正周期，由可以计算出单调递增区间；‎ 通过角为三角形的一个内角，求出表达式的相位的范围，利用正弦函数的值域求解。‎ 解析：（1）∵ .‎ ‎∴函数的最小正周期，‎ 由，解得.‎ ‎∴函数的单调递增区间为.‎ ‎（2）由，得或，‎ 又角是三角形的内角，∴，故.‎ 点睛：通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数的表达式，化简为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦函数的周期公式求出最小正周期，正弦函数的单调增区间求解函数的单调递增区间；‎ ‎18. 在中，角的对边分别为，且，，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设为边上一点，若，求的面积.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意首先求得 ‎，然后利用余弦定理列方程，边长取方程的正实数根可得；‎ ‎（2）利用题意首先求得的面积与的面积的比值，然后结合的面积可求得的面积为.‎ 试题解析：（1）由已知可得，所以.‎ 在中，由余弦定理得，即.‎ 解得 (舍去)，.‎ ‎（2）由题设可得，所以.‎ 故面积与面积的比值为.‎ 又的面积为，所以的面积为.‎ ‎【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.‎ ‎19. 已知数列的前项和满足：.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析:根据求数列通项，先讨论当时，再分析当时求解数列通项，利用分组求和法进行求解。等差部分计算等差的和，等比部分求等比的和 解析：（1）当时，，得.‎ 当时，由，①‎ 得，②‎ ‎①—②，得，又，∴，∴，‎ ‎∴是等比数列，∴.‎ ‎（2）由，则，‎ 则 ‎ ‎.‎ ‎20. 已知向量，，，且.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）设的内角的对边分别为，，且，求函数的值域.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析:若，得，求出，把转化为关于的式子求解；‎ 在中，‎ ‎ 求出，又 ‎ ，代入的式子求解，转化为三角变换。‎ 解析：（1）若，得，∴；‎ 因为，所以.‎ 所以 .‎ ‎（2）在中，由正弦定理得 ‎ .‎ 又，故，得.‎ 因为，所以，则.‎ 又 .‎ 所以.‎ 因为，所以.‎ 所以.‎ 所以，即函数的值域为.‎ 点睛：本题考查的知识点较多，结合平面向量运用了正弦定理进行边角的互化，二倍角的逆用、两角和正弦公式的运用化简最后形式，由题意求得取值范围，注意各公式的运用 ‎21. 已知数列是公比为2的等比数列，数列，对任意都有，‎ 成立，且，.‎ ‎（1）证明：是等比数列；‎ ‎（2）若数列，的前项和分别为，对一切正整数均成立，数列的首项是整数，求的最大值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】试题分析:根据等比数列的定义来证明是等比数列(2) 先求出数列，的前项和分别为，化简，然后解不等式 解析：（1）证明：由，两式相减，得先分别求出 ‎，‎ 又，∴，‎ ‎∴为常数.‎ ‎∴是等比数列.‎ ‎（2）解：由，得，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴不等式，可化为.‎ ‎∵时，，‎ ‎∴数列是递减数列，‎ 时取最大值3.‎ ‎∴，.‎ ‎∴整数的最大值是-4.‎ ‎22. 已知函数，在和处有两个极值点，其中，.‎ ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）若（为自然对数的底数），求的最大值.‎ ‎【答案】(1)的极大值为，的极小值为.‎ ‎(2).‎ ‎【解析】试题分析:当时，将代入求导即可求其极值，‎ 设，确定的范围，表示出，构造新函数，利用导数法确定函数的单调性，即可求出结论。‎ 解析：（1）由，，则，‎ 当时，得或；当时，得.‎ 即函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴的极大值为，‎ 的极小值为.‎ ‎（2） ，‎ 又 ，所以是方程的两个实根，‎ 由韦达定理得：，，‎ ‎∴ ‎ ‎ .‎ 设，令，.‎ ‎∴在上是减函数，，‎ 故的最大值为.‎ 点睛：本题考查了利用导数求函数的极值以及利用导数研究函数的单调性，遇到含有的题目时可以采用构造新函数的方法，将二元转化为一元，然后利用导数研究函数单调性求得最值 ‎ ‎ ‎ ‎