上海市建平中学2015-2016学年高一（上）期中数学试卷（解析版）

上海市建平中学2015-2016学年高一（上）期中数学试卷（解析版）

‎2015-2016学年上海市建平中学高一（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相应的横线上，每个空格填对得3分，否则一律得零分．‎ ‎1．集合M={1，2，3}的子集的个数为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎2．不等式|x﹣1|＞2的解为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎3．设实数a，b满足a2+b2=1，则乘积ab的最大值为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎4．命题“若，则x=﹣1或y=1”的否命题为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎5．已知集合 A={x|x≥1}，B={x|x≥a}，若 A∪B=B，则实数a的取值范围是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎6．若A={a2，a+1，﹣3}，B={a﹣3，2a﹣1，a2+1}，A∩B={﹣3}，则a=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎7．不等式的解为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎8．已知α：，β：1﹣2a＜x＜3a+2，若α是β的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎9．若集合{x|mx2+mx+1＜0，x∈R}=∅，则实数m的取值范围是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎10．若关于x的不等式组的整数解集为{﹣2}，则实数k的取值范围是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎11．设x，y是正实数，记S为x，，中的最小值，则S的最大值为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎12．设n是一个正整数，定义n个实数a1，a2，…，an的算术平均值为．设集合 M={1，2，3，…，2015}，对 M的任一非空子集 Z，令αz表示 Z中最大数与最小数之和，那么所有这样的αz的算术平均值为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B铅笔涂黑，选对得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．‎ ‎13．实数a＞1，b＞1是a+b＞2的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎　‎ ‎14．设a，b∈R，下列不等式中恒成立的是（　　）‎ A． B．‎ C．a2+b2＞2ab D．‎ ‎　‎ ‎15．对于实数a，b，c，给出下列命题：‎ ‎①若a＞b，则ac2＞bc2；‎ ‎②若0＞a＞b，则；‎ ‎③若a＞b，，则a＞0，b＜0；‎ ‎④若a＞b＞c＞0，则．其中真命题的个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎　‎ ‎16．设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：‎ a∧b= a∨b=‎ 若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（　　）‎ A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2‎ ‎　‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5题，满分52分）每题均需写出详细的解答过程．‎ ‎17．已知全集U={1，2，3，…，10}，A={1，2，3，4，5}，B={4，5，6，7，8}，C={3，5，7，9}，求 A∪B，A∩B，（CUA）∩B，A∪（ B∩C）．‎ ‎　‎ ‎18．某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的二级净水处理池（如图）．池的深度一定，池的外围周壁建造单价为400元/m，中间的一条隔壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m2，池壁厚度忽略不计．问净水池的长为多少时，可使总造价最低？‎ ‎　‎ ‎19．（1）解关于x的不等式：；‎ ‎（2）记（1）中不等式的解集为 A，若 A⊆R+，证明：2a3+4a≥5a2+1．‎ ‎　‎ ‎20．称正整数集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质 P：如果对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与两数中至少有一个属于 A．‎ ‎（1）分别判断集合{1，3，6}与{1，3，4，12}是否具有性质 P；‎ ‎（2）设正整数集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质 P．证明：对任意1≤i≤n（i∈N*），ai都是an的因数；‎ ‎（3）求an=30时n的最大值．‎ ‎　‎ ‎21．绝对值|x﹣1|的几何意义是数轴上的点x与点1之间的距离，那么对于实数a，b，|x﹣a|+|x﹣b|的几何意义即为点x与点a、点b的距离之和．‎ ‎（1）直接写出|x﹣1|+|x﹣2|与|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值，并写出取到最小值时x满足的条件；‎ ‎（2）设a1≤a2≤…≤an是给定的n个实数，记S=|x﹣a1|+|x﹣a2|+…+|x﹣an|．试猜想：若n为奇数，则当x∈　　　　　　时S取到最小值；若n为偶数，则当x∈　　　　　　时，S取到最小值；（直接写出结果即可）‎ ‎（3）求|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|10x﹣1|的最小值．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2015-2016学年上海市建平中学高一（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相应的横线上，每个空格填对得3分，否则一律得零分．‎ ‎1．集合M={1，2，3}的子集的个数为　8　．‎ ‎【考点】子集与真子集．‎ ‎【专题】计算题；集合．‎ ‎【分析】对于有限集合，我们有以下结论：若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集．‎ ‎【解答】解：∵集合M={1，2，3}有三个元素，‎ ‎∴集合M={1，2，3}的子集的个数为23=8；‎ 故答案为：8．‎ ‎【点评】本题考查了集合的子集个数，若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集，有（2n﹣1）个真子集，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．不等式|x﹣1|＞2的解为　{x|x＞3或x＜﹣1}　．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【专题】计算题；函数思想；转化思想；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．然后求解即可．‎ ‎【解答】解：∵|x﹣1|＞2，‎ ‎∴x﹣1＞2或x﹣1＜﹣2，‎ ‎∴x＞3或x＜﹣1．‎ ‎∴不等式的解集为{x|x＞3或x＜﹣1}．‎ 故答案为：{x|x＞3或x＜﹣1}．‎ ‎【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．‎ ‎　‎ ‎3．设实数a，b满足a2+b2=1，则乘积ab的最大值为　　．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【专题】计算题；函数思想；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】根据基本不等式a2+b2≥2ab，可将其变形为ab≤，代入数据即可得答案．‎ ‎【解答】解：a2+b2≥2ab⇒ab≤，（当且仅当a=b时成立）‎ 又由a2+b2=2，则ab≤==1，当且仅当a=b=时成立．‎ 则ab的最大值为：；‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查基本不等式的变形应用，牢记ab≤（）2≤等变形形式．‎ ‎　‎ ‎4．命题“若，则x=﹣1或y=1”的否命题为　“若，则x≠﹣1且y≠1”　．‎ ‎【考点】四种命题间的逆否关系．‎ ‎【专题】演绎法；简易逻辑．‎ ‎【分析】根据否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案．‎ ‎【解答】解：命题“若，则x=﹣1或y=1”的否命题为“若，则x≠﹣1且y≠1”，‎ 故答案为：“若，则x≠﹣1且y≠1”‎ ‎【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．已知集合 A={x|x≥1}，B={x|x≥a}，若 A∪B=B，则实数a的取值范围是　（﹣∞，1]　．‎ ‎【考点】并集及其运算．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．‎ ‎【分析】利用并集的定义和不等式的性质求解．‎ ‎【解答】解：∵集合 A={x|x≥1}，B={x|x≥a}，A∪B=B，‎ ‎∴a≤1．‎ ‎∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]．‎ 故答案为：（﹣∞，1]．‎ ‎【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．‎ ‎　‎ ‎6．若A={a2，a+1，﹣3}，B={a﹣3，2a﹣1，a2+1}，A∩B={﹣3}，则a=　﹣1　．‎ ‎【考点】集合关系中的参数取值问题．‎ ‎【专题】计算题；分类讨论．‎ ‎【分析】根据题意，由A∩B={﹣3}可得﹣3∈B，由于B中有3个元素，则分三种情况讨论，①a﹣3=﹣3，②2a﹣1=﹣3，③a2+1=﹣3，分别求出a的值，求出A∩B并验证是否满足A∩B={1，﹣3}，即可得答案，‎ ‎【解答】解：A∩B={﹣3}，则﹣3∈B，‎ 分3种情况讨论：①a﹣3=﹣3，则a=0，则B={﹣3，﹣1，1}，A={0，1，﹣3}，此时A∩B={1，﹣3}，不合题意，‎ ‎②2a﹣1=﹣3，则a=﹣1，此时A={1，0，﹣3}，B={﹣4，﹣3，2}，此时A∩B={﹣3}，符合题意，‎ ‎③a2+1=﹣3，此时a无解，不合题意；‎ 则a=﹣1，‎ 故答案为﹣1．‎ ‎【点评】本题考查集合的交集运算与性质，注意集合中元素的特征：互异性、确定性、无序性．‎ ‎　‎ ‎7．不等式的解为　[﹣1，6）　．‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；转化法；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】由题意可知，解得即可．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎∴，‎ 解得﹣1≤x＜6，‎ 故不等式的解集为[﹣1，6），‎ 故答案为：[﹣1，6）．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的解法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．已知α：，β：1﹣2a＜x＜3a+2，若α是β的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　（，+∞）　．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．‎ ‎【分析】根据α是β的充分不必要条件，结合集合的包含关系，得到关于a的不等式组，解出即可．‎ ‎【解答】解：∵α：，β：1﹣2a＜x＜3a+2，‎ 若α是β的充分不必要条件，‎ 则，解得：a＞，‎ 故答案为：（，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎9．若集合{x|mx2+mx+1＜0，x∈R}=∅，则实数m的取值范围是　[0，4]　．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【专题】分类讨论；转化思想；分类法；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】对m分类讨论，利用一元二次不等式的解集与判别式的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：当m=0时，不等式化为1＜0，满足{x|mx2+mx+1＜0，x∈R}=∅，∴m=0适合．‎ 当m≠0时，∵{x|mx2+mx+1＜0，x∈R}=∅，∴，‎ 解得0＜m≤4．‎ 综上可得：实数m的取值范围是[0，4]．‎ 故答案为：[0，4]．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．若关于x的不等式组的整数解集为{﹣2}，则实数k的取值范围是　﹣3≤k＜2　．‎ ‎【考点】二元一次不等式组．‎ ‎【专题】计算题；分类讨论．‎ ‎【分析】首先分析题目已知不等式组的整数解集为{﹣2}，求k的取值范围，考虑到通过分解因式的方法化简方程组，然后分类讨论当k＞时和当k≤时的情况解出方程组含有参数k的解集，然后根据整数解集为{﹣2}，判断k的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：关于x的不等式组，变形为 当k＞﹣时：‎ 原方程组变形为：，故方程解为，不满足整数解集为{﹣2}，故不成立．‎ 当k≤时：‎ 原方程变形为，因为方程整数解集为{﹣2}，故﹣k＞﹣2，且﹣k≤3．‎ 故﹣3≤k＜2，‎ 故答案为﹣3≤k＜2．‎ ‎【点评】此题主要考查一元二次不等式组的解集的问题，题中应用到分类讨论的思想，在解不等式中经常用到．题目涵盖知识点少但有一点的计算量，属于中档题目．‎ ‎　‎ ‎11．设x，y是正实数，记S为x，，中的最小值，则S的最大值为　　．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【专题】分类讨论；分类法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】设a=x，b=，c=y+=+都大于0．不妨设a≤b．可得+﹣b≤c﹣a=+﹣a≤+﹣a．即≤c﹣a≤．对a与的大小分类讨论即可得出最大值．‎ ‎【解答】解：设a=x，b=，c=y+=+．都大于0．‎ 不妨设a≤b．则≥．‎ 则+﹣b≤c﹣a=+﹣a≤+﹣a．‎ ‎∴≤c﹣a≤，‎ ‎①当a≥时，c≤a，此时c最小；‎ ‎②当0＜a＜，c﹣a≥0，此时a最小，S≤．‎ 综上可得：S的最大值为：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的性质、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎12．设n是一个正整数，定义n个实数a1，a2，…，an的算术平均值为．设集合 M={1，2，3，…，2015}，对 M的任一非空子集 Z，令αz表示 Z中最大数与最小数之和，那么所有这样的αz的算术平均值为　2016　．‎ ‎【考点】数列与函数的综合；众数、中位数、平均数．‎ ‎【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】分别讨论1，2，…，2015为最小值和最大值的集合的个数，再运用等比数列的求和公式求和，最后由集合的非空子集的个数和均值的定义，计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：以1为最小值的集合有22014个，以2为最小值的集合有22013个，‎ ‎…，以2015为最小值的有20个，‎ 则所有M的非空子集的最小值的和为1×22014+2×22013+…+2015×20；‎ 同理，所有M的非空子集的最大值的和为2015×22014+2014×22013+…+1×20．‎ 故所有这样的αz的和为2016×（22014+22013+…+20）=2016×=2016×（22015﹣1）．‎ 则所有这样的αz的算术平均值为=2016．‎ 故答案为：2016．‎ ‎【点评】本题考查n个数的均值的求法，考查集合的子集个数，以及运算能力和推理能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B铅笔涂黑，选对得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．‎ ‎13．实数a＞1，b＞1是a+b＞2的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．‎ ‎【分析】实数a＞1，b＞1⇒a+b＞2；反之不成立，例如a=2，b=．即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：实数a＞1，b＞1⇒a+b＞2；反之不成立，例如a=2，b=．‎ ‎∴a＞1，b＞1是a+b＞2的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．设a，b∈R，下列不等式中恒成立的是（　　）‎ A． B． C．a2+b2＞2ab D．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【专题】转化思想；试验法；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】利用基本不等式的性质即可判断出，注意“一正二定三相等”的法则．‎ ‎【解答】解：A．a＜0时不成立；‎ B.＜0时不成立；‎ C．a=±b时不成立．‎ D. = +＞2，恒成立．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了基本等式的性质、“一正二定三相等”的法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．对于实数a，b，c，给出下列命题：‎ ‎①若a＞b，则ac2＞bc2；‎ ‎②若0＞a＞b，则；‎ ‎③若a＞b，，则a＞0，b＜0；‎ ‎④若a＞b＞c＞0，则．其中真命题的个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【专题】综合题；分类讨论；分析法；简易逻辑；不等式．‎ ‎【分析】举例说明①错误；利用基本不等式的性质推得②正确；举例说明③错误；利用分析法说明④正确．‎ ‎【解答】解：①若a＞b，则ac2＞bc2，错误，当c2=0时，ac2=bc2；‎ ‎②若0＞a＞b，则，把a＞b两边同时乘以，得，即．正确；‎ ‎③当a＞b＞0或b＜a＜0时，有．③错误；‎ ‎④a＞b＞c＞0，则a+c＞0，b+c＞0，若成立，则ab+ac＞ab+bc，即ac＞bc，也就是a＞b，此时成立．∴④正确．‎ ‎∴真命题的个数是2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了基本不等式法人性质，是基础题．‎ ‎　‎ ‎16．设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：‎ a∧b= a∨b=‎ 若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（　　）‎ A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可．‎ ‎【解答】解：∵a∧b=，a∨b=，‎ 正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，‎ ‎∴不妨令a=1，b=4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；‎ 再令c=1，d=1，满足条件c+d≤4，但不满足c∨d≥2，故可排除D；‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查函数的求值，考查正确理解题意与灵活应用的能力，着重考查排除法的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5题，满分52分）每题均需写出详细的解答过程．‎ ‎17．已知全集U={1，2，3，…，10}，A={1，2，3，4，5}，B={4，5，6，7，8}，C={3，5，7，9}，求 A∪B，A∩B，（CUA）∩B，A∪（ B∩C）．‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【专题】对应思想；定义法；集合．‎ ‎【分析】根据集合的运算法则与性质，计算所求的交集、并集与补集即可．‎ ‎【解答】解：∵全集U={1，2，3，…，10}，‎ A={1，2，3，4，5}，B={4，5，6，7，8}，C={3，5，7，9}，‎ ‎∴A∪B={1，2，3，4，5，6，7，8}，‎ A∩B={4，5}；‎ 又∁UA={6，7，8，9，10}，‎ ‎∴（CUA）∩B={6，7，8}；‎ 又B∩C={5，7}，‎ ‎∴A∪（ B∩C）={1，2，3，4，5，7}．‎ ‎【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎18．某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的二级净水处理池（如图）．池的深度一定，池的外围周壁建造单价为400元/m，中间的一条隔壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m2，池壁厚度忽略不计．问净水池的长为多少时，可使总造价最低？‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】净水池的底面积一定，设长为x米，则宽可表示出来，从而得出总造价y=f（x），利用基本不等式求出最小值．‎ ‎【解答】解：设水池的长为x米，则宽为米．‎ 总造价：y=400（2x+）+100•+200×60‎ ‎=800（x+）+12000≥800•2+12000=36000，‎ 当且仅当x=，即x=15时，取得最小值36000．‎ 即有净水池的长为15m时，可使总造价最低．‎ ‎【点评】本题考查将实际问题中的最值问题转化为数学中的函数最值，运用基本不等式求得最值是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（1）解关于x的不等式：；‎ ‎（2）记（1）中不等式的解集为 A，若 A⊆R+，证明：2a3+4a≥5a2+1．‎ ‎【考点】不等式比较大小．‎ ‎【专题】分类讨论；函数思想；综合法；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】（1）化为：（a﹣1）（x﹣1）＞0，对a分类讨论即可得出；‎ ‎（2）由于A⊆R+，因此取A=[1，+∞）．则a≥1，作差2a3+4a﹣（5a2+1）=（2a﹣1）（a2﹣1），即可证明．‎ ‎【解答】（1）解：化为：（a﹣1）（x﹣1）＞0，当a＞1时，不等式的解集为（1，+∞）；‎ 当a=1时，不等式的解集为∅；‎ 当a＜1时，不等式的解集为（﹣∞，1）．‎ ‎（2）证明：∵A⊆R+，‎ ‎∴取A=[1，+∞）．‎ 即a≥1，‎ ‎∴2a3+4a﹣（5a2+1）=（2a﹣1）（a2﹣1）≥0．‎ ‎∴2a3+4a≥5a2+1．‎ ‎【点评】本题考查了分式不等式的解法、“作差法”、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．称正整数集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质 P：如果对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与两数中至少有一个属于 A．‎ ‎（1）分别判断集合{1，3，6}与{1，3，4，12}是否具有性质 P；‎ ‎（2）设正整数集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质 P．证明：对任意1≤i≤n（i∈N*），ai都是an的因数；‎ ‎（3）求an=30时n的最大值．‎ ‎【考点】数列与函数的综合；子集与交集、并集运算的转换．‎ ‎【专题】转化思想；反证法；集合．‎ ‎【分析】（1）根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与两数中至少有一个属于A，验证给的集合集{1，3，6}与{1，3，4，12}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；‎ ‎（2）运用反证法，结合A具有性质P，即可得证；‎ ‎（3）运用30的质因数分解，结合组合的知识，即可得到n的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）由于3×6与均不属于数集{1，3，6}，∴数集{1，3，4} 不具有性质P；‎ 由于1×3，1×4，1×12，3×4，，都属于数集{1，2，3，6}，‎ ‎∴数集{1，3，4，12} 具有性质P．‎ ‎（2）证明：设正整数集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质 P．‎ 即有对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与两数中至少有一个属于A．‎ 运用反证法证明．假设存在一个数ai不是an的因数，‎ 即有aian与或，都不属于A，这与条件A具有性质P矛盾．‎ 故假设不成立．‎ 则对任意1≤i≤n（i∈N*），ai都是an的因数；‎ ‎（3）由（2）可知，ai均为an=30的因数，‎ 由于30=2×3×5，‎ 由组合的知识可得2，3，5都有选与不选2种可能．‎ 共有2×2×2=8种，‎ 即有n的最大值为8．‎ ‎【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查推理能力，以及反证法的运用，组合知识的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．绝对值|x﹣1|的几何意义是数轴上的点x与点1之间的距离，那么对于实数a，b，|x﹣a|+|x﹣b|的几何意义即为点x与点a、点b的距离之和．‎ ‎（1）直接写出|x﹣1|+|x﹣2|与|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值，并写出取到最小值时x满足的条件；‎ ‎（2）设a1≤a2≤…≤an是给定的n个实数，记S=|x﹣a1|+|x﹣a2|+…+|x﹣an|．试猜想：若n为奇数，则当x∈　{}　时S取到最小值；若n为偶数，则当x∈　[，]　时，S取到最小值；（直接写出结果即可）‎ ‎（3）求|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|10x﹣1|的最小值．‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【专题】规律型；归纳法；简易逻辑．‎ ‎【分析】（1）根据绝对值的几何意义，可得当且仅当x∈[1，2]时，|x﹣1|+|x﹣2|取最小值1；当且仅当x=2时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值2；‎ ‎（2）归纳可得：若n为奇数，则当x∈{}时S取到最小值；若n为偶数，则当x∈[，]时，S取到最小值；‎ ‎（3）根据（2）中结论，可得x=时，|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|10x﹣1|取最小值．‎ ‎【解答】解：（1）|x﹣1|+|x﹣2|的最小值为1，当且仅当x∈[1，2]时，取最小值；‎ ‎|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值2，当且仅当x=2时，取最小值；‎ ‎（2）设a1≤a2≤…≤an是给定的n个实数，记S=|x﹣a1|+|x﹣a2|+…+|x﹣an|．‎ 归纳可得：‎ 若n为奇数，则当x∈{}时S取到最小值；‎ 若n为偶数，则当x∈[，]时，S取到最小值；‎ ‎（3）|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|10x﹣1|=|x﹣1|+2|x﹣|+3|x﹣|+…+10|x﹣|，‎ 共55项，其中第28项为|x﹣|，‎ 故x=时，|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|10x﹣1|取最小值： ++++++0+++=，‎ 故答案为：{}，[，]‎ ‎【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．‎ ‎　‎