数学卷·2018届山东省潍坊市高二上学期期末数学试卷(理科)(解析版)

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数学卷·2018届山东省潍坊市高二上学期期末数学试卷(理科)(解析版)

全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年山东省潍坊市高二(上)期末数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.命题p:“∃x∈R,x2+2<0”,则¬p为(  )‎ A.∀x∈R,x2+2≥0 B.∀x∉R,x2+2<0 C.∃x∈R,x2+2≥0 D.∀x∈R,x2+2>0‎ ‎2.抛物线x2=4y的焦点坐标为(  )‎ A.(1,0) B.(﹣1,0) C.(0,1) D.(0,﹣1)‎ ‎3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3+a4+a5+a6+a7=20,则S9=(  )‎ A.18 B.36 C.60 D.72‎ ‎4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a=2bcosC,则△ABC的形状为(  )‎ A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 ‎5.已知原命题“若a>b>0,则<”,则原命题,逆命题,否命题,逆否命题中真命题个数为(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.4‎ ‎6.如图,正四面体ABCD的棱长为1,点E是棱CD的中点,则•=(  )‎ A.﹣ B.﹣ C. D.‎ ‎7.如图,为测量塔高AB,选取与塔底B在同一水平面内的两点C、D,在C、D两点处测得塔顶A的仰角分别为45°,30°,又测得∠CBD=30°,CD=50米,则塔高AB=(  )‎ A.50米 B.25米 C.25米 D.50米 ‎8.已知命题p:可表示焦点在x轴上的双曲线;命题q:若实数a,b满足a>b,则a2>b2.则下列命题中:①p∨q②p∧q③(¬p)∨q④(¬p)∧(¬q)真命题的序号为(  )‎ A.① B.③④ C.①③ D.①②③‎ ‎9.已知抛物线C的顶点在原点,焦点为F(﹣3,0),C上一点P到焦点F的距离为9,则点P的一个坐标为(  )‎ A.(﹣3,6) B.(﹣3,6) C.(﹣6,6) D.(﹣6,6)‎ ‎10.已知实数x,y满足不等式组,则z=3x﹣y的最大值为(  )‎ A.1 B.﹣ C.﹣2 D.不存在 ‎11.已知函数f(x)=x+a,g(x)=x+,若∀x1∈[1,3],∃x2∈[1,4],使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围为(  )‎ A.a≥1 B.a≥2 C.a≥3 D.a≥4‎ ‎12.已知双曲线C的两焦点为F1,F2,离心率为,抛物线y2=16x的准线过双曲线C的一个焦点,若以线段F1F2为直径的圆与双曲线交于四个点Pi(i=1,2,3,4),|PiF1|•|PiF2|=(  )‎ A.0 B.7 C.14 D.21‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)‎ ‎13.双曲线﹣=1的渐近线方程是  .‎ ‎14.“∀x∈[1,2],x2﹣a≥0“是真命题,则实数a的最大值为  .‎ ‎15.已知圆O:x2+y2=16上任意一点P,过P作x轴的垂线段PA,A为垂足,当点P在圆上运动时,线段PA的中点M的轨迹记为曲线C,则曲线C的离心率为  .‎ ‎16.《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作,书中给出了如下问题:“今有良马与驽马发长安,至齐,齐去长安一千一百二十五里.良马初日行一百零三里,日增一十三里.驽马初日行九十七里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马,问几何日相逢?”其大意为:“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去,已知长安和齐的距离是1125里.良马第一天行103里,之后每天比前一天多行13里.驽马第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里.良马到齐后,立刻返回去迎驽马,多少天后两马相遇?”在这个问题中两马从出发到相遇的天数为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分70分)‎ ‎17.已知向量=(1,0,1),=(0,1,1),向量﹣k与垂直,k为实数.‎ ‎(I)求实数k的值;‎ ‎(II)记=k,求向量﹣与﹣的夹角.‎ ‎18.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2bcosC=acosC+ccosA.‎ ‎(I)求角C的大小;‎ ‎(II)若b=2,c=,求a及△ABC的面积.‎ ‎19.设p:集合A={x|x2﹣(3a+1)x+2a(a+1)<0},q:集合B={x|<0}.‎ ‎(I)求集合A;‎ ‎(II)当a<1时,¬q是¬p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.‎ ‎20.已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣n(n∈N*).正项等比数列{bn}的首项b1=1,且3a2是b2,b3的等差中项.‎ ‎(I)求数列{an},{bn}的通项公式;‎ ‎(II)若cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎21.近年来,某地雾霾污染指数达到重度污染级别.经环保部门调查,该地工厂废气排放污染是形成雾霾的主要原因.某科研单位进行了科技攻关,将工业废气中的某些成分转化为一中可利用的化工产品.已知该项目每年投入资金3000万元,设每年处理工厂废气量为x万升,每万升工厂废气处理后得到可利用的化工产品价值为c(x)万元,其中c(x)=.设该单位的年利润为f(x)(万元).‎ ‎(I)求年利润f(x)(万元)关于处理量x(万升)的函数表达式;‎ ‎(II)该单位年处理工厂废气量为多少万升时,所获得的利润最大,并求出最大利润?‎ ‎22.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为E,过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交,其中一个交点为M(﹣,).‎ ‎(I)求椭圆C的方程;‎ ‎(II)设直线l与椭圆C交于不同的两点A,B.‎ ‎(i)若直线l过定点(1,0),直线AE,BE的斜率为k1,k2(k1≠0,k2≠0),证明:k1•k2为定值;‎ ‎(ii)若直线l的垂直平分线与x轴交于一点P,求点P的横坐标xp的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年山东省潍坊市高二(上)期末数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.命题p:“∃x∈R,x2+2<0”,则¬p为(  )‎ A.∀x∈R,x2+2≥0 B.∀x∉R,x2+2<0 C.∃x∈R,x2+2≥0 D.∀x∈R,x2+2>0‎ ‎【考点】命题的否定.‎ ‎【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可.‎ ‎【解答】解:命题是特称命题,则命题的否定是全称命题,即∀x∈R,x2+2≥0,‎ 故选:A ‎ ‎ ‎2.抛物线x2=4y的焦点坐标为(  )‎ A.(1,0) B.(﹣1,0) C.(0,1) D.(0,﹣1)‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】先根据标准方程求出p值,判断抛物线x2=4y的开口方向及焦点所在的坐标轴,从而写出焦点坐标.‎ ‎【解答】解:∵抛物线x2 =4y 中,p=2, =1,焦点在y轴上,开口向上,∴焦点坐标为 (0,1 ),‎ 故选 C.‎ ‎ ‎ ‎3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3+a4+a5+a6+a7=20,则S9=(  )‎ A.18 B.36 C.60 D.72‎ ‎【考点】等差数列的前n项和.‎ ‎【分析】由等差数列的通项公式得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=20,解得a5=4,从而S9=,由此能求出结果.‎ ‎【解答】解:∵等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3+a4+a5+a6+a7=20,‎ ‎∴a3+a4+a5+a6+a7=5a5=20,‎ 解得a5=4,‎ ‎∴S9==36.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a=2bcosC,则△ABC的形状为(  )‎ A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 ‎【考点】三角形的形状判断.‎ ‎【分析】利用正弦定理以及三角形的内角和,两角和的正弦函数化简a=2bcosC,求出B与C的关系,即可判断三角形的形状.‎ ‎【解答】解:a=2bcosC,由正弦定理可知,sinA=2sinBcosC,因为A+B+C=π,‎ 所以sin(B+C)=2sinBcosC,所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,‎ sin(B﹣C)=0,B﹣C=kπ,k∈Z,‎ 因为A、B、C是三角形内角,‎ 所以B=C.‎ 三角形是等腰三角形.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎5.已知原命题“若a>b>0,则<”,则原命题,逆命题,否命题,逆否命题中真命题个数为(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.4‎ ‎【考点】四种命题间的逆否关系.‎ ‎【分析】根据逆否命题的等价性分别进行判断即可.‎ ‎【解答】解:若a>b>0,则<成立,则原命题为真命题,则逆否命题为真命题,‎ 命题的逆命题为若<,则a>b>0,为假命题,当a<0,b>‎ ‎0时,结论就不成立,则逆命题为假命题,否命题也为假命题,‎ 故真命题的个数为2个,‎ 故选:C ‎ ‎ ‎6.如图,正四面体ABCD的棱长为1,点E是棱CD的中点,则•=(  )‎ A.﹣ B.﹣ C. D.‎ ‎【考点】向量在几何中的应用.‎ ‎【分析】根据向量的几何意义和向量的数量积公式计算即可.‎ ‎【解答】解:∵正四面体ABCD的棱长为1,点E是棱CD的中点,‎ ‎∴•=(+)•‎ ‎=•+•=×1×1×+×1×1×=,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎7.如图,为测量塔高AB,选取与塔底B在同一水平面内的两点C、D,在C、D两点处测得塔顶A的仰角分别为45°,30°,又测得∠CBD=30°,CD=50米,则塔高AB=(  )‎ A.50米 B.25米 C.25米 D.50米 ‎【考点】解三角形的实际应用.‎ ‎【分析】设AB=am,则BC=am,BD=am,根据∠CBD=30°,CD=50米,利用余弦定理建立方程,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:设AB=am,则BC=am,BD=am,‎ ‎∵∠CBD=30°,CD=50米,‎ ‎∴2500=a2+3a2﹣2a,‎ ‎∴a=50m.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎8.已知命题p:可表示焦点在x轴上的双曲线;命题q:若实数a,b满足a>b,则a2>b2.则下列命题中:①p∨q②p∧q③(¬p)∨q④(¬p)∧(¬q)真命题的序号为(  )‎ A.① B.③④ C.①③ D.①②③‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用;双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】先分别判定命题p、命题q的真假,在根据复合命题的真值表判定.‎ ‎【解答】解:对于命题p:若可表示焦点在x轴上的双曲线,则3﹣a>0,a﹣5>0,a不存在,故命题p是假命题;‎ 对于命题q:若实数a,b满足a>b,则a2>b2或a2=b2或a2<b2,命题q为假命题;‎ ‎①p∨q为假,②p∧q为假,③(¬p)∨q为真,④(¬p)∧(¬q)为真;‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎9.已知抛物线C的顶点在原点,焦点为F(﹣3,0),C上一点P到焦点F的距离为9,则点P的一个坐标为(  )‎ A.(﹣3,6) B.(﹣3,6) C.(﹣6,6) D.(﹣6,6)‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】利用抛物线的简单性质,列出方程求出P的横坐标,即可推出结果.‎ ‎【解答】解:抛物线C的顶点在原点,焦点为F(﹣3,0),准线方程为:x=3,C上一点P到焦点F的距离为9,‎ 设P(x,y)可得﹣x+3=9,解得x=﹣6,则=9,可得y=.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎10.已知实数x,y满足不等式组,则z=3x﹣y的最大值为(  )‎ A.1 B.﹣ C.﹣2 D.不存在 ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】首先画出平面区域,利用目标函数的几何意义求最大值.‎ ‎【解答】解:不等式组表示的平面区域如图:目标函数z=3x﹣y变形为y=3x﹣z,‎ 此直线在y轴截距最小时,z最大,‎ 由区域可知,直线经过图中A(0,2)时,z取最大值为﹣2;‎ 故选C ‎ ‎ ‎11.已知函数f(x)=x+a,g(x)=x+,若∀x1∈[1,3],∃x2∈[1,4],使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围为(  )‎ A.a≥1 B.a≥2 C.a≥3 D.a≥4‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义.‎ ‎【分析】若∀x1∈[1,3],∃x2∈[1,4],使得f(x1)≥g(x2),可得f(x)=x+‎ a在x1∈[1,3]的最小值不小于g(x)=x+在x2∈[1,4]的最小值,构造关于a的不等式组,可得结论.‎ ‎【解答】解:当x1∈[1,3]时,由f(x)=x+a递增,‎ f(1)=1+a是函数的最小值,‎ 当x2∈[1,4]时,g(x)=x+,在[1,2)为减函数,在(2,4]为增函数,‎ ‎∴g(2)=4是函数的最小值,‎ 若∀x1∈[1,3],∃x2∈[1,4],使得f(x1)≥g(x2),‎ 可得f(x)在x1∈[1,3]的最小值不小于g(x)在x2∈[1,4]的最小值,‎ 即1+a≥4,‎ 解得:a∈[3,+∞),‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎12.已知双曲线C的两焦点为F1,F2,离心率为,抛物线y2=16x的准线过双曲线C的一个焦点,若以线段F1F2为直径的圆与双曲线交于四个点Pi(i=1,2,3,4),|PiF1|•|PiF2|=(  )‎ A.0 B.7 C.14 D.21‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】求出双曲线、圆的方程,联立求出|y|=,利用面积关系,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:由题意,c=4,a=3,b=,双曲线的方程为=1,‎ 与圆x2+y2=16,可得|y|=,‎ ‎∴|PiF1|•|PiF2|==14,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)‎ ‎13.双曲线﹣=1的渐近线方程是 y=±x .‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程,化简即可得到所求.‎ ‎【解答】解:∵双曲线方程为﹣=1的,则渐近线方程为线﹣=0,即y=±,‎ 故答案为y=±.‎ ‎ ‎ ‎14.“∀x∈[1,2],x2﹣a≥0“是真命题,则实数a的最大值为 1 .‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】根据全称命题的含义:“∀x∈[1,2],x2﹣a≥0“是真命题⇔x∈[1,2]时,x2﹣a≥0恒成立⇔a≤(x2)min ‎【解答】解:“∀x∈[1,2],x2﹣a≥0“是真命题⇔x∈[1,2]时,x2﹣a≥0恒成立⇔a≤(x2)min,又∵x∈[1,2]时(x2)min=1,∴a≤1,则实数a的最大值为1‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ ‎15.已知圆O:x2+y2=16上任意一点P,过P作x轴的垂线段PA,A为垂足,当点P在圆上运动时,线段PA的中点M的轨迹记为曲线C,则曲线C的离心率为  .‎ ‎【考点】椭圆的简单性质;轨迹方程.‎ ‎【分析】利用已知条件求出椭圆的方程,然后利用椭圆的离心率即可.‎ ‎【解答】解:设M(x,y),则P(x,2y),代入圆的方程并化简得:,‎ 解得a=4,b=2,c=.‎ 椭圆的离心率为:.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎16.《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作,书中给出了如下问题:“今有良马与驽马发长安,至齐,齐去长安一千一百二十五里.良马初日行一百零三里,日增一十三里.驽马初日行九十七里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马,问几何日相逢?”其大意为:“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去,已知长安和齐的距离是1125里.良马第一天行103里,之后每天比前一天多行13里.驽马第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里.良马到齐后,立刻返回去迎驽马,多少天后两马相遇?”在这个问题中两马从出发到相遇的天数为 9 .‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用.‎ ‎【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出.‎ ‎【解答】解:由题意知,良马每日行的距离成等差数列,‎ 记为{an},其中a1=103,d=13;‎ 驽马每日行的距离成等差数列,‎ 记为{bn},其中b1=97,d=﹣0.5;‎ 设第m天相逢,则a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm ‎=103m+×13+97m+×(﹣0.5)‎ ‎=200m+×12.5≥2×1125,‎ 化为m2+31m﹣360≥0,‎ 解得m,取m=9.‎ 故答案为:9‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分70分)‎ ‎17.已知向量=(1,0,1),=(0,1,1),向量﹣k与垂直,k为实数.‎ ‎(I)求实数k的值;‎ ‎(II)记=k,求向量﹣与﹣的夹角.‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算;数量积表示两个向量的夹角.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据的坐标即可得出,而由()即可得到,进而可求出k=2;‎ ‎(Ⅱ)先得到,进而得出 ‎,可设向量与的夹角为θ,然后根据向量夹角的余弦公式即可求出,从而得出θ的值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵;‎ ‎∴;‎ ‎∵与垂直;‎ ‎∴;‎ ‎∴k=2;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ),;‎ ‎∴,;‎ 记向量与的夹角为θ,则:‎ ‎;‎ ‎∵0≤θ≤π;‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎18.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2bcosC=acosC+ccosA.‎ ‎(I)求角C的大小;‎ ‎(II)若b=2,c=,求a及△ABC的面积.‎ ‎【考点】正弦定理.‎ ‎【分析】(I)由正弦定理,两角和的正弦函数公式,三角形内角和定理化简已知等式可得2sinBcosC=sinB,结合sinB>0,可得cosC=,由于C∈(0,C),可求C的值.‎ ‎(II)由已知利用余弦定理可得:a2﹣2a﹣3=0,解得a的值,进而利用三角形的面积公式即可计算得解.‎ ‎【解答】(本题满分为12分)‎ 解:(I)∵2bcosC=acosC+ccosA,‎ ‎∴由正弦定理可得:2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC,可得:2sinBcosC=sin(A+C)=sinB,‎ ‎∵sinB>0,‎ ‎∴cosC=,‎ ‎∵C∈(0,C),‎ ‎∴C=…6分 ‎(II)∵b=2,c=,C=,‎ ‎∴由余弦定理可得:7=a2+4﹣2×,整理可得:a2﹣2a﹣3=0,‎ ‎∴解得:a=3或﹣1(舍去),‎ ‎∴△ABC的面积S=absinC==…12分 ‎ ‎ ‎19.设p:集合A={x|x2﹣(3a+1)x+2a(a+1)<0},q:集合B={x|<0}.‎ ‎(I)求集合A;‎ ‎(II)当a<1时,¬q是¬p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据一元二次不等式的解法,讨论a的取值范围进行求解即可.‎ ‎(Ⅱ)根据逆否命题之间的关系将条件进行转化,结合充分不必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由x2﹣(3a+1)x+2a(a+1)<0得(x﹣2a)[x﹣(a+1)]<0,‎ ‎①若2a<a+1,即a<1时,2a<x<a+1,‎ 此时A=(2a,a+1),‎ ‎②若2a=a+1,即a=1时,不等式无解,‎ 此时A=∅,‎ ‎③若2a>a+1,即a>1时,a+1<x<2a,‎ 此时A=(a+1,2a).‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a<1时,A=(2a,a+1),‎ B={x|<0}={x|﹣1<x<3}=(﹣1,3),‎ 若¬q是¬p的充分不必要条件,‎ 即p是q的充分不必要条件,‎ 即A⊊B,‎ 则,即,‎ 则﹣≤a≤2,‎ ‎∵a<1,∴﹣≤a<1,‎ 则实数a的取值范围是[﹣,1).‎ ‎ ‎ ‎20.已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣n(n∈N*).正项等比数列{bn}的首项b1=1,且3a2是b2,b3的等差中项.‎ ‎(I)求数列{an},{bn}的通项公式;‎ ‎(II)若cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎【考点】数列的求和.‎ ‎【分析】(I)数列{an}的前n项和sn=n2﹣n,当n=1时,a1=s1;当n≥2时,an=sn﹣sn﹣1.可得an.利用等比数列的通项公式可得bn.‎ ‎(2)利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.‎ ‎【解答】解:(I)数列{an}的前n项和sn=n2﹣n,当n=1时,a1=s1=0;‎ 当n≥2时,an=sn﹣sn﹣1=(n2﹣n)﹣[(n﹣1)2﹣(n﹣1)]=2n﹣2.‎ 当n=1时上式也成立,∴an=2n﹣2.‎ 设正项等比数列{bn}的公比为q,则,b2=q,b3=q2,3a2=6,‎ ‎∵3a2是b2,b3的等差中项,∴2×6=q+q2,得q=3或q=﹣4(舍去),‎ ‎∴bn=3n﹣1 .‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知cn==,‎ ‎∴数列{cn}的前n项和Tn=…①.‎ Tn=…②‎ ‎①﹣②得Tn==2×=1﹣.‎ ‎∴Tn=.‎ ‎ ‎ ‎21.近年来,某地雾霾污染指数达到重度污染级别.经环保部门调查,该地工厂废气排放污染是形成雾霾的主要原因.某科研单位进行了科技攻关,将工业废气中的某些成分转化为一中可利用的化工产品.已知该项目每年投入资金3000万元,设每年处理工厂废气量为x万升,每万升工厂废气处理后得到可利用的化工产品价值为c(x)万元,其中c(x)=.设该单位的年利润为f(x)(万元).‎ ‎(I)求年利润f(x)(万元)关于处理量x(万升)的函数表达式;‎ ‎(II)该单位年处理工厂废气量为多少万升时,所获得的利润最大,并求出最大利润?‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用.‎ ‎【分析】(I)利用f(x)=xc(x)﹣3000,即可得出结论;‎ ‎(II)分段讨论,0<x≤50时,f(x)=xc(x)﹣3000=﹣3x2+192x﹣2980,x=32时,f(x)max=f(32)=92;x>50时,f(x)=xc(x)﹣3000=﹣﹣2x+640=640﹣(2x+),利用基本不等式,可得结论.‎ ‎【解答】解:(I)0<x≤50时,f(x)=xc(x)﹣3000=﹣3x2+192x﹣2980,‎ x>50时,f(x)=xc(x)﹣3000=﹣﹣2x+640,‎ ‎∴f(x)=;‎ ‎(II)0<x≤50时,f(x)=xc(x)﹣3000=﹣3x2+192x﹣2980,x=32时,f(x)max=f(32)=92;‎ x>50时,f(x)=xc(x)﹣3000=﹣﹣2x+640=640﹣(2x+)≤400,‎ 当且仅当2x=,即x=60时,f(x)max=f(60)=400,‎ ‎∵400>92,‎ ‎∴该单位年处理工厂废气量为60万升时,所获得的利润最大,最大利润为400万元.‎ ‎ ‎ ‎22.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为E,过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交,其中一个交点为M(﹣,).‎ ‎(I)求椭圆C的方程;‎ ‎(II)设直线l与椭圆C交于不同的两点A,B.‎ ‎(i)若直线l过定点(1,0),直线AE,BE的斜率为k1,k2(k1≠0,k2≠0),证明:k1•k2为定值;‎ ‎(ii)若直线l的垂直平分线与x轴交于一点P,求点P的横坐标xp的取值范围.‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.‎ ‎【分析】(I)由已知中椭圆通径的端点坐标,构造方程组,可得a,b的值,进而可得椭圆C的方程;‎ ‎(II)经过点P(1,0)的直线l可设为x=my+1,‎ ‎(i)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理,可得y1+y2=,y1y2=,由椭圆的右顶点为E(2,0),可得:k1•k2=•==,进而得到答案;‎ ‎(ii)利用点差法,可得kAB=﹣•,故直线l的垂直平分线方程为:y﹣y0=(x﹣x0),令y=0,得P点横坐标,结合由H(x0,y0)在椭圆内部,可得答案.‎ ‎【解答】解:(I)由已知中过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交,其中一个交点为M(﹣,).‎ 可得:c=, =,a2﹣b2=c2,‎ 解得:a=2,b=1,‎ ‎∴椭圆C的方程为:;…3分 ‎(II)设A(x1,y1),B(x2,y2)‎ 证明:(i)∵直线l过定点(1,0),设x=my+1,‎ 由得:(m2+4)y2+2my﹣3=0,…5分 ‎∴y1+y2=,y1y2=,‎ ‎∵右顶点为E(2,0),‎ ‎∴k1•k2=•====﹣,‎ ‎∴k1•k2为定值;…8分 ‎(ii)将A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆方程得:,‎ 两式相减得:(x1﹣x2)(x1+x2)=﹣(y1﹣y2)(y1+y2)‎ ‎∵直线l的垂直平分线与x轴交于一点P,‎ ‎∴y1+y2≠0,x1﹣x2≠0,‎ ‎∴﹣•==kAB,‎ 设AB的中点H(x0,y0),则kAB=﹣•,‎ 故直线l的垂直平分线方程为:y﹣y0=(x﹣x0),‎ 令y=0,得P点横坐标为:…10分,‎ 由H(x0,y0)在椭圆内部,可得:x0∈(﹣2,2),‎ 故∈(﹣,)…12分 ‎ ‎ ‎2017年1月30日
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