安徽省阜阳市第三中学2018-2019学年高二竞培中心下学期第二次调研考试数学（理）试题

安徽省阜阳市第三中学2018-2019学年高二竞培中心下学期第二次调研考试数学（理）试题

‎2018—2019学年度第二学期第二次调研考试 理科数学试题 考生注意：本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页。满分150分，考试时间120分钟。 ‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题（下列各题的备选答案中只有一个选项是正确的，请把正确答案填写在括号中。每小题5分，共60分）‎ 1. 已知集合，，则　　‎ A. B. C. D. ‎ 2. 已知向量，，，则　　‎ A. B. C. 6 D. 8‎ 3. 对任意实数x，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是　　‎ A. B. C. D. ‎ 4. 函数且的图象恒过点A，且点A在角的终边上，则　　‎ A. B. C. D. ‎ 5. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为 ‎ A. 1 B. C. D. ‎ 6. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则具有性质　　‎ A. 最大值为1，图象关于直线对称 B. 在上单调递减，为奇函数 C. 在上单调递增，为偶函数 D. 周期为，图象关于点对称 7. 已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系是　　‎ A. B. C. D. ‎ 8. 若数列为等比数列，且，，则的结果可化为　　‎ ‎ B. C. D. ‎ 1. 已知函数的图象如下图所示下面四个图象中的图象大致是(  ) A. B. ‎ C. D. ‎ 2. 已知函数，则    ‎ A.2018 B. 4036 C. 2019 D. 4038‎ 3. 函数在上单调递增，则实数a的取值范围为   ．‎ A. B. C. D. ‎ 4. 设函数的定义域为D，如果对任意的，存在，使得成立，则称函数为“H函数”，下列为“H函数”的是　　‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ 5. 已知向量，，且，若x，y均为正数，则的最小值是______ ．‎ 6. 设，则不等式的解集为 ‎ 7. 在平面四边形中，，，则的取值范围是 ‎ 8. 已知函数若所有零点之和为1，则实数a的取值范围是______．‎ 三、 解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ 1. ‎(本小题满分10分）已知中，点D在线段OB上，且，延长BA到C，使设，．‎ 用，表示向量，；‎ 若向量与共线，求k的值．‎ 2. ‎(本小题满分12分）已知，． 若，解不等式； 若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； 若，解不等式．‎ 3. ‎(本小题满分12分）已知函数 ．‎ 求曲线在点处的切线方程；‎ 当 时，求的单调区间．‎ 1. ‎(本小题满分12分）已知数列中，，Ⅰ求，；Ⅱ求证：是等比数列，并求的通项公式；Ⅲ数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．‎ 2. ‎(本小题满分12分）已知，，设函数． 求函数的单调增区间； 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，求的取值范围．‎ 3. ‎(本小题满分12分）已知函数为常数．‎ 求函数在的最小值；‎ 设，是函数的两个零点，且，证明：．‎ ‎2018—2019学年度第二学期第二次调研考试 理科数学试题答案 命题人： ‎ 考生注意：本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页。满分150分，考试时间120分钟。 ‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题（下列各题的备选答案中只有一个选项是正确的，请把正确答案填写在括号中。每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合，，则　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：，； ． 故选：C．‎ ‎2.已知向量，，，则　　‎ A. B. C. 6 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，，得， 由，所以， 所以，故选：A．‎ ‎3.对任意实数x，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 解：不等式恒成立， ，又． ．故选A．‎ ‎4.函数且的图象恒过点A，且点A在角的终边上，则　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：对于函数且，令，求得，，可得它的图象恒过， 则，则，‎ ‎5.若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为    ‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】B 解：点P是曲线上任意一点，当过点P的切线和直线平行时， 点P到直线的距离最小．直线的斜率等于1，令的导数，解得，或舍去， 故曲线上和直线平行的切线经过的切点坐标，点到直线的距离等于，故点P到直线的最小距离为，故选B．‎ ‎6.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则具有性质　　‎ A. 最大值为1，图象关于直线对称B. 在上单调递减，为奇函数 C. 在上单调递增，为偶函数D. 周期为，图象关于点对称 ‎【答案】B 由题意得，， 对于A，最大值为1正确，而，图象不关于直线对称，故A错误； 对于B，当时，，满足单调递减，显然也是奇函数，故B正确； C显然错误；对于D，周期，，故图象不关于点对称，故选B．‎ ‎7.已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：根据题意，函数，其导数函数 ‎， 则有在R上恒成立， 则在R上为增函数； 又由， 则；故选：D．‎ ‎8.若数列为等比数列，且，，则的结果可化为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 解： 等比数列中， ‎ 因为，，， ．故选C．‎ ‎9.已知函数的图象如下图所示下面四个图象中的图象大致是(    ) ‎ A. B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C解：由题意知，时， 0'/>，则在区间上是增函数， ‎ 时，，则在区间上是减函数， 时，，则在区间上是减函数， 时， 0'/>，则在区间上是增函数， 故选C．‎ ‎10.已知函数，则    ‎ A. 2018 B. 4036 C. 2019 D. 4038‎ ‎【答案】A 解：由题意可知， 令， 则， 两式相加得，，故选A．‎ ‎11.若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为   ．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 解：由函数在上单调递增， 则恒成立． 即：恒成立． 设，， 令， 所以．故选A．‎ ‎12.设函数的定义域为D，如果对任意的，存在，使得成立，则称函数为“H函数”，下列为“H函数”的是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 解：由 ， 由， 取，可得，y不存在，故A不为“H函数”； 由，且， 由于递增，且，；，， 即有任一个，可得唯一的y，使得，故B为“H函数”； 由可得，不成立，故C不为“H函数”； 由，若， 可取，可得y无解，故D不为“H函数”．故选B．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13已知向量，，且，若x，y均为正数，则的最小值是______ ．‎ ‎【答案】8‎ 解：向量，，且， ， 即； 又x，y均为正数，， 当且仅当，即时取“”；的最小值是8． 故答案为8． ‎ ‎14.设，则不等式的解集为　　‎ ‎【答案】，‎ 解：，则不等式，可得：，解得． ​，解得． 则不等式的解集为：，． ‎ ‎15.在平面四边形中，，，则的取值范围是 .‎ 解析: 如图所示，延长，交于，平移，当与重合于点时，最长，在中，，，，由正弦定理可得，解得=；平移，当与重合时，最短，此时在中，，，由正弦定理知 ，解得，所以的取值范围为.‎ ‎16.已知函数若所有零点之和为1，则实数a的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：当时，由，得到函数的一个零点是， 当时，，，故， 即此时函数的图象关于直线对称此时函数图象部分对称， 若去掉的限制，函数图象完全对称，此时函数若有零点， 则必然满足，故所有零点之和为1，满足题意； 又，当时，，即单调递减，当时， 0'/>，即单调递增， 故函数； 但要使得函数有零点必须满足条件且，这是为了保证函数有两个零点，且在段上的零点必须存在 即且，即且，从而解得a的范围是：‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知中，点D在线段OB上，且，延长 BA到C，使设，．‎ 用，表示向量，；‎ 若向量与共线，求k的值．‎ ‎【答案】解：为BC的中点，， 可得， 而 由，得， 与共线，设 即， 根据平面向量基本定理，得 解之得，．‎ ‎18.已知，． 若，解不等式； 若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； 若，解不等式．‎ ‎【答案】解：当，不等式即，即，解得，或， 故不等式的解集为，或． 由题意可得恒成立， 当时，显然不满足条件，． 解得，故a的范围为． 若，不等式为，即． ‎ ‎， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式即，它的解集为； 当时，，不等式的解集为．‎ ‎19.已知函数 ．‎ 求曲线在点处的切线方程；‎ 当 时，求的单调区间．‎ ‎【答案】解：， 所以，， 因此曲线在点处的切线方程 ， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 所以， 所以在单调递增．‎ ‎20.已知数列中，，Ⅰ求，；Ⅱ求证：是等比数列，并求的通项公式；Ⅲ数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】解：分 由得 即分又 所以是以为首项，3为公比的等比数列分 ‎ 所以即分 分 两式相减得， 分 若n为偶数，则 若n为奇数，则，分 ‎21.已知，，设函数． 求函数的单调增区间； 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，求的取值范围．‎ ‎【答案】解：， 令，则，， 所以函数的单调递增区间为，； 由题意知， 则当且仅当时取等号， 所以，，， 综上，的取值范围为．‎ ‎22.已知函数为常数．‎ 求函数在的最小值；‎ 设，是函数的两个零点，且，证明：．‎ ‎【答案】解：，的定义域为，且， 当时， 0'/>，所以在递增； 当时，，所以在递减， 且，，因， 函数在的最小值为． 由知，满足，且，， ， 由题意可知 又由可知在递减， 故，所以，， 则 令，， 则， 当时，是减函数，所以 因， 即，所以当时，，即 因为，，在上单调递增， 所以， 故．‎