数学卷·2019届江苏省如东高级中学高二上学期阶段测试（二）（2018-01）

数学卷·2019届江苏省如东高级中学高二上学期阶段测试（二）（2018-01）

江苏省如东高级中学2017-2018学年高二上学期阶段测试（二）‎ 数学试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1．命题，使得的否定为 . ‎ ‎2．抛物线的准线方程为 .‎ ‎3．在等差数列中，已知，则的值为 .‎ ‎4．下列命题：①或；②命题“若，则”的否命题；③命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题.其中假命题的个数为 .‎ ‎5．能够使“设是实数，若，则”是假命题的一个实数的值为 .‎ ‎6．“”是“或”的 条件.（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）‎ ‎7．已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为 .‎ ‎8．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 .‎ ‎9．设满足，则的最大值为 .‎ ‎10．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆与双曲线称为一对“相关曲线”，已知是一对相关曲线的焦点，是它们在第一象限的交点，若，则这一对相关曲线中椭圆的离心率为 .‎ ‎11．在等比数列中，，则能使不等式成立的最大正整数是 .‎ ‎12．已知实数满足，，则的最小值为 .‎ ‎13．各项均为正数的等比数列中，，若从中抽掉一项后，余下的项之积为，则被抽掉的是第 项．‎ ‎14．设是正实数，满足，则的最小值为 ． ‎ 二、解答题 （本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎15．命题：实数满足（其中），命题：实数满足.‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎16．在平面直角坐标系中，椭圆的焦点为，，且经过点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若点在椭圆上，且，求的值.‎ ‎17．已知各项均为正数的数列的首项，是数列的前项和，且满足：‎ ‎.‎ ‎（1）若成等比数列，求实数的值；‎ ‎（2）若，求证：数列为等差数列；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求.‎ ‎18．如图所示的自动通风设施.该设施的下部是等腰梯形，其中为2米，梯形的高为1米，为3米，上部是个半圆，固定点为的中点.是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和平行.当位于下方和上方时，通风窗的形状均为矩形（阴影部分均不通风）.‎ ‎（1）设与之间的距离为且米，试将通风窗的通风面积 ‎（平方米）表示成关于的函数；‎ ‎（2）当与之间的距离为多少时，通风窗的通风面积取得最大值？‎ ‎19．已知椭圆：的左焦点为，左准线方程为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知直线交椭圆于两点.‎ ‎①若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足，.‎ 求证：为定值；‎ ‎②若（为原点），求面积的取值范围.‎ ‎20.若存在常数、、，使得无穷数列满足，则称数列为“段比差数列”，其中常数、、分别叫做段长、段比、段差.设数列为“段比差数列”.‎ ‎（1）若的首项、段长、段比、段差分别为1、3、、3.‎ ‎①当时，求；‎ ‎②当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的并说明理由.‎ 试卷答案 一、填空题 ‎1．，使得 2． 3．22 4．1‎ ‎5．2 6．充分不必要 7． 8．‎ ‎9．2 10． 11． 12．‎ ‎13．13 14． ‎ 二、解答题 ‎15．（1）解：由得，‎ 又，所以，‎ 当时，，即为真时，实数的取值范围是，‎ 由得，解得，即为真时，实数的取值范围是，‎ 若为真，则真且真，‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎（2）由（1）知：，则：或，‎ ‎：，则：或 因为是的充分不必要条件，则，‎ 所以解得，故实数的取值范围是.‎ ‎16.（1）依题意，设椭圆的标准方程为 ‎，∴‎ 椭圆的标准方程为 ‎（2）‎ 点的坐标为 ‎∵点在椭圆上，∴‎ 即，解得或.‎ ‎17.（1）令，得 令，得，所以 由，得，因为，所以.‎ ‎（2）当时，，‎ 所以，即 所以数列是以2为首项，公差为的等差数列，‎ 所以，即.‎ ‎（3），①‎ 当时，，②‎ ‎①-②得，‎ 即，所以，‎ 所以是首项为的常数列，所以，‎ 代入①得.‎ ‎18.解：（1）当时，过作于（如图）‎ 则，‎ 由，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ 当时，过作于，连结（如图），‎ 则，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 综上，；‎ ‎（2）当时，在上递减，‎ ‎∴；‎ 当时，，当且仅当，即时取“”，‎ ‎∴，此时，∴的最大值为.‎ 答：当与之间的距离为米时，通风窗的通风面积取得最大值.‎ ‎19.(1)由题设知，‎ ‎∴，‎ ‎∴：‎ ‎（2）①由题设知直线的斜率存在，设直线的方程为，则 设，直线代入椭圆得，整理得，‎ ‎，‎ ‎∴‎ 由，知，‎ ‎∴（定值）‎ ‎②当直线分别与坐标轴重合时，易知的面积，‎ 当直线的斜率均存在且不为零时，设：，：，‎ 设，将代入椭圆得到，‎ ‎∴，同理，‎ 的面积， 令，，‎ 令，则 综上所述，.‎ ‎20.(1)∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、、3‎ ‎∴，，∴‎ ‎∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、、3‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴是首项为，公差为6的等差数列，‎ ‎∴，‎ 易知中删除的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，设，则，‎ 又 当时，，，当时，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，得.‎ ‎（2）设的段长、段比、段差分别为、、，‎ ‎①若，则，‎ 由，得，由，得，‎ 联立两式，得或，则或，经检验均合题意 ‎②若，则，，，‎ 由，得，得，则，经检验均合题意 综上①②，满足条件的的通项公式为或.‎