数学理卷·2018届安徽省宣城市高三第二次调研测试（2018

数学理卷·2018届安徽省宣城市高三第二次调研测试（2018

‎2018届安徽省宣城市高三第二次调研测试 数学理试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若全集，集合，，则为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.下列有关命题的说法错误的是（ ）‎ A.若“”为假命题，则与均为假命 B.“”是“”的充分不必要条件 C．“”的一个必要不充分条件是“” D．若命题，，则命题，‎ ‎3.执行如图所示的程序框图，如果输入的均为3，则输出的等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和为 ‎（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.函数（，，）的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 ‎ C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 ‎7.已知椭圆（）的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若， 则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.记，则的值为（ ）‎ A． 1 B．2 C. 129 D．2188‎ ‎9.若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. 或 D．或 ‎10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.边长为2的等边所在平面内一点满足，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知，关于的方程 ()有四个不同的实数根，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求作答.‎ 二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若实数满足，则的取值范围是 ．‎ ‎14.已知，，则 ．‎ ‎15.已知各项都不相等的等差数列，满足，且，则数列项中的最大值为 ．‎ ‎16.已知抛物线 ()的焦点为，准线，点在抛物线上，点在准线上，若，且直线的斜率，则的面积 ．‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.的三个内角的对边分别为，且.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的大小.‎ ‎18.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，，是棱上的点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若，，，异面直线与所成角的余弦值为 ‎，求的值.‎ ‎19.为了推行“智慧课堂”教学，某老师分别用传统教学和“智慧课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期屮考试后，分别从两个班级屮各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”.‎ 分数 甲班频数 ‎5‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎1‎ 乙班频数 ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎（Ⅰ）由以上统计数据填写下面列联表，并判断“成绩优良与教学方式是否有关”?‎ 甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计 附：.‎ 临界值表 ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎（Ⅱ）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采川分层扣样的方法扣取8人进行考核.在这8人中,记成绩不优良的乙班人数为，求的分布列及数学期望.‎ ‎20.已知椭圆：（）经过点，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）动直线 （）交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过点.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎21.已知函数 (其中，).‎ ‎（Ⅰ）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由.‎ ‎(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程是.以极点为平而直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）‎ ‎（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线相交于、两点，且，求直线的倾斜角的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设函数 ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BCDAB 6-10: BDCDA 11、12：AD 二、填空题 ‎13. 14. 15. 6 16.‎ 三、解答题 ‎17.（Ⅰ）解：（Ⅰ）∵，‎ ‎∴由正弦定理，得，‎ 又中，，∴.‎ ‎（Ⅱ）时，，又，∴，‎ 又，，∴，∴，，‎ ‎∴，∴.‎ ‎18.（Ⅰ）证明：∵，，为的中点，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴.‎ ‎∵，∴，即.‎ 又∵平面平面，且平面平面.‎ ‎∵平面 ‎∵平面，∴平面平面.‎ ‎（Ⅱ）∵，为的中点，∴.‎ ‎∵平面平面，且平面平面.‎ ‎∵平面.‎ 以为原点分别以、、为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，设，∴‎ ‎，，.‎ 由是上的点，设，化简得.‎ 设异面直线与所成角为，‎ 则.‎ ‎∴，计算得或，故或.‎ 注：若只算出一个答案，扣1分；算出两个值即得满分.‎ ‎19.（Ⅰ）‎ 甲班 乙班 总计 成绩优良 ‎9‎ ‎16‎ ‎25‎ 成绩不优良 ‎11‎ ‎4‎ ‎15‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 根据列联表中的数据，得的观测值为 ‎∴在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.‎ ‎（Ⅱ）由表可知在8人中成绩不优良的人数为，则的可能取值为0，1，2，3.‎ ‎；；‎ ‎；.‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以.‎ ‎20.（Ⅰ）∵椭圆（）的两焦点与矩轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴，‎ ‎∴‎ 又∵椭圆经过点，代入可得.‎ ‎∴，故所求椭圆方程为.‎ ‎（Ⅱ）首先求出动直线过点.‎ 当与轴平行时，以为直径的圆的方程：‎ 当与轴平行时，以为直径的圆的方程：‎ 由解得 即两圆相切于点，因此，所求的点如果存在，只能是，事实上，点就是所求的点.‎ 证明如下：‎ 当直线垂直于轴时，以为直径的圆过点 当直线不垂直于轴，可设直线 由消去得：‎ 记点、，则 又因为，‎ 所以 所以，即以为直径的圆恒过点所以在坐标平面上存在一个定点满足条件.‎ ‎21.（Ⅰ）函数的定义域是，，‎ 若在其定义域內递增，则，∵，故，‎ 若在其定义域内递减，则，∵，时，，故；‎ 综上，或；‎ ‎（Ⅱ）在时恒成立，‎ 令，，，‎ 函数在递增，故时，取最小值，‎ 故在恒成立，‎ 故问题转化为在时恒成立，‎ 令，，‎ 令，‎ 而，，‎ 故存在，使得在递减，在递增 ‎∴或，‎ 而，∴.‎ ‎22.（Ⅰ）由得 ‎∵，，，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为，即.‎ ‎（Ⅱ）将代入圆的方程，化简得.‎ 设两点对应的参数分别为、，则 ‎∴.‎ ‎∴，∵∴，‎ 即或.‎ ‎23.解：（Ⅰ）‎ 当时，显然不成立 当时，平方得：‎ 综上：‎ ‎（Ⅱ）若存在使不等式成立，即的最小值小于等于 则