高中数学讲义微专题15 求函数的单调区间

高中数学讲义微专题15 求函数的单调区间

- 1 - 微专题 15 函数的单调区间 单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调 区间的一个便利工具。求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领，在求解的过程 中也要学会一些方法和技巧。 一、基础知识： 1、函数的单调性：设 的定义域为 ，区间 ，若对于 ，有 ，则称 在 上单调递增， 称为单调递增区间。若对于 ，有 ，则称 在 上单调递减， 称为单调递减区间。 2、导数与单调区间的联系 （1）函数 在 可导，那么 在 上单调递增 此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型： ， 无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零。 等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如： 的单调递增区间为 ，而 ，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为 在 处的导数为 0，但是 位于单调区间内。 （2）函数 在 可导，则 在 上单调递减 （3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由 的符 号能否推出 在 的单调性呢？如果 不是常值函数，那么便可由导数的符号对 应推出函数的单调性。（这也是求函数单调区间的理论基础） 3、利用导数求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域 （2）求出 的导函数 （3）令 （或 ），求出 的解集，即为 的单调增（或减）区间 （4）列出表格 4、求单调区间的一些技巧  f x D I D 1 2 1 2, ,x x I x x      1 2f x f x  f x I I 1 2 1 2, ,x x I x x      1 2f x f x  f x I I  f x  ,a b  f x  ,a b   ', ( ) 0x a b f x   ，   2f x x  0 +，  ' 0 0f    3f x x 0x   0,0  f x  ,a b  f x  ,a b   ', ( ) 0x a b f x   ，   ', ( )x a b f x  ，  f x  ,a b  f x  f x ' ( )f x ' ( ) 0f x  0 x  f x - 2 - （1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）。 另一方面通过定义域对 取值的限制，对解不等式有时会起到简化的作用，方便单调区间的求 解 （2）在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式 （3）一般可令 ，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若 不存在常 值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤） （4）若 的解集为定义域，那么说明 是定义域上的增函数，若 的解 集为 ，那么说明没有一个点切线斜率大于零，那么 是定义域上的减函数 （5）导数只是求单调区间的一个有力工具，并不是唯一方法，以前学过的一些单调性判断方 法也依然好用，例如：增+增→增，减+减→减， 增→减，复合函数单调性同增异减等。 如果能够通过结论直接判断，那么就无需用导数来判定。 5、求单调区间的一些注意事项 （1）单调区间可以用开区间来进行表示，如果用闭区间那么必须保证边界值在定义域内。例 如函数 的单调减区间为 ，若写成 就出错了（0 不在定义域内） （2）如果增（或减）区间有多个，那么在书写时用逗号隔开，一定不要用并集 的符号。有 些同学觉得不等式的解集是多个部分时用“ ”连接，那么区间也一样，这个观点是错误的。 并集是指将两个集合的元素合并到一起成为一个集合，用在单调区间上会出现问题。依然以 为例，如果写成 ，那么就意味着从合并在一起的集合中任取两个变 量，满足单调减的条件。由 性质可知，如果在 两个区间里各取一个， 是不满足单调减的性质的。 6、二阶导函数的作用： ①几何意义：导数的符号决定原函数的单调性，对于 而言，决定的是 的单调性。 当 时， 单调递增，意味着 随 的增大而增大，由于导数的几何意义为 切线斜率，故切线斜率 随 的增大而增大；同理，当 时， 单调递减，则切 线斜率 随 的增大而减少。那么在图像上起到什么作用呢？ 单调增有三种： 其不同之处在于切线斜率随自变量变大的变化不 x ' ( ) 0f x   f x ' ( ) 0f x   f x ' ( ) 0f x    f x  1  1y x    0, , ,0   0,   1y x    0, ,0  1y x    0, , ,0   "f x  'f x  '' 0f x   'f x  'f x x k x  '' 0f x   'f x k x - 3 - 同，所以如果说 是决定函数单调性的，那么 在已知单调性的前提下，能够告诉 我们是怎样增，怎样减的，进而对作图的精细化提供帮助。 （1）当 ，其图像特点为： 我们称这样的函数为下凸函数 （2）当 ，其图像特点为： 我们称这样的函数为上凸函数 ②代数意义：当通过 无法直接判断符号时，可通过二阶导函数先确定一阶导函数的单 调性，再看能否利用条件判断符号。 二、典型例题： 例 1：下列函数中，在 上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 思路：本题只需分析各个函数在 上的单调性即可。A 选项 通过其图像可 知显然在 不单调；B 选项 ，当 时， ，所以 在 单调递增；C 选项 可得 在 单调递减，在 单调递增；D 选项 ，可 得 在 单调递增，在 单调递减。综上，B 符合条件 答案：B 例 2：函数 的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 思路：先分析 的定义域： ，再观察解析式可得 可视为函数 的复合函数，根据复合函数单调性同增异减的特点， 可分别分析两个函数的单调性，对于 而言， 对 是减函数。所以如要求得增区间， 则 中 对 也应为减函数。结合定义域可得 的单调增区间为 答案：D  'f x  ''f x  " 0f x   " 0f x   'f x  0,   sin2f x x   xf x xe   3f x x x    lnf x x x    0,   sin2f x x  0,    ' 1x x xf x e xe x e     0,x   ' 0f x   f x  0,   2 3 33 1=3 3 3f x x x x           ‘  f x 30, 3       3 ,3       ' 1 11 xf x x x      f x  0,1  1,    2 1 2 log 4f x x   0,  ,0  2,  , 2   f x    2 4 0 , 2 2,x x        f x 2 1 2 log , 4y t t x   1 2 logy t y t 2 4t x  t x  f x  , 2  - 4 - 例 3：求函数 的单调区间（2009 宁夏，21 题（1）） 思路：第一步：先确定定义域， 定义域为 ， 第二步：求导： , 第三步：令 ,即 第四步：处理恒正恒负的因式，可得 第五步：求解 ,列出表格 例 4：求函数 的单调区间 解：定义域 令导数 解得： （通过定义域大大化简解不等式的过程） 例 5：求函数 的单调区间    3 23 3 3 xf x x x x e     f x R    ' 2 3 2( ) 3 6 3 3 3 3x xf x x x e x x x e            3 9 3 3x xx x e x x x e        ' ( ) 0f x    3 3 0xx x x e      3 3 0x x x      3,0 3,x    x  , 3   3,0  0,3  3, ' ( )f x      f x        ln ln 2f x x x x     0,2x               2 ' 2 22 21 1 21 =2 2 2 2 x xx x x x xf x x x x x x x x x               0,2x  2 0, 2 0x x       ' 0f x  2 0 2x x     x  0, 2  2,2 ' ( )f x    f x     2ln xf x x  - 5 - 解： 令 ，即解不等式 ，解得 的单调区间为 ↘ ↗ ↘ 例 6：求函数 的单调区间 思路：函数还有绝对值，从而考虑先通过分类讨论去掉绝对值，在求导进行单调性分析 解： ，当 时， 为减函数 当 时， 在 单调递增 综上所述： 在 单调递减，在 单调递增 小炼有话说：（1）对于含绝对值的函数，可通过对绝对值内表达式的符号进行分类讨论可去 掉绝对值，从而将函数转变为一个分段函数。 （2）本题在 时，利用之前所学知识可直接判断出 单调递减，从而简化步骤。 导数只是分析函数单调性的一个工具，若能运用以前所学知识判断单调性，则直接判断更为 简便 例 7：（1）若函数 在区间 单调递增，则 的 取值集合是__________ （2）若函数 的递增区间是 ，则 的取值集合 是___________ 解：（1）思路： ，由 在 单调递增     1 22 ' 3 2 1 12ln ln ln 4 ln12 2 x x x x x xxf x x x         ' 0f x   ln ln 4 0x x   40 ln 4 1x x e      f x x  0,1  41,e  4 ,e   'f x     f x ( ) 1 lnf x x x     1 ln , 1 1 ln ,0 1 x x xf x x x x          0,1x    1 lnf x x x    1,x    ' 1 11 xf x x x    1x   ' 0f x   f x  1,  f x  0,1  1,  0,1x   f x      1ln 1 0, 01 xf x ax x ax       1,+ a      1ln 1 0, 01 xf x ax x ax       1,+ a        2 ' 2 2 2 2 1 1 1 1 a ax af x ax x ax x         f x  1,+ - 6 - 可得： ， 。 （2）思路： 的递增区间为 ，即 仅在 单调递增。 令 ，若 ，则 单调递增区间为 不符题意，若 ，则 时， 。所以 答案：（1） ，（2） 小炼有话说：注意两问的不同之处，在（1）中，只是说明 在区间 单调递增，那 么 也可以在其他区间单调递增，即 是增区间的子集。而（2）明确提出单调增区 间为 ，意味着 不再含有其他增区间， 为单调区间的分界点，从而满足条件 的 只有一个值。要能够区分这两问在叙述上的不同。 例 8： ，若 在 上存在单调递增区间，则 的取值范 围是_______ 思 路 ： ， 有 已 知 条 件 可 得 ： ， 使 得 ， 即 ，只需 ，而 ，所以 答案： 小炼有话说：（1）已知在某区间的单调性求参数范围问题，其思路为通过导数将问题转化成 为不等式恒成立或不等式能成立问题，进而求解，要注意已知函数 单调递增（减）时， 其导函数 （ ），勿忘等号。 （2）在转化过程中要注意单调区间与不等式成立问题中也有一些区别，例如：若把例 6 的条 件改为“在 上存在单调递增区间”，则在求解的过程中，靠不等式能成立问题的解法 1x        2 ' 2 2 2 0 1 2 1 1 ax af x a x ax x         2 max 2 11a x       1a   f x  1,+  f x  1,+  ' 2 2 20 2 0 af x ax a x a        1a   f x  0, 0 1a  2 ax a   ' 0f x  2 1 1a aa     1a  1a   f x  1,+  f x  1,+  1,+  f x 1x  a   3 21 1 23 2f x x x ax     f x 2 ,3     a  ' 2 2f x x x a    2 ,+3x        ' 0f x   21 2a x x   2 min 1 2a x x       2 21 1 2 2 1 2 2 3 3 9y x x              1 9a   1 9a    f x  ' 0f x  0 2 ,3    - 7 - 解出的 的范围时 ，但当 时，满足不等式的 的解仅有 ，不能成为单 调区间，故 舍去，答案依然为 例 9：设函数 （其中 是自然对数的底数），若 在其定义域内为 单调函数，求实数 的取值范围 思路：条件中只是提到 为单调函数，所以要分单调增与单调减两种情况考虑。无非就是 恒成立或 恒成立，进而求出 的范围即可 解： 若 在 单调递增，则 恒成立 即 ，设 则 若 在 单调递减，则 恒成立 即 ，设 则 ，且当 或 时， 综上所述： 或 a 1 9a   1 9a   x 2 3x  1 9a   1 9a     2lnpf x px xx   e  f x p  f x  ' 0f x   ' 0f x  p  ' 2 2pf x p x x    f x  0,  ' 2 2 0pf x p x x    2 2 2 2 1 2 2 21 1 1 x xp px x x x x            2 max 2 1 xp x         2 2 1 xh x x    2 2 2 2 111 12 xh x x x xx x       1p   f x  0,  ' 2 2 0pf x p x x    2 2 1 2 21 1 xp px x x         2 min 2 1 xp x         2 2 1 xh x x    2 2 2 011 xh x x x x     0x  x     0h x  0p  1p  0p  - 8 - 例 10：若函数 在区间 内单调递增，则 取值范 围是( ) A． B． C． D． 思路：先看函数 的定义域，则 在 恒成立， 可看成是由 的复合函数，故对 进行分类讨论。当 时， 单调递增，所以 需单调递增， ， 与 矛 盾 ； 当 时 ， 单 调 递 减 ， 所 以 需 单 调 递 减 ， 答案：B 小炼有话说： （1）在本题中要注意参数对定义域的影响。单调区间是定义域的子集，所以在求参数范围时 要满足定义域包含所给区间。这可能会对参数的取值有所限制。也是本题的易错点 （2）对于指数结构与对数结构的函数（如本题中的 ），可分别分析底数与 1 的大小（对 数的增减性）与真数的单调性，然后判断整个函数的单调性。理论依据为复合函数的单调性 特点（同增异减），故本题对底数 以 1 为分界点分类讨论，并依此分析真数的情况。     3log 0, 1af x x ax a a    1 ,02     a 1 ,14     3 ,14     9 ,4    91, 4       f x 3 0x ax  1 ,02     2 1 4a x a    f x 3log ,ay u u x ax   a 1a  logay u 3u x ax   ' 2 2 min 3 0 3 0u x a a x       1a  0 1a  logay u 3u x ax   ' 2 2 min 33 0 3 4u x a a x       3 ,14a       f x a